数学学案：空间中的平行关系第二课时

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精数学人教B必修2第一章1。2。2空间中的平行关系第二课时1．通过直观感知、操作确认，归纳出空间中面面平行的相关定理、推论和性质．2．掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用以上定理解决空间中的相关平行性问题．平面与平面平行（1）定义:如果两个平面________，则称这两个平面互相平行．平面α平行于平面β，记作________．（2）判定定理：如果一个平面内有________直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．推论：如果一个平面内有________直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．（3）性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的________．结论：两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段________．(1)我们可以简单地概括为线∥线面∥面．(2）两个平面平行的判定定理与性质定理的作用，关键都集中在“平行”二字上．判定定理解决了“在什么样的条件下两个平面平行”;性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质"，前者给出了判定两个平面平行的一种方法；后者给出了判定两条直线平行的一种方法．【做一做1】下列能得到平面α∥平面β的是()．A．平面α内有一条直线平行于平面βB．平面α内有两条直线平行于平面βC．平面α内有无数条直线平行于平面βD．平面α内有两条相交直线平行于平面β【做一做2】平面α∥平面β，△ABC和△A′B′C′分别在平面α和平面β内,若对应顶点连线共点，则这两个三角形__________．1．证明线线平行、线面平行、面面平行的主要方法剖析：(1）证明两条直线平行的方法．①利用空间平行线的传递性：这是判断两条直线平行的重要方法,寻找第三条直线分别与前两条直线平行;②利用线面平行的性质：把线面平行转化为线线平行；③利用两个平面平行的性质:把面与面的平行转化为线线平行．（2)证明线面平行的方法．①利用定义：证明线面无公共点；②利用线面平行的判定定理：线面平行转化为线线平行,即要证明平面外一条直线和这个平面平行，只要在这个平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了．(3)证明两个平面平行的方法．①用面面平行的定义：两个平面没有公共点；②用面面平行的判定定理：将面面平行转化为线面平行;③也可以将面面平行直接转化为线线平行，即一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线．三种平行关系的转化还可表示如下：2．教材中的“思考与讨论”（1）以上我们从两条相交直线确定唯一一个平面出发，讨论了两个平面平行的条件．但我们又知道两条平行直线a，b也能唯一确定一个平面，让我们平移a，b到空间任意确定的位置a′，b′,那么a′，b′确定的平面一定与a，b确定的平面平行吗？(2）如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面的位置关系如何？剖析:（1)不一定，还有可能相交，如图所示，a∥a′，b∥b′，a与b确定α,a′与b′确定β，α与β相交．(2)平行,因为若α∥β，则α与β无公共点，则α内的直线a与β无公共点，所以a∥β.题型一位置关系的判定【例1】已知m，n是不重合的直线，α,β是不重合的平面，有下列命题，其中正确的命题的个数是（)．①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若α∩β＝n，m∥n,则m∥α，m∥β.A．0B．1C．2D．3反思：对于判断位置关系的问题，我们必须弄清概念、定理、性质、判定和结论，若对这些理解不清，则会导致判断错误或考虑不全．题型二平面与平面平行的判定【例2】如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1,求证：平面AB1D1∥平面BDC1。分析:由面面平行的判定定理知，只需在平面BDC1内说明直线BC1，BD均与平面AB1D1平行即可．反思：证面面平行，关键是要在一个平面内找到两条相交直线分别和另一个平面平行，而要证线面平行，还需证线线平行,注意三种平行的转化．题型三平面与平面平行的性质【例3】在直三棱柱ABC－A1B1C1中，如图所示，E，F分别为A1C1，B1C1的中点,D为棱CC1的中点，G是棱AA1上一点,且满足A1G＝mAA1，若平面ABD∥平面GEF，试求m的值．分析:利用平面与平面平行的性质定理转化．反思：性质定理的应用关键要抓住截面及与两平行平面的交线,当然本题的解决，还将用到三角形的相似来确定对应边的比例,进而求出m的值．题型四平面与平面平行的判定及性质的综合应用【例4】已知P为△ABC所在平面外一点,G1,G2，G3分别是△PAB，△PCB,△PAC的重心．（1)求证：平面G1G2G3∥平面ABC；(2)求△G1G2G3与△ABC的面积比值．分析：本题的思路在于如何找到三点G1，G2,G3或它们的三边与平面ABC的关系．根据重心的性质易知应该连接PG1，PG2，PG3,再根据相似比可知△G1G2G3所在平面与△ABC所在平面平行，进而可得结论．