2024年江苏省扬州市中考数学试卷含答案

2024年江苏省扬州市中考数学试卷一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）实数2的倒数是（）A．﹣2 B．2 C． D．2．（3分）“致中和，天地位焉，万物育焉”，对称之美随处可见．下列选项分别是扬州大学、扬州中国大运河博物馆、扬州五亭桥、扬州志愿服务的标识，其中的轴对称图形是（）A． B． C． D．3．（3分）下列运算中正确的是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．5a﹣2a＝3a C．（a3）2＝a5 D．3a2•2a3＝6a64．（3分）第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．某校积极响应，开展视力检查．某班45名同学视力检查数据如下表：视力4.34.44.54.64.74.84.95.0人数1447111053这45名同学视力检查数据的众数是（）A．4.6 B．4.7 C．4.8 D．4.95．（3分）在平面直角坐标系中，点P（1，2）关于坐标原点的对称点P′的坐标为（）A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（1，2）6．（3分）如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（）A．三棱锥 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体7．（3分）在平面直角坐标系中，函数y的图象与坐标轴的交点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．48．（3分）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（）A．676 B．674 C．1348 D．1350二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（3分）近年来扬州经济稳步发展，2024年4月26日，扬州市统计局、国家统计局扬州调查队联合发布一季度全市实现地区生产总值约18700000万元，把18700000这个数用科学记数法表示为．10．（3分）分解因式2x2﹣4x+2＝．11．（3分）数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表：累计抛掷次数501002003005001000200030005000盖面朝上次数2854106157264527105615872650盖面朝上频率0.5600.5400.5300.5230.5280.5270.5280.5290.530根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为.（精确到0.01）12．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是．13．（3分）若用半径为10cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为cm．14．（3分）如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx+b＝0的解为．15．（3分）《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走100米，速度慢的人每分钟走60米，现在速度慢的人先走100米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要分钟．16．（3分）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′，设AB＝36cm，A′B′＝24cm，小孔O到AB的距离为30cm，则小孔O到A′B′的距离为cm．17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B在反比例函数y（x＞0）的图象上，BC⊥x轴于点C，∠BAC＝30°，将△ABC沿AB翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图象上，则k的值为．18．（3分）如图，已知两条平行线l1、l2，点A是l1上的定点，AB⊥l2于点B，点C、D分别是l1，l2上的动点，且满足AC＝BD，连接CD交线段AB于点E，BH⊥CD于点H，则当∠BAH最大时，sin∠BAH的值为．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）19．（8分）（1）计算：|π﹣3|+2sin30°﹣（2）0；（2）化简：（x﹣2）．20．（8分）解不等式组，并求出它的所有整数解的和．21．（8分）2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达8.5小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：成绩统计表组别成绩x（分）百分比A组x＜605%B组60≤x＜7015%C组70≤x＜80aD组80≤x＜9035%E组90≤x≤10025%根据所给信息，解答下列问题：（1）本次调查的成绩统计表中a＝%，并补全条形统计图；（2）这200名学生成绩的中位数会落在组（填A、B、C、D或E）；（3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数．22．（8分）2024年“五一”假期，扬州各旅游景区持续火热．小明和小亮准备到东关街、瘦西湖、运河三湾风景区、个园、何园（分别记作A、B、C、D、E）参加公益讲解活动．（1）若小明在这5个景区中随机选择1个景区，则选中东关街的概率是；（2）小明和小亮在C、D、E三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选到相同景区的概率．23．（10分）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B型机器每天处理多少吨垃圾？24．（10分）如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形ABCD．