吉林省长春市2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题（含详解）

2024-2025学年度上学期九年级期中数学试卷本试卷包括三道大题，共24小题，共4页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．一、选择题（每小题3分，共24分）1.一元二次方程的较小的根是（）A. B.C.或 D.或2.一元二次方程根判别式的值为（）A. B.14 C.13 D.3.下列式子中运算正确的是（）A. B.C. D.4.计算的结果为（）A. B. C. D.35.将抛物线向下平移1个单位后所得的对应抛物线的解析式为（）A. B. C. D.6.如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（）A.12 B.18 C.20 D.507.如图，在4×4正方形网格中，点A、B、C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则sin∠BAD的值为（）A. B. C. D.8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象的对称轴是直线，且经过点．则下列结论正确的为（）A. B.C. D.二、填空题（每小题3分，共18分）9.计算的结果是__________．10.抛物线与轴的交点坐标为__________．11.如图，如图，安装路灯路面比种植树木的地面高，在路灯的照射下，路基留在地面上的影长为，通过测量知道的距离为，则路灯的高度是______m．12.如图，在中，，点是边上的一点，点是的中点，连结．若点在边的垂直平分线上，且，则的长为___________．13.现要在一个长为35m，宽为22m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为625m²，设小道的宽为xm，则根据题意，可列方程为________．14.如图，在中，，，是边上的高，点在边上，连结，交于点，过点作于点，连结．给出下面四个结论：①；②；③若是的中点，在不添加辅助线和其它字母的前提下，与相似的三角形共有6个；④若，则．上述结论中，正确结论序号是__________．三、解答题（本大题10小题，共78分）15.计算：．16.解方程x2﹣4x+1=0．17.某商场购进一批台灯，9月销售400个，10月和11月这种台灯销售量持续增加，11月的销售量达到576个，设10月和11月这两个月的销售量月平均增长率不变．求10月和11月这两个月的销售量月平均增长率．18.如图，线段、分别表示甲、乙建筑物的高，于点，于点，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点处测得点的仰角为，求乙建筑物的高．（结果精确到）（参考数据：，，）19.图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．（1）在图①中，分别在边、上画点、，连结，使，且．（2）在图②中，分别在边、上画点、，连结，使，且．（3）在图③中画出，点、分别在边、上，且与的位似比为．20.如图，在中，，为边上的中线，于点．（1）求证：．（2）若，，求线段的长．21.如图，抛物线的图象与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点，作直线，点是抛物线在直线上方的一点，过点作轴于点，交直线于点．设长为，点的横坐标为．（1）求抛物线的解析式．（2）求与之间的函数关系式．（3）当时，直接写出值．22.如图，在中，，，．将一块直角三角板中角的顶点D放在AB边上移动，使角的两边分别与的边相交于点E、F，且使始终与垂直．【感知】如图①，若点F与点C重合，则的长为__________；【探究】如图②，若移动点D，使，求长；【拓展】如图③，延长交直角三角板的最短边所在的直线于点G，连接，若，则的最小值为__________．23.如图，在中，，，．点在边上，过点作交折线于点．点为上一点，且，以为边向其右侧作正方形．（1）当点与点重合时，的长为__________．（2）当点在边上时，求正方形边长．（3）当点是直角边的中点时，求的长．（4）设正边形的边与边的交点为，当点将边分成两部分时，直接写出长的取值范围．24.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线．点是此抛物线上的点，其横坐标为，连结，取的中点，过点作轴的平行线交此抛物线于点，连接、．（1）求此抛物线对应的函数解析式．（2）当抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的图象对应的函数值随的增大而增大时，求的取值范围．