2025版高中数学一轮复习课时作业梯级练二十一同角三角函数的基本关系诱导公式课时作业理含解析新人教A版

PAGE课时作业梯级练二十一同角三角函数的基本关系、诱导公式一、选择题(每小题5分，共35分)1．(2024·漯河模拟)sin(－eq\f(10,3)π)的值等于()A．eq\f(\r(3),2)B．－eq\f(\r(3),2)C．eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)【解析】选A.sin(－eq\f(10,3)π)＝sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2).2.已知sinQUOTE=-QUOTE,且α∈QUOTE,则tanQUOTE= ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选A.因为sinQUOTE=-QUOTE,所以sinα=-QUOTE.因为α∈QUOTE,所以cosα=QUOTE,则tanα=-QUOTE.因为tanQUOTE=-tanα,所以tanQUOTE=QUOTE.3．化简eq\f(sin（π－α）·cos（3π＋α）,sin（\f(3π,2)＋α）·cos（α－\f(π,2)）)的结果为()A．1B．－1C．sinαD．cosα【解析】选A.原式＝eq\f(sinα·（－cosα）,（－cosα）·sinα)＝1.4.在平面直角坐标系中,若角α的终边经过点PQUOTE,则sinQUOTE= ()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.由诱导公式可得:cosQUOTE=cosQUOTE=cosQUOTE=QUOTE,即PQUOTE,由三角函数的定义可得:sinα=QUOTE=QUOTE,则sinQUOTE=-sinα=-QUOTE.5．已知sin(α＋eq\f(π,12))＝－eq\f(1,3)，则cos(α－eq\f(5π,12))的值为()A．eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C．eq\f(2\r(2),3)D．－eq\f(2\r(2),3)【解析】选B.因为eq\f(5π,12)－α＝eq\f(π,2)－(α＋eq\f(π,12))所以cos(α－eq\f(5π,12))＝cos(eq\f(5π,12)－α)＝cos[eq\f(π,2)－(α＋eq\f(π,12))]＝sin(α＋eq\f(π,12))＝－eq\f(1,3).6.(2024·桂林模拟)已知sinα=QUOTEcosα,则sin2α+sinαcosα+1= ()A.QUOTEB.QUOTEC.1D.3【解析】选B.因为sinα=QUOTEcosα,所以tanα=QUOTE,所以sin2α+sinαcosα+1=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.7．已知sinαcosα＝eq\f(1,8)，且eq\f(5π,4)＜α＜eq\f(3π,2)，则cosα－sinα的值为()A．－eq\f(\r(3),2)B．eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(3,4)D．eq\f(3,4)【解析】选B.因为eq\f(5π,4)＜α＜eq\f(3π,2)，所以cosα＜0，sinα＜0且cosα＞sinα，所以cosα－sinα＞0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×eq\f(1,8)＝eq\f(3,4)，所以cosα－sinα＝eq\f(\r(3),2).二、填空题(每小题5分，共15分)8．(2024·威海模拟)已知sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)，|θ|＜eq\f(π,2)，则θ等于________．【解析】因为sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)，所以－sinθ＝－eq\r(3)cosθ，tanθ＝eq\r(3).因为|θ|＜eq\f(π,2)，所以θ＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)9．(2024·淮安模拟)已知sin(eq\f(π,3)－α)＝eq\f(1,3)，(0＜α＜eq\f(π,2))，则sin(eq\f(7π,6)＋α)＝________．【解析】因为sin(eq\f(π,3)－α)＝eq\f(1,3)，(0＜α＜eq\f(π,2))，所以sin(α－eq\f(π,3))＝－eq\f(1,3)，又－eq\f(π,3)＜α－eq\f(π,3)＜eq\f(π,6)，所以cos(α－eq\f(π,3))＝eq\f(2\r(2),3)，则sin(eq\f(7π,6)＋α)＝sin(π＋eq\f(π,6)＋α)＝－sin(eq\f(π,6)＋α)＝－sin[eq\f(π,2)－(eq\f(π,3)－α)]＝－cos(α－eq\f(π,3))＝－eq\f(2\r(2),3).答案：－eq\f(2\r(2),3)10．已知tanθ＝2，则eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ)＋sin2θ的值为________．【解析】原式＝eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ)＋sin2θ＝eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ)＋eq\f(sin2θ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tanθ＋1,tanθ)＋eq\f(tan2θ,tan2θ＋1)，将tanθ＝2代入，得原式＝eq\f(23,10).答案：eq\f(23,10)【一题多解】在平面直角坐标系xOy中，tanθ＝2＝eq\f(2,1)，不妨设θ为锐角，角θ的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上取点P(1，2)，则|OP|＝eq\r(5)，由三角函数的定义，得sinθ＝eq\f(2,\r(5))，cosθ＝eq\f(1,\r(5))，所以eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ)＋sin2θ＝eq\f(\f(2,\r(5))＋\f(1,\r(5)),\f(2,\r(5)))＋(eq\f(2,\r(5)))2＝eq\f(23,10).答案：eq\f(23,10)1.(5分)(2024·南充模拟)已知QUOTE=2,则tanα= ()A.-QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.2【解析】选A.因为QUOTE=2,所以sinα=2+2cosα,所以两边平方,得sin2α=4+8cosα+4cos2α,即1-cos2α=4+8cosα+4cos2α,所以整理得,5cos2α+8cosα+3=0,所以解得cosα=-1,或cosα=-QUOTE;因为当cosα=-1时,1+cosα=0,QUOTE无意义;所以当cosα=-QUOTE时,sinα=QUOTE,tanα=QUOTE=-QUOTE.2．若f(cosx)＝cos2x，则f(sin15°)＝________．【解析】f(sin15°)＝f(cos75°)＝cos150°＝－cos30°＝－eq\f(\r(3),2).答案：－eq\f(\r(3),2)【一题多解】f(cosx)＝cos2x化为f(sin(eq\f(π,2)＋x))＝cos2x，所以f(sin15°)＝cos(－150°)＝－eq\f(\r(3),2).答案：－eq\f(\r(3),2)3．(2024·淮安模拟)若tanα＋eq\f(1,tanα)＝eq\f(5,2)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，则eq\f(sin（π－2α）－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),cos（－2α）＋1＋sin2α)的值为________．【解析】因为tanα＋eq\f(1,tanα)＝eq\f(5,2)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以tanα＝2或eq\f(1,2)(舍去)，所以eq\f(sin（π－2α）－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),cos（－2α）＋1＋sin2α)＝eq\f(sin2α－cos2α,cos2α＋1＋sin2α)＝eq\f(cosα（2sinα－cosα）,2