（1）试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；（2）已知矩形纸条宽度为2cm，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形ABCD的面积为8cm2，求此时直线AD、CD所夹锐角∠1的度数．25．（10分）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（1，0）两点．（1）求b、c的值；（2）若点P在该二次函数的图象上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标．26．（10分）如图，已知∠PAQ及AP边上一点C．（1）用无刻度直尺和圆规在射线AQ上求作点O，使得∠COQ＝2∠CAQ；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，以点O为圆心，以OA为半径的圆交射线AQ于点B，用无刻度直尺和圆规在射线CP上求作点M，使点M到点C的距离与点M到射线AQ的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）（3）在（1）、（2）的条件下，若sinA，CM＝12，求BM的长．27．（12分）如图，点A、B、M、E、F依次在直线l上，点A、B固定不动，且AB＝2，分别以AB、EF为边在直线l同侧作正方形ABCD、正方形EFGH，∠PMN＝90°，直角边MP恒过点C，直角边MN恒过点H．（1）如图1，若BE＝10，EF＝12，求点M与点B之间的距离；（2）如图1，若BE＝10，当点M在点B、E之间运动时，求HE的最大值；（3）如图2，若BF＝22，当点E在点B、F之间运动时，点M随之运动，连接CH，点O是CH的中点，连接HB、MO，则2OM+HB的最小值为．28．（12分）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．如图，已知△ABC，CA＝CB，⊙O是△ABC的外接圆，点D在⊙O上（AD＞BD），连接AD、BD、CD．【特殊化感知】（1）如图1，若∠ACB＝60°，点D在AO延长线上，则AD﹣BD与CD的数量关系为；【一般化探究】（2）如图2，若∠ACB＝60°，点C、D在AB同侧，判断AD﹣BD与CD的数量关系并说明理由；【拓展性延伸】（3）若∠ACB＝α，直接写出AD、BD、CD满足的数量关系．（用含α的式子表示）

2024年江苏省扬州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）实数2的倒数是（）A．﹣2 B．2 C． D．【解答】解：实数2的倒数是：．故选：D．2．（3分）“致中和，天地位焉，万物育焉”，对称之美随处可见．下列选项分别是扬州大学、扬州中国大运河博物馆、扬州五亭桥、扬州志愿服务的标识，其中的轴对称图形是（）A． B． C． D．【解答】解：由图可知，A、B、D不是轴对称图形；C是轴对称图形．故选：C．3．（3分）下列运算中正确的是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．5a﹣2a＝3a C．（a3）2＝a5 D．3a2•2a3＝6a6【解答】解：A、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故A选项错误；B、5a﹣2a＝3a，故B选项正确；C、（a3）2＝a6，故C选项错误；D、3a2•2a3＝6a5，故D选项错误；故选：B．4．（3分）第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．某校积极响应，开展视力检查．某班45名同学视力检查数据如下表：视力4.34.44.54.64.74.84.95.0人数1447111053这45名同学视力检查数据的众数是（）A．4.6 B．4.7 C．4.8 D．4.9【解答】解：根据列表可知视力4.7的人数最多为11人，即众数为4.7，故选：B．5．（3分）在平面直角坐标系中，点P（1，2）关于坐标原点的对称点P′的坐标为（）A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（1，2）【解答】解：∵点P（1，2），∴关于坐标原点的对称点P′的坐标为（﹣1，﹣2）．故选：A．6．（3分）如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（）A．三棱锥 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体【解答】解：由几何体的表面展开后得到的平面图形可知：侧面为三个相同的长方形，上下底面为全等的三角形，符合三棱柱的特征，所以该几何体是三棱柱．故选：C．7．（3分）在平面直角坐标系中，函数y的图象与坐标轴的交点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．4【解答】解：当x＝0时，y＝2，故函数与y轴的交点坐标为（0，2），当y＝0时，函数无意义．故函数与x轴没有交点，∴函数y的图象与坐标轴的交点个数是1个．故选：B．8．（3分）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（）A．676 B．674 C．1348 D．1350【解答】解：这列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，⋯，可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数，∵2024÷3＝674…2，即前2024个数共有674组，且余2个数，奇数有：674×2+2＝1350（个），故选：D．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（3分）近年来扬州经济稳步发展，2024年4月26日，扬州市统计局、国家统计局扬州调查队联合发布一季度全市实现地区生产总值约18700000万元，把18700000这个数用科学记数法表示为1.87×107．【解答】解：18700000＝1.87×107，故答案为：1.87×107．10．（3分）分解因式2x2﹣4x+2＝2（x﹣1）2．【解答】解：2x2﹣4x+2，＝2（x2﹣2x+1），＝2（x﹣1）2．11．