（3）当点的纵坐标为1时，求点的坐标．（4）当的边与轴平行时，直接写出此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点纵坐标的差．2024-2025学年度上学期东师附中新城学校九年级期中数学试卷本试卷包括三道大题，共24小题，共4页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．一、选择题（每小题3分，共24分）1.一元二次方程的较小的根是（）A. B.C.或 D.或【答案】A【详解】解：∵，∴，∴．∴较小的根是．故选：A．2.一元二次方程根的判别式的值为（）A. B.14 C.13 D.【答案】C【详解】解：∵，，故选：C．3.下列式子中运算正确的是（）A. B.C D.【答案】B【详解】解：A、，原选项运算错误，不符合题意；B、，原选项运算正确，符合题意；C、，不能合并，原选项运算错误，不符合题意；D、，原选项运算错误，不符合题意；故选B．4.计算的结果为（）A. B. C. D.3【答案】D【详解】，，故选：D．5.将抛物线向下平移1个单位后所得的对应抛物线的解析式为（）A. B. C. D.【答案】A【详解】解：将抛物线向下平移1个单位后所得的对应抛物线的解析式为．故选：A．6.如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（）A.12 B.18 C.20 D.50【答案】C【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形，，，，，，，，故选：C．7.如图，在4×4正方形网格中，点A、B、C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则sin∠BAD的值为（）A. B. C. D.【答案】D【详解】解：如图，连接AC在Rt△BEC中，BC=∵AD⊥BC，∴×BC×AD=8，即，解得，在Rt△ADB中，，故选：D．8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象的对称轴是直线，且经过点．则下列结论正确的为（）A. B.C. D.【答案】D【详解】解：二次函数开口向上，与轴交于负半轴，，，二次函数对称轴为直线，，，，故A、B结论错误，不符合题意；当时，，，故C结论错误，不符合题意；二次函数经过点，对称轴为直线，二次函数与轴的另一个交点坐标为，当时，，故D结论正确，符合题意故选D．二、填空题（每小题3分，共18分）9.计算的结果是__________．【答案】【详解】解：故答案：．10.抛物线与轴的交点坐标为__________．【答案】【详解】解：当时，，∴抛物线与轴的交点坐标为．故答案为：11.如图，如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高，在路灯的照射下，路基留在地面上的影长为，通过测量知道的距离为，则路灯的高度是______m．【答案】【详解】解：由题意得：，，∴，由题意得：，∴，∴，∴，∴，解得：，∴路灯的高度是,故答案为：．12.如图，在中，，点是边上的一点，点是的中点，连结．若点在边的垂直平分线上，且，则的长为___________．【答案】【详解】∵点在的垂直平分线上，∴，∵，点是的中点，∴故答案为：13.现要在一个长为35m，宽为22m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为625m²，设小道的宽为xm，则根据题意，可列方程为________．【答案】【详解】解：设小道的宽为xm，则种植花草的部分可合成长（35-2x）m，宽（22-x）m的矩形，依题意得：，故答案为．14.如图，在中，，，是边上的高，点在边上，连结，交于点，过点作于点，连结．给出下面四个结论：①；②；③若是的中点，在不添加辅助线和其它字母的前提下，与相似的三角形共有6个；④若，则．上述结论中，正确结论的序号是__________．【答案】【详解】∵，∴，所以①正确；取的中点O，连接，在和中，∴，可得点D，F在以为直径的圆上，∵，是高线，∴，所以②正确；∵点F是的中点，，∴是的垂直平分线，∴，∴．∵，∴；∵，∴．∵，∴，；∵，∴．∵，∴．所以与相似的三角形有4个，所以③不正确；在中，，令，∵，∴根据勾股定理，得，由上述可知，令，根据勾股定理，得，即，解得，∴，∴，∴．∵，∴，∴，即，根据勾股定理求出，，∴，∴．所以④正确．故答案为：三、解答题（本大题10小题，共78分）15.计算：．【详解】解：原式．16.解方程x2﹣4x+1=0．【详解】解：移项得，x2﹣4x=﹣1，配方得，x2﹣4x+4=﹣1+4，∴（x﹣2）2=3，∴x﹣2=±，∴x1=2+，x2=2-.17.