反思：题目的解决离不开平行平面的判定,但同时要求对平面几何的基本性质，初高中的知识点衔接要熟悉，并清楚其在解题中的作用．在立体几何中，适当应用平面几何知识可以简化运算及逻辑思维量,这也体现了立体几何问题利用平面几何考虑的化归思想．题型五易错辨析【例5】已知M是两条异面直线a，b外一点，则过M且与a，b都平行的平面有几个？错解：设平面α过点M,且与a,b都平行，则直线a及其外一点M确定的平面与α的交线a′必与a平行．同理存在b′⊂α,且b′∥b，则α为a′与b′确定的平面，由于过M且与a平行的直线a′是唯一的，b′也是唯一的，因而由a′，b′确定的平面α也是唯一的．综上所述，过M且与a，b都平行的平面只有一个．错因分析：上面的解法忽视了a⊂α或b⊂α的特殊情况，导致解的情况不完善．1下列说法中,错误的是（）．A．平行于同一直线的两个平面平行B．平行于同一平面的两个平面平行C．一个平面与两个平行平面相交，交线平行D．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交2若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内过B的所有直线中()．A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线3下列说法正确的个数为（）．①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等;②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行;③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行,那么它和另一个平面也平行．A．1B．2C．3D．04已知a，b是两条直线，α，β是两个平面,试用这四个元素，并借助于它们之间的关系，构造出一个判断α∥β的真命题：____________________________________________.5在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F,M,N分别是AB，CC1,AA1，C1D1的中点．求证:平面CEM∥平面BFN.答案：基础知识·梳理(1）没有公共点α∥β（2）两条相交两条相交(3）交线平行成比例【做一做1】D【做一做2】相似典型例题·领悟【例1】A①不正确，n∥α,过n作平面β与α相交，n与其交线平行，m⊂α，m不一定与其交线平行；②不正确，设α∩β＝l，m∥l,也可有m∥α，且m∥β；③不正确,有m⊂α或m⊂β的可能．【例2】证明：∵ABA1B1，C1D1A1B1，∴ABC1D1。∴四边形ABC1D1为平行四边形．∴BC1∥AD1。又AD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1.同理，BD∥平面AB1D1.又∵BD∩BC1＝B，∴平面AB1D1∥平面BDC1。【例3】解:∵平面ABD∥平面GEF，平面AA1C1C交平面ABD，平面GEF分别为AD，GE，∴由性质定理得AD∥GE，∴△ADC∽△EGA1.又∵D为CC1的中点，E为A1C1的中点，∴eq\f(A1E，AC）＝eq\f(A1G，CD)＝eq\f（1，2)，即A1G＝eq\f(1，2）CD＝eq\f（1,2）×eq\f(1,2）CC1＝eq\f（1,4)AA1，由A1G＝mAA1，得m＝eq\f（1，4），∴m的值为eq\f(1,4).【例4】解：(1）证明:如图,连接PG1，PG2,PG3，并延长使之分别交AB，BC，CA于D,E，F三点．∵G1，G2，G3分别是△PAB，△PCB，△PAC的重心，∴eq\f(PG1，PD)＝eq\f(PG2，PE)＝eq\f（PG3，PF）＝eq\f(2,3）。∴连接G1G2，G2G3,G3G1及DE，EF，FD后有G1G2∥DE，G2G3∥EF，即G1G2∥平面ABC,G2G3∥平面ABC.故平面G1G2G3∥平面ABC。(2)G1G2∥DE,G2G3∥EF,eq\f（PG1，PD）＝eq\f(PG2，PE)＝eq\f(2,3），则eq\f（G1G2，DE）＝eq\f(2,3)，eq\f(G2G3,EF）＝eq\f(2,3)，即G1G2＝eq\f（2,3)DE,G2G3＝eq\f(2，3）EF。而DE＝eq\f(1,2)AC,EF＝eq\f(1,2)AB，故G1G2＝eq\f(1，3）AC，G2G3＝eq\f（1，3）AB，即eq\f(G1G2,AC）＝eq\f(G2G3,AB)＝eq\f(1，3），则eq\f(S△G1G2G3，S△ABC)＝eq\f（1,9）。【例5】正解：过M作直线a′∥a，b′∥b,则a′，b′确定平面α,当a,b都不在由a′，b′确定的平面α内时，过M且与a，b都平行的平面只有一个;当a⊂α或b⊂α时，过M且与a，b都平行的平面不存在．随堂练习·巩固1．A平行于同一直线的两个平面有可能相交，如在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABCD与A1ABB1都与C1D1平行,但平面ABCD与A1ABB1相交．2．A3．A如图所示，若α∥β，AC，BD为夹在平面α与β之间的线段，且AC＝BD，但AC与BD不平行，故②不正确;若α∥β，a∥α，a⊂β，则a与β不平行，故③不正确．①正确，故选A.4．若a⊂α,b⊂α,a∩b＝O，a∥β，b∥β，则α∥β.若a⊂α，b⊂α，a∩b＝O,a∥β,b∥β，则α∥β。这是平面和平面平行的判定定理．还可填：a，b是异面直线，a∥α，a∥β，b∥α，b∥