（3分）数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表：累计抛掷次数501002003005001000200030005000盖面朝上次数2854106157264527105615872650盖面朝上频率0.5600.5400.5300.5230.5280.5270.5280.5290.530根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为0.53.（精确到0.01）【解答】解：由题意可知，盖面朝上频率在0.53左右波动，∴根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为0.53．故答案为：0.53．12．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥2．【解答】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，解得x≥2；故答案为：x≥2．13．（3分）若用半径为10cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为5cm．【解答】解：由题意可知：圆锥的底面周长为10πcm，则圆锥底面圆的半径为5（cm），故答案为：5．14．（3分）如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2．【解答】解：∵OA＝2，∴一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴相交于点A（﹣2，0），∴关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2．故答案为：x＝﹣2．15．（3分）《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走100米，速度慢的人每分钟走60米，现在速度慢的人先走100米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要2.5分钟．【解答】解：设速度快的人需要x分钟才能追上速度慢的人，根据题意可列：100+60x＝100x，解得：x＝2.5，故答案为：2.5．16．（3分）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′，设AB＝36cm，A′B′＝24cm，小孔O到AB的距离为30cm，则小孔O到A′B′的距离为20cm．【解答】解：设小孔O到A′B′的距离为xcm，由题意可得：△ABO∽△A′B′O，则，解得：x＝20．故答案为：20．17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B在反比例函数y（x＞0）的图象上，BC⊥x轴于点C，∠BAC＝30°，将△ABC沿AB翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图象上，则k的值为2．【解答】解：设点B坐标为（m，），则C（m，0），∵A（1，0），∴AC＝m﹣1，由对称可知：AD＝m﹣1，∠DAB＝∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°，作DG⊥x轴，垂足为G，∴AG，DG，∴D（，），∵点D在反比例函数图象上，∴（）•k①，在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，∴BCAC，即（m﹣1）②，由①②解得k＝2．故答案为：2．18．（3分）如图，已知两条平行线l1、l2，点A是l1上的定点，AB⊥l2于点B，点C、D分别是l1，l2上的动点，且满足AC＝BD，连接CD交线段AB于点E，BH⊥CD于点H，则当∠BAH最大时，sin∠BAH的值为．【解答】解：∵AC∥BD，∴四边形ACBD是平行四边形，∴AE＝BEAB，∵A为定点，且AB⊥l2，∴AE为定值，∵BH⊥CD，∴∠BHE＝90°，∴点H在以BE为直径的圆上运动（如图，O为圆心），此时OEBEOA，∵当AH与⊙O相切时∠BAH最大，∴sin∠BAH．故答案为：．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）19．（8分）（1）计算：|π﹣3|+2sin30°﹣（2）0；（2）化简：（x﹣2）．【解答】解：（1）|π﹣3|+2sin30°﹣（2）0＝π﹣3；（2）（x﹣2）．20．（8分）解不等式组，并求出它的所有整数解的和．【解答】解：解不等式2x﹣6≤0，得：x≤3，解不等式x，得：x，则不等式组的解集为x≤3，所以整数解为1，2，3，整数解的和为6．21．（8分）2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达8.5小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：成绩统计表组别成绩x（分）百分比A组x＜605%B组60≤x＜7015%C组70≤x＜80aD组80≤x＜9035%E组90≤x≤10025%根据所给信息，解答下列问题：（1）本次调查的成绩统计表中a＝20%，并补全条形统计图；（2）这200名学生成绩的中位数会落在D组（填A、B、C、D或E）；（3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数．【解答】解：（1）由题意得，C组的人数为200﹣10﹣30﹣70﹣50＝40（人），∴a＝40÷200×100%＝20%．故答案为：20．补全条形统计图如图所示．（2）将这200名学生成绩按照从小到大的顺序排列，排在第100和101名的学生成绩均在D组，∴这200名学生成绩的中位数会落在D组．故答案为：D．（3）1200×25%＝300（人）．∴估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数约300人．22．（8分）2024年“五一”假期，扬州各旅游景区持续火热．小明和小亮准备到东关街、瘦西湖、运河三湾风景区、个园、何园（分别记作A、B、C、D、E）参加公益讲解活动．（1）若小明在这5个景区中随机选择1个景区，则选中东关街的概率是；（2）小明和小亮在C、D、E三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选到相同景区的概率．