某商场购进一批台灯，9月销售400个，10月和11月这种台灯销售量持续增加，11月的销售量达到576个，设10月和11月这两个月的销售量月平均增长率不变．求10月和11月这两个月的销售量月平均增长率．【详解】解：设10月和11月这两个月的销售量月平均增长率为x，根据题意得：，解得：（舍去），答：10月和11月这两个月的销售量月平均增长率为．18.如图，线段、分别表示甲、乙建筑物的高，于点，于点，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点处测得点的仰角为，求乙建筑物的高．（结果精确到）（参考数据：，，）【详解】解：过点A作，由题意得：四边形是矩形，，，在中，，，答：乙建筑物的高为．19.图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．（1）在图①中，分别在边、上画点、，连结，使，且．（2）在图②中，分别在边、上画点、，连结，使，且．（3）在图③中画出，点、分别在边、上，且与的位似比为．【小问1详解】解：如图，即为所求；【小问2详解】解：如图，即为所求；【小问3详解】解：如图，即为所求；20.如图，在中，，为边上的中线，于点．（1）求证：．（2）若，，求线段的长．【小问1详解】证明：∵，为边上的中线，∴，∵，∴，∵，∵，∴；【小问2详解】解：∵为边上的中线，，∵，∵，，∴，即，∴．21.如图，抛物线的图象与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点，作直线，点是抛物线在直线上方的一点，过点作轴于点，交直线于点．设长为，点的横坐标为．（1）求抛物线的解析式．（2）求与之间的函数关系式．（3）当时，直接写出的值．【小问1详解】解：∵抛物线的图象与轴交于，与轴交于点，∴，解得，∴抛物线的解析式为；【小问2详解】解：∵，，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，∵点的横坐标为，∴，，∴；【小问3详解】解：令，则，解得或，∴，∴，∵，∴，整理得，解得（舍去正值），∴的值为．22.如图，在中，，，．将一块直角三角板中角的顶点D放在AB边上移动，使角的两边分别与的边相交于点E、F，且使始终与垂直．【感知】如图①，若点F与点C重合，则的长为__________；【探究】如图②，若移动点D，使，求的长；【拓展】如图③，延长交直角三角板的最短边所在的直线于点G，连接，若，则的最小值为__________．【详解】感知：∵，∴，∵，∴，∴是等边三角形；在中，，∴，，∴，∵，∴设，则，∴，解得：，∴；故答案为：探究：∵，∴，∴，∵为等边三角形，∴，∴，∵∴，，，∴．拓展：∵，．∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴当且仅当三点共线时，取得最小值，即为的长，此时，∵，∴∴，即的最小值为．故答案为：23.如图，在中，，，．点在边上，过点作交折线于点．点为上一点，且，以为边向其右侧作正方形．（1）当点与点重合时，的长为__________．（2）当点在边上时，求正方形边长．（3）当点是直角边的中点时，求的长．（4）设正边形的边与边的交点为，当点将边分成两部分时，直接写出长的取值范围．【小问1详解】解：∵，，∴，如下图，当点与点重合时，∵，∴，即，解得，∴在中，可有．故答案为：；【小问2详解】如下图，过点作于点，交于点，由（1）可知，，∵四边形为正方形，∴，，设，则，∵，∴四边形为矩形，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即，解得，∴，即正方形边长为；【小问3详解】当点是直角边的中点时，如下图，则，∵，∴；当点是直角边的中点时，如下图，则，∵，∴，∴．综上所述，的长为或；【小问4详解】当点在上时，如下图，延长交于点，设与交于点，设，则，此时，∵，∴四边形为矩形，∴，，∵，∴，由（2）可知，，∴，∴，∴，∴，即，故此时可有，∴，∴，∵，∴，∵，∴，解得，∴；当点在上时，如下图，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即当点在上时，点将边分成两部分，此时．综上所述，长的取值范围为或．24.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线．点是此抛物线上的点，其横坐标为，连结，取的中点，过点作轴的平行线交此抛物线于点，连接、．（1）求此抛物线对应的函数解析式．（2）当抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的图象对应的函数值随的增大而增大时，求的取值范围．（3）当点的纵坐标为1时，求点的坐标．（4）当的边与轴平行时，直接写出此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点纵坐标的差．【