数学学案：例题与探究绝对值不等式的解法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精典题精讲【例1】不等式|3x-2|〉4的解集是()A.{x|x>2}B。{x｜x<—}C.｛x|x〈-或x>2｝D.{x｜-〈x〈2｝思路解析:可以利用|ax+b|≥c型不等式的解法进行等价转化，或者利用数形结合法.方法一：由|3x-2｜〉4，得3x-2〈-4或3x—2〉4.即x<-或x〉2.所以原不等式的解集为{x｜x〈-或x>2}.方法二：(数形结合法）：画出函数y=|3x-2｜=的图象，如下图所示:｜3x-2｜=4，解得x=2或x=-,∴｜3x-2｜>4时，x<—或x>2.∴原不等式的解集为｛x|x<—或x〉2}。答案：C绿色通道：本题题型已成为“公式”型的问题，即解不等式时，套用｜ax+b｜≥c型的转化方法，进而解之，而数形结合是从函数图象的角度解释不等式，从中可找到适合的x.本题是一道选择题，从解选择题的方法的角度来看，本题还可以用排除法，即比较选择支间范围的差异，从中取值代入不等式验证,然后对选项进行筛选。比如A项与B项对比,取x=3代入不等式可知原不等式成立，因而排除B.依此类推,可选出正确选项.【变式训练】不等式4<|3x-2｜<8的解集为____________。思路解析：本题是由两个绝对值不等式构成的不等式组,可分别解出其解集，然后取交集即可.解法一:由4〈｜3x—2｜<8,得∴—2<x〈—或2<x<.∴原不等式的解集为{x|—2〈x<—或2<x〈｝解法二：由4〈｜3x-2｜〈8,得4〈3x—2〈8或—8<3x-2〈-4。解之得2<x<或-2<x<—。∴原不等式的解集为{x｜2〈x<或-2〈x<-}.答案：{x｜-2<x〈—或2〈x〈｝【例2】不等式｜5x—x2|<6的解集为（)A.{x|x<2或x〉3｝B.｛x｜-1〈x<2或3<x<6}C.{x|-1<x<6}D。{x｜2<x〈3｝思路解析:可以利用|x｜〈a的结论进行转化，然后解一元二次不等式，取交集可得结果，本题还可以用数形法求结果.方法一：由｜5x—x2|〈6,得｜x2—5x|<6.∴-6〈x2—5x〈6.∴∴—1<x<2或3〈x<6.∴原不等式的解集为｛x｜—1〈x<2或3<x〈6｝方法二：作函数y=x2-5x的图象。|x2-5x｜〈6表示函数图象中直线y=—6和直线y=6之间相应部分的自变量的集合。解方程x2—5x=6，得x1=-1,x2=6.x2—5x=-6,得x1′=2,x2′=3。即得到不等式的解集是｛x｜-1〈x<2或3〈x〈6}。答案：B绿色通道：利用数形结合,由函数图象求解集，因而图象的画法就显得重要了，对于本题，y=｜x2—5x|表示y=x2—5x在x轴之上的部分和y=x2-5x位于x轴下方的图象翻折到x轴上方的部分.求解集时,应看一看函数图象与直线y=6的交点个数问题，然后才能求解。【变式训练】解不等式|x2-2x|<3.解法一:由|x2—2x｜〈3，得—3<x2-2x〈3,所以x2—2x+3〉0，且x2-2x-3〈0。因为x2—2x+3=(x—1）2+2〉0，所以x2—2x-3〈0。解得—1〈x〈3。所以不等式的解集是（-1，3)。解法二:作函数y=x2—2x的图象，｜x2-2x｜〈3表示函数图象中在直线y=—3和直线y=3之间相应部分的自变量的集合,解方程x2-2x=3,得x1=—1，x2=3。即不等式的解集是（-1，3）。【例3】解不等式｜x-x2—2｜〉x2—3x-4.解法一：原不等式等价于x-x2-2〉x2—3x-4或x-x2—2<-（x2—3x—4）.∴原不等式的解集为{x|x>—3}。