【解答】解：（1）由题意知，共有5种等可能的结果，其中选中东关街的结果有1种，∴选中东关街的概率是．故答案为：．（2）列表如下：CDEC（C，C）（C，D）（C，E）D（D，C）（D，D）（D，E）E（E，C）（E，D）（E，E）共有9种等可能的结果，其中小明和小亮选到相同景区的结果有3种，∴小明和小亮选到相同景区的概率为．23．（10分）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B型机器每天处理多少吨垃圾？【解答】解：设B型机器每天处理x吨垃圾，则A型机器每天处理（x+40）吨垃圾，根据题意得：，解得：x＝60，经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意．答：B型机器每天处理60吨垃圾．24．（10分）如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形ABCD．（1）试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；（2）已知矩形纸条宽度为2cm，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形ABCD的面积为8cm2，求此时直线AD、CD所夹锐角∠1的度数．【解答】（1）四边形ABCD是菱形，理由如下：如图作CH⊥AB，垂足为H，CG⊥AD，垂足为G，∵两个纸条为矩形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵S▱ABCD＝AB•CH＝AD•CG，且CH＝CG，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．（2）如图，作AM⊥CD，垂足为M，∵S菱形ABCD＝CD•AM＝8cm2，且AM＝2cm，∴CD＝4cm，∴AD＝CD＝4cm，再Rt△ADM中，sin∠1，∴∠1＝30°．25．（10分）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（1，0）两点．（1）求b、c的值；（2）若点P在该二次函数的图象上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得；（2）由（1）知，二次函数解析式为y＝﹣x2﹣x+2，设点P坐标为（m，﹣m2﹣m+2），∵△PAB的面积为6，AB＝1﹣（﹣2）＝3，∴S△PABAB•|yP|3×|﹣m2﹣m+2|＝6，∴|m2+m﹣2|＝4，即m2+m﹣2＝4或m2+m﹣2＝﹣4，解得m＝﹣3或m＝2，∴P（﹣3，﹣4）或（2，﹣4）．26．（10分）如图，已知∠PAQ及AP边上一点C．（1）用无刻度直尺和圆规在射线AQ上求作点O，使得∠COQ＝2∠CAQ；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，以点O为圆心，以OA为半径的圆交射线AQ于点B，用无刻度直尺和圆规在射线CP上求作点M，使点M到点C的距离与点M到射线AQ的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）（3）在（1）、（2）的条件下，若sinA，CM＝12，求BM的长．【解答】解：（1）如图点O即为所求；（2）如图，点B点M即为所求；（3）由作图可知OA＝OC＝OB，∴∠ACB＝90°，∵sinA，∴可以假设BC＝3k，AB＝5k，则AC＝4k，∵BM平分∠CBQ，MC⊥CB，MH⊥BQ，∴∠MBC＝∠MBH，∠MCB＝∠BHM＝90°，∵BM＝BM，∴△MBC≌△MBH（AAS），∴BC＝BH＝3k，∴AH＝AB+BH＝8k，∵sinA，∴AM＝10k，MH＝MC＝6k，∴12＝6k，∴k＝2，∴BH＝6，MH＝12，∴BM6．27．（12分）如图，点A、B、M、E、F依次在直线l上，点A、B固定不动，且AB＝2，分别以AB、EF为边在直线l同侧作正方形ABCD、正方形EFGH，∠PMN＝90°，直角边MP恒过点C，直角边MN恒过点H．（1）如图1，若BE＝10，EF＝12，求点M与点B之间的距离；（2）如图1，若BE＝10，当点M在点B、E之间运动时，求HE的最大值；（3）如图2，若BF＝22，当点E在点B、F之间运动时，点M随之运动，连接CH，点O是CH的中点，连接HB、MO，则2OM+HB的最小值为2．【解答】解：（1）由题易得∠CBM＝∠CMH＝∠HEM＝90°，∵∠CMB+∠BCM＝∠CMB+∠HME＝90°，∴∠BCM＝∠HME，∴△MCB∽△HME，∴，∵BC＝AB＝2，EH＝EF＝12，BE＝10，∴，解得BM＝4或6，∴点M与点B之间的距离是4或6．（2）由（1）知，设EH＝y，BM＝x，∵BE＝10，∴EM＝10﹣x，∴，∴yx2+5（x﹣5）+12.5，∵0，∴当x＝5时，ymax＝12.5，即HE最大值为12.5．（3）∵∠CMH＝90°，O是CH中点，∴CH＝2OM，∴2OM+HB＝CH+BH，∴求2OM+HB的最小值就是求CH+BH的最小值即可．如图，连接FH，则点H在∠EFG的角平分线上，作B关于FH的对称点B'，连接B'C交FH为H'，则H'即为所求H位置，B'C长度即为CH+HB最小值．过点C作CQ⊥B'F．∵∠BFH＝∠B'FH＝45°，∴B'在FG的延长线上，∵∠CBF＝∠BFQ＝∠FQC＝90°，∴四边形CBFQ为矩形，∴FQ＝BC＝2，∵BF＝B'F＝22，∴B'Q＝B'F﹣QF＝20，在Rt△B'CQ中，B'C22，即CH+BH最小值为2，∴2OM+HB最小值为2．28．（12分）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．如图，已知△ABC，CA＝CB，⊙O是△ABC的外接圆，点D在⊙O上（AD＞BD），连接AD、BD、CD．【特殊化感知】（1）如图1，若∠ACB＝60°，点D在AO延长线上，则AD﹣BD与CD的数量关系为AD﹣BD＝CD；【一般化探究】（2）如图2，若∠ACB＝60°，点C、D在AB同侧，判断AD﹣BD与CD的数量关系并说明理由；【拓展性延伸】（3）若∠ACB＝α，直接写出AD、BD、CD满足的数量关系．