数学学案：课堂探究空间中的垂直关系第课时

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一线面垂直的判定(1)利用直线与平面垂直的判定定理来判定直线与平面垂直的步骤：①在这个平面内找两条直线,使它们和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论．（2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧：证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直．三角形全等、等腰三角形、菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法．【典型例题1】如图所示，直角△ABC所在平面外有一点S,且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．（1)求证：SD⊥平面ABC;(2）若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC．思路分析：由于D是AC的中点，SA＝SC，则SD是△SAC的高,连接BD,可证△SDB≌△SDA．由于AB＝BC,所以Rt△ABC是等腰直角三角形，则BD⊥AC，利用线面垂直的判定定理即可得证．证明：（1）因为SA＝SC，D为AC的中点，所以SD⊥AC．在Rt△ABC中，连接BD．则AD＝DC＝BD．又因为SB＝SA，SD＝SD，所以△ADS≌△BDS．所以SD⊥BD．又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC．（2）因为BA＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC．又由（1）知SD⊥BD,AC∩SD＝D，所以BD⊥平面SAC．探究二线面垂直的判定定理与推论的应用(1)平面内证明线线平行的四种方法:①两条直线被第三条直线所截,若同位角相等(或内错角相等或同旁内角互补)，则两直线平行．②三角形中位线、梯形中位线的性质．③平行四边形对边平行的性质．④平行线分线段成比例定理．（2）空间中证明线线平行的四种方法：①（基本性质4)平行于同一条直线的两条直线平行．②（线面平行的性质定理）如果一条直线与一个平面平行,那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行．③（面面平行的性质定理)如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行．④(线面垂直的性质定理)如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．【典型例题2】如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中,M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：MN∥AD1．证明:因为ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D．又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1．因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC．又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1．探究三距离问题求点到平面距离的基本步骤是：①找到或作出要求的距离;②使所求距离在某一个三角形中;③在三角形中根据三角形的边角关系求出距离．【典型例题3】如图所示，已知P为△ABC外一点，PA，PB，PC两两垂直，PA＝PB＝PC＝a,求点P到平面ABC的距离．思路分析：作出点到平面的垂线，进一步求出垂线段的长．证明：过P作PO⊥平面ABC于点O,连接AO,BO，CO,所以PO⊥OA，PO⊥OB,PO⊥OC．因为PA＝PB＝PC＝a，所以△PAO≌△PBO≌△PCO．所以OA＝OB＝OC,所以O为△ABC的外心．因为PA，PB，PC两两垂直，所以AB＝BC＝CA＝,所以△ABC为正三角形,所以OA＝AB＝,所以PO＝＝．所以点P到平面ABC的距离为．探究四易错辨析易错点：忘记分类讨论而致误【典型例题4】已知:线段AB的中点为O，O∈平面α．求证：A，B两点到平面α的距离相等．错解:如图所示,过点A，B作平面α的垂线,垂足分别为A1，B1,则AA1，BB1分别是点A、点B到平面α的距离．在Rt△AA1O和Rt△BB1O中，AO＝BO，∠B1OB＝∠A1OA，所以Rt△AOA1≌Rt△BOB1，所以AA1＝BB1，即A，B两点到平面α的距离相等．错因分析：错误的原因有两种：一是忽略了AB⊂α的情况；二是认为∠AOA1和∠BOB1为对顶角而相等，其实应说明B1，O,A1三点共线才行．正解:(1)当线段AB⊂平面α时，显然A，B到平面α的距离均为0，相等．(2）当AB平面α时，如图，分别过点A，B作平面α的垂线，垂足分别为A1，B1,则AA1,BB1分别是点A、点B到平面α的距离,且AA1∥BB1．所以AA1与BB1确定一个平面，设为β,则α∩β＝A1B1．因为O∈AB，AB⊂β,所以O∈β．又