解法二：∵｜x-x2-2|=|x2-x+2|，而x2—x+2=（x—）2+>0，∴｜x—x2-2|=｜x2-x+2|=x2—x+2,故原不等式等价于x2—x+2〉x2-3x-4.∴x>—3。∴原不等式的解集为{x|x〉—3｝.绿色通道:本题形如｜f（x）｜〉g（x）,我们可以借助形如|ax+b｜〉c的解法转化为f(x)<—g（x）或f(x)>g(x),当然｜f(x）｜<g(x）—g(x）〈f(x）〈g（x）。而如果f（x)的正负能确定的话,也可以直接去掉绝对值再解.【变式训练】解不等式|x2—5x+6|>x2-4。解法一：（分段讨论法）：当x2—5x+6≥0，即x≤2或x≥3时，x2—5x+6>x2—4x〈2。当x2—5x+6<0,即2<x<3时,—(x2—5x+6)〈x2-4，∴〈x〈2.∴x不存在。综上，可知原不等式的解集为x<2。解法二：由|x2—5x+6|〉x2—4，得x2—5x+6〈-(x2—4）或x2-5x+6>x2—4,即2x2—5x+2〈0或5x〈10.∴〈x〈2或x〈2。∴原不等式的解集为｛x|<x〈2｝。【例4】解不等式|x+1｜+｜x—1｜≥3。思路分析：本题可以用分段讨论法或数形结合法求解，对于形如|x+a|+|x+b｜的代数式，可以认为是分段函数。解法一：如图，设数轴上与-1,1对应的点分别为A，B，那么A，B两点的距离和为2，因此区间［—1，1]上的数都不是不等式的解.设在A点左侧有一点A1，到A,B两点的距离和为3，A1对应数轴上的x。∴-1-x+1—x=3，得x=.同理设B点右侧有一点B1到A，B两点距离和为3,B1对应数轴上的x，∴x—1+x-（-1）=3.∴x=.从数轴上可看到，点A1，B1之间的位点到A，B的距离之和都小于3；点A1的左边或点B1的右边的任何点到A,B的距离之和都大于3。所以原不等式的解集是(-∞，—］∪[，+∞）.解法二：当x≤-1时，原不等式可以化为—（x+1）-(x—1）≥3，解得:x≤—.当—1<x<1时，原不等式可以化为x+1-(x—1）≥3，即2≥3.不成立，无解。当x≥1时，原不等式可以化为x+1+x—1≥3.所以x≥.综上，可知原不等式的解集为｛x｜x≤-或x≥｝。解法三:将原不等式转化为｜x+1|+｜x—1｜—3≥0。构造函数y=｜x+1｜+|x-1｜—3即y=作出函数的图象(如下图）函数的零点是—,。从图象可知,当x≤-或x≥时y≥0，即|x+1｜+|x—1|—3≥0.所以原不等式的解集为(—∞，-］∪［,+∞).绿色通道:这三种解法以第二种解法最重要,但是其中的分段讨论要遵循分类讨论的原则“不重不漏”；第一种解法中关键是找到一些特殊的点如A1,B1;第三种解法中，准确画出图象,是y=|x+1｜+｜x—1｜—3的图象,而不是y=｜x+1|+｜x-1｜的，其次函数的零点要找准。这些都是求解集的关键.【变式训练】解不等式｜x+1｜+|x-1|≤1.解：由原不等式，得解集为。问题探究问题：汽车沿道路AE行驶，AE是由AB（长10km）,BC(长5km），CD(长5km）,DE（长6km）组成，根据时刻表，汽车于9时从A处出发，经过B、C、D等处的时刻分别是时，时，9时，如果汽车以匀速v行驶，为了使它经过B、C、D等处的时刻与汽车时刻表的差的绝对值之和,再加上从A到E的行驶时间不超过51。7分钟，那么汽车行驶的速度v应是怎样的？导思：绝对值符号的存在是解含有绝对值不等式的一大障碍,要等价转化，需要先找出零点,划分区间，利用零点分段讨论.将整体问题化为部分来解决，化成部分后，从而增加题设条件,是解决分类问题的实质。探究：由题设可知||+||+｜-|+≤。设m=,则｜2m-|+|3m-|+｜4m—|+m≤。（1)当m≤时，不等式为-2m+