（用含α的式子表示）【解答】解：（1）∵CA＝CB，∠ACB＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD为⊙O的直径，∴∠ABD＝∠ACD＝90°，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝30°，∴CD＝BDAD，∴AD﹣BD＝CD．故答案为：AD﹣BD＝CD；（2）若∠ACB＝60°，点C、D在AB向侧，AD﹣BD与CD的数量关系为：AD﹣BD＝CD，理由：延长BD至点E使DE＝CD，连接CE，如图，∵CA＝CB，∠ACB＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，∵四边形ABDC为圆的内接四边形，∴∠CDE＝∠BAC＝60°，∵DE＝CD，∴△CDE为等边三角形，∴CE＝CD，∠DCE＝∠E＝60°，∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝60°+∠BCD，∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝60°+∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE．∵∠ADC＝∠ABC＝60°，∴∠ADC∠E＝60°．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（ASA），∴AD＝BE，∵BE＝BD+DE＝BD+CD，∴AD＝BD+CD，∴AD﹣BD＝CD．（3）①当点C、D在AB同侧时，延长BD至点E，连接CE，使CE＝CD，过点C作CF⊥DE于点F，如图，∵CA＝CB，∠ACB＝α，∴∠CAB＝∠CBA＝90°，∵四边形ABDC为圆的内接四边形，∴∠CDE＝∠BAC＝90°，∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E＝90°α，∠DCE＝α．∵CF⊥DE，∴∠DCF＝∠ECF，DF＝EF＝CD•sin，∴DE＝2DF＝2CD•sin，∵∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝α+∠BCD，∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝α+∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠ADC＝∠E．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（ASA），∴AD＝BE，∵BE＝BD+DE＝BD+2CD•sin，∴AD﹣BD＝2CD•sin．②当点C、D在AB两侧时，延长DB至点E，使BE＝AD，连接CE，过点C作CF⊥DE于点F，如图，∵CA＝CB，∠ACB＝α，∴∠CAB＝∠CBA＝90°，∵四边形ABDC为圆的内接四边形，∴∠CBE＝∠DAC，在△CAD和△CBE中，，∴△CAD≌△CBE（SAS），∴CD＝CE，∠ADC＝∠E，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠E＝90°，∵CF⊥DE，∴∠DCF＝∠ECF，DF＝EF＝CD•sin，∴DE＝CD•sin，∴DE＝2CD•sin，∵DE＝BD+BE＝AD+BD，∴AD+BD＝2CD•sin．综上，若∠ACB＝α，AD、BD、CD满足的数量关系为：当点C、D在AB同侧时AD﹣BD＝2CD•sin；当点C、D在AB两侧时，AD+BD＝2CD•sin．2024年江西省中考数学试卷一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置。错选、多选或未选均不得分。1．（3分）﹣5的相反数是（）A．﹣5 B．5 C． D．2．（3分）“长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”．二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹．将25000用科学记数法可表示为（）A．0.25×106 B．2.5×105 C．2.5×104 D．25×1033．（3分）如图所示的几何体，其主视图为（）A． B． C． D．4．（3分）将常温中的温度计插入一杯60℃的热水（恒温）中，温度计的读数y（℃）与时间x（min）的关系用图象可近似表示为（）A． B． C． D．5．（3分）如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空气质量为优的天数，下列结论错误的是（）A．五月份空气质量为优的天数是16天 B．这组数据的众数是15天 C．这组数据的中位数是15天 D．这组数据的平均数是15天6．（3分）如图是4×3的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）计算：（﹣1）2＝．8．（3分）因式分解：a2+2a＝．9．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（1，1）向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为．10．（3分）观察a，a2，a3，a4，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为．11．（3分）将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形ABCD，连接AC，则tan∠CAB＝．12．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在线段AB上运动，过点C的弦DE⊥AB，将沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）（1）计算：π0+|﹣5|；（2）化简：．14．（6分）如图，AC为菱形ABCD的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）如图1，过点B作AC的垂线；（2）如图2，点E为线段AB的中点，过点B作AC的平行线．15．（6分）某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班．（1）“学生甲分到A班”的概率是；（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率．