数学学案：课堂探究推出与充分条件、必要条件

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一充分条件、必要条件的判断要判断p是q的充分条件、必要条件首先应分清条件p和结论q，然后按下面的一般步骤进行判断．(1)判定“若p，则q”的真假．（2）尝试从条件推结论,若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件．（3)尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件,否则就不是必要条件．【典型例题1】在下列各题中，判断p是q的什么条件．(1)p：x－2＝0，q：（x－2)(x－3）＝0；(2)p：m＜－2，q:方程x2－x－m＝0无实根;(3)p:一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等．思路分析：解决此类问题就是要判定命题“如果p，则q”和命题“如果q，则p”的真假．解：(1)因为x－2＝0(x－2)(x－3）＝0，而（x－2）(x－3)＝0x－2＝0，所以p是q的充分不必要条件．(2）因为m＜－2方程x2－x－m＝0无实根，而方程x2－x－m＝0无实根m＜－2，所以p是q的充分不必要条件．（3）因为pq，而qp，所以p是q的充分不必要条件．探究二利用充分条件、必要条件求参数的范围解答有关利用充分条件、必要条件求参数范围问题的关键是将充分条件、必要条件等价转化为集合之间的关系，利用集合之间的包含关系来解决．【典型例题2】已知p：x2－8x－20＜0，q：x2－2x＋1－m2＜0(m＞0），若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．思路分析：根据q是p的充分不必要条件，找出p和q对应的集合间的关系，列出不等式组，求出m的范围．解：令命题p对应的集合为A,命题q对应的集合为B，由x2－8x－20＜0，得（x－10）(x＋2)＜0，解得－2＜x＜10，所以A＝{x｜－2＜x＜10}．又由x2－2x＋1－m2＜0，得［x－（1＋m)]［x－（1－m)]＜0,因为m＞0，所以1－m＜x＜1＋m，所以B＝{x|1－m＜x＜1＋m，m＞0｝．因为q是p的充分不必要条件,所以BA.所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(m〉0,,1＋m≤10，,1－m≥－2,）)且两等号不能同时成立．解得0＜m≤3。经检验知m＝3时符合题意．所以m的取值范围是（0，3］．规律小结用集合的观点理解充分条件、必要条件和充要条件：首先建立与p，q相对应的集合，即p：A＝{x|p(x）}，q：B＝{x｜q(x）｝.若AB，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件若BA,则p是q的必要条件,若BA，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若AB，BA，则p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件探究三充要条件的证明与探求要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．在证明的过程中也可以利用集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．而要探求一个命题成立的充要条件一般有两种处理方法：(1)先由结论成立推出命题成立的必要条件，然后再证明其充分性;（2）等价性：将一个命题等价转化为另一个命题，列出使该命题成立的充要条件．【典型例题3】已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.思路分析：（1)证明题的步骤一定要规范严谨；(2）分清题目的条件与结论．证明：先证必要性：因为a＋b＝1，即b＝1－a，所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a）3＋a（1－a）－a2－(1－a）2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.再证充分性：因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，即（a＋b）（a2－ab＋b2）－（a2－ab＋b2）＝0，所以（a＋b－1)(a2－ab＋b2）＝0.由ab≠0，即a≠0，且b≠0，所以a2－ab＋b2≠0,只有a＋b＝1.综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0。【典型例题4】求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．思路分析:结合一元二次方程的判别式，利用韦达定理列出不等式组求解．解:①a＝0时，方程有一个负实根．②a≠0时，显然方程没有零根．若方程有两个异号的实根,则a＜0；若方程有两个负实根，则eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1，a)〉0，，－\f（2，a）〈0，,Δ＝4－4a≥0，))解得0＜a≤1。综上知：若方程至少有一个负实根，则a≤1；反之，若a≤1，则方程至少有一个负实根．因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.点评若令f（x）＝ax2＋2x＋1，由f（0)＝1≠0，可排除方程一个根为负根，另一根为0的情形，并要注意，不能忽视对a＝0的特殊情况进行讨论．探究四易错辨析易错点充分条件、必要条件与集合关系的转化不等价【典型例题5】已知p：A＝｛x｜x2－5x－6＜0}，q：B＝｛x|－1＜x＜2a}，且p是q的充分条件，求a的取值范围．错解:由x2－5x－6＜0,得－1＜x＜6。因为p是q的充分条件，故2a＞6，即a＞3.所以a的