16．（6分）如图，△AOB是等腰直角三角形，∠ABO＝90°，双曲线经过点B，过点A（4，0）作x轴的垂线交双曲线于点C，连接BC．（1）点B的坐标为；（2）求BC所在直线的解析式．17．（6分）如图，AB是半圆O的直径，点D是弦AC延长线上一点，连接BD，BC，∠D＝∠ABC＝60°．（1）求证：BD是半圆O的切线；（2）当BC＝3时，求的长．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）如图，书架宽84cm，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚0.8cm，每本语文书厚1.2cm．（1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本；（2）如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？19．（8分）图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”．如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体ABCD和矩形碗底BEFC组成，已知AD∥EF，AM，DN是太阳光线，AM⊥MN，DN⊥MN，点M，E，F，N在同一条直线上．经测量ME＝FN＝20.0m，EF＝40.0m，BE＝2.4m，∠ABE＝152°．（结果精确到0.1m）（1）求“大碗”的口径AD的长；（2）求“大碗”的高度AM的长．（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）20．（8分）追本溯源题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．（1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由．方法应用（2）如图2，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F，交BC于点G．①图中一定是等腰三角形的有．A.3个B.4个C.5个D.6个②已知AB＝3，BC＝5，求CF的长．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）近年来，我国肥胖人群的规模快速增长．目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是．中国人的BMI数值标准为：BMl＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖；BMI≥28为肥胖．某数学兴趣小组对本校七年级学生的胖瘦程度进行统计调查，从该校所有七年级学生中随机抽出10名男生、10名女生，测得他们的身高和体重值，并计算出相应的BMI数值，再参照BMI数值标准分成四组：A.16≤BMI＜20；B.20≤BMI＜24；C.24≤BMI＜28；D.28≤BMI＜32．将所得数据进行收集、整理、描述．收集数据七年级10名男生数据统计表编号12345678910身高（m）1.561.501.661.581.501.701.511.421.591.72体重（kg）52.549.545.640.355.256.148.542.867.290.5BMI21.6s16.516.124.519.421.321.226.630.6七年级10名女生数据统计表编号12345678910身高（m）1.461.621.551.651.581.671.551.461.531.62体重（kg）46.449.061.556.552.975.550.347.652.446.8BMI21.818.725.620.821.227.120.922.322.417.8整理、描述数据七年级20名学生BMI频数分布表组别BMI男生频数女生频数A16≤BMI＜2032B20≤BMI＜2446C24≤BMI＜28t2D28≤BMI＜3210应用数据（1）s＝，t＝，α＝；（2）已知该校七年级有男生260人，女生240人．①估计该校七年级男生偏胖的人数；②估计该校七年级学生BMI≥24的人数．（3）根据以上统计数据，针对该校七年级学生的胖瘦程度，请你提出一条合理化建议．22．（9分）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数y＝ax2+bx（a＜0）刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如表：x012m4567…y068n…（1）①m＝，n＝；②小球的落点是A，求点A的坐标．（2）小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系：y＝﹣5t2+vt．①小球飞行的最大高度为米；②求v的值．六、解答题（本大题共12分）23．（12分）综合与实践如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的动点（点D与点A不重合），连接CD，以CD为直角边在CD的右侧构造Rt△CDE，∠DCE＝90°，连接BE，m．特例感知（1）如图1，当m＝1时，BE与AD之间的位置关系是，数量关系是．类比迁移（2）如图2，当m≠1时，猜想BE与AD之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．拓展应用（3）在（1）的条件下，点F与点C关于DE对称，连接DF，EF，BF，如图3．已知AC＝6，设AD＝x，四边形CDFE的面积为y．①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；②当BF＝2时，请直接写出AD的长度．

2024年江西省中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置。错选、多选或未选均不得分。1．（3分）﹣5的相反数是（）A．﹣5 B．5 C． D．【答案】B【解答】解：﹣5的相反数是5．故选：B．2．（3分）“长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”．二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹．将25000用科学记数法可表示为（）A．0.25×106 B．2.5×105 C．2.5×104 D．25×103【答案】C【解答】解：25000＝2.5×104，故选：C．3．（3分）如图所示的几何体，其主视图为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：由题干中的几何体可得其主视图为，故选：B．4．（3分）将常温中的温度计插入一杯60℃的热水（恒温）中，温度计的读数y（℃）与时间x（min）的关系用图象可近似表示为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：将常温中的温度计插入一杯60℃的热水中，温度计的度数与时间的关系，图象是C；故选：C．5．（3分）如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空气质量为优的天数，下列结论错误的是（）A．五月份空气质量为优的天数是16天 B．这组数据的众数是15天 C．这组数据的中位数是15天 D．这组数据的平均数是15天【答案】D【解答】解：A、根据折线图，五月份空气质量为优的天数是16天，故不符合题意；B、根据折线图，这组数据的众数是15天，故不符合题意；C、这组数据的中位数是15（天），故不符合题意；D、这组数据的平均数是（12+14+15+15+16+15）＝14.5，故符合题意．故选：D．6．（3分）如图是4×3的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【答案】B【解答】解：如图所示：选择标有1或2的位置的空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图，所以能与阴影部分组成正方体展开图的方法有2种．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）计算：（﹣1）2＝1．【答案】1．【解答】解：（﹣1）2＝（﹣1）×（﹣1）＝1，故答案为：1．8．（3分）因式分解：a2+2a＝a（a+2）．【答案】见试题解答内容【解答】解：a2+2a＝a（a+2）．故答案为：a（a+2）．9．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（1，1）向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为（3，4）．【答案】（3，4）．【解答】解：将点A（1，1）向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为（1+2，1+3），即（3，4）．故答案为：（3，4）．10．（3分）观察a，a2，a3，a4，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为a100．【答案】a100．【解答】解：根据题意可知，有一列按照一定规律排列的单项式：a，a2，a3，a4，…，∴第100个式子为：a100，故答案为：a100．11．（3分）将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形ABCD，连接AC，则tan∠CAB＝．【答案】．【解答】解：令AC与BD的交点为O，∵∠ABD＝∠CDB＝90°，∴CD∥AB，又∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC与BD互相平分，∴OB．∵AB＝BD，∴OB．在Rt△AOB中，tan∠CAB．故答案为：．12．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在线段AB上运动，过点C的弦DE⊥AB，将沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为或或2．【答案】或或2．【解答】解：∵AB为直径，DE为弦，∴DE≤AB，∴当DE的长为正整数时，DE＝1或2，当DE＝2时，即DE为直径，∴DE⊥AB，∴将DBE沿DE翻折交直线AB于点F，此时F与点A重合，故FB＝2；当DE＝1时，且在点C在线段OB之间，如图，连接OD，此时，∵DE⊥AB，∴，∴，∴，∴；当DE＝1时，且点C在线段OA之间，连接OD，同理可得，∴；综上，可得线段FB的长为或或2，故答案为：或或2．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）（1）计算：π0+|﹣5|；（2）化简：．【答案】（1）6；（2）1．【解答】解：（1）原式＝1+5＝6；（2）原式＝1．14．（6分）如图，AC为菱形ABCD的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）如图1，过点B作AC的垂线；（2）如图2，点E为线段AB的中点，过点B作AC的平行线．【答案】（1）见解答．（2）见解答．【解答】解：（1）如图1，连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC，则BD即为所求．（2）如图2，连接CE并延长，交DA的延长线于点F，作直线BF，∵四边形ABCD为菱形，∴DF∥BC，∴∠AFE＝∠BCE，∠FAE＝∠CBE，∵点E为线段AB的中点，∴AE＝BE，∴△AEF≌△BEC（AAS），∴AF＝BC，∴四边形ACBF为平行四边形，∴BF∥AC，则直线BF即为所求．15．（6分）某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班．（1）“学生甲分到A班”的概率是；（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率．【答案】（1）．（2）．【解答】解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中学生甲分到A班的结果有1种，∴“学生甲分到A班”的概率是．故答案为：．（2）列表如下：ABCA（A，A）（A，B）（A，C）B（B，A）（B，B）（B，C）C（C，A）（C，B）（C，C）共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位新生分到同一个班的结果有3种，∴甲、乙两位新生分到同一个班的概率为．16．（6分）如图，△AOB是等腰直角三角形，∠ABO＝90°，双曲线经过点B，过点A（4，0）作x轴的垂线交双曲线于点C，连接BC．（1）点B的坐标为（2，2）；（2）求BC所在直线的解析式．【答案】（1）（2，2）；（2）直线BC的函数解析式为y．【解答】解：（1）过点B作x轴的垂线，垂足为M，∵点A坐标为（4，0），∴OA＝4．又∵△OAB是等腰直角三角形，∴BM＝OM＝AM，∴点B的坐标为（2，2）．故答案为：（2，2）．（2）将点B坐标代入反比例函数解析式得，k＝2×2＝4，∴反比例函数解析式为y．∵AC⊥x轴，∴xC＝xA＝4．将x＝4代入反比例函数解析式得，y＝1，∴点C的坐标为（4，1）．令直线BC的函数解析式为y＝mx+n，将点B和点C的坐标代入函数解析式得，，解得，所以直线BC的函数解析式为y．17．（6分）如图，AB是半圆O的直径，点D是弦AC延长线上一点，连接BD，BC，∠D＝∠ABC＝60°．（1）求证：BD是半圆O的切线；（2）当BC＝3时，求的长．【答案】（1）见解析；（2）2π．【解答】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵∠D＝∠ABC，∴∠D+∠A＝90°，∴∠ABD＝90°，∵AB是半圆O的直径，∴BD是半圆O的切线；（2）解：连接OC，∵∠ABC＝60°，∴∠AOC＝2∠ABC＝120°，∵OC＝OB，∴△BOC是等边三角形，∴OC＝BC＝3，∴的长2π．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）如图，书架宽84cm，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚0.8cm，每本语文书厚1.2cm．（1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本；（2）如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？【答案】（1）书架上数学本60本，语文书30本；（2）数学书最多还可以摆90本．【解答】解：（1）设书架上数学书x本，则语文书（90﹣x）本，根据题意得，0.8x+1.2（90﹣x）＝84，解得x＝60，所以90﹣x＝30，答：书架上数学本60本，语文书30本．（2）设数学书还可以摆m本，则10×1.2+0.8m≤84，解得m≤90，所以数学书最多还可以摆90本．19．（8分）图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”．如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体ABCD和矩形碗底BEFC组成，已知AD∥EF，AM，DN是太阳光线，AM⊥MN，DN⊥MN，点M，E，F，N在同一条直线上．经测量ME＝FN＝20.0m，EF＝40.0m，BE＝2.4m，∠ABE＝152°．（结果精确到0.1m）（1）求“大碗”的口径AD的长；（2）求“大碗”的高度AM的长．（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）【答案】（1）“大碗”的口径AD的长为80.0m；（2）“大碗”的高度AM的长约为40.0m．【解答】解：（1）∵AM⊥MN，DN⊥MN，∴∠AMN＝∠DNM＝90°，∵AD∥MN，∴∠DAM＝180°﹣∠AMN＝90°，∴四边形AMND是矩形，∴AD＝MN＝ME+EF+FN＝20.0+40.0+20.0＝80.0（m），∴“大碗”的口径AD的长为80.0m；（2）延长CB交AM于点G，由题意得：BE＝GM＝2.4m，BG＝ME＝20.0m，BG⊥AM，∠EBG＝90°，∵∠ABE＝152°，∴∠ABG＝∠ABE﹣∠EBG＝62°，在Rt△ABG中，AG＝BG•tan62°≈20.0×1.88＝37.6（m），∴AM＝AG+MG＝37.6+2.4＝40.0（m），∴“大碗”的高度AM的长约为40.0m．20．（8分）追本溯源题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．（1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由．方法应用（2）如图2，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F，交BC于点G．①图中一定是等腰三角形的有B．A.3个B.4个C.5个D.6个②已知AB＝3，BC＝5，求CF的长．【答案】（1）△BDE的形状是等腰三角形，理由见解析；（2）①B；②2．【解答】解：（1）△BDE的形状是等腰三角形，理由如下：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．∵BC∥ED，∴∠EDB＝∠CBD，∴∠EDB＝∠ABD，∴EB＝ED，∴△BDE是等腰三角形．（2）①共有四个等腰三角形．分别是：△ABE，△ABG，△AFD，△CGF，故答案为：B；②由（1）可知，∠ABE＝∠EBG＝∠AEB．AB＝AE＝3，∵AF⊥BE，∴∠BAF＝∠EAF．∵BC∥AD，∴∠EAG＝∠AGB，∴∠BAF＝∠AGB，∴AB＝AG＝3，∵AB∥FD，∴∠BAF＝∠CFG，∵∠AGB＝∠CGF，∴∠CGF＝∠CFG，∴CG＝CF，∵CG＝BC﹣BG＝5﹣3＝2，∴CF＝2．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）近年来，我国肥胖人群的规模快速增长．目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是．中国人的BMI数值标准为：BMl＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖；BMI≥28为肥胖．某数学兴趣小组对本校七年级学生的胖瘦程度进行统计调查，从该校所有七年级学生中随机抽出10名男生、10名女生，测得他们的身高和体重值，并计算出相应的BMI数值，再参照BMI数值标准分成四组：A.16≤BMI＜20；B.20≤BMI＜24；C.24≤BMI＜28；D.28≤BMI＜32．将所得数据进行收集、整理、描述．收集数据七年级10名男生数据统计表编号12345678910身高（m）1.561.501.661.581.501.701.511.421.591.72体重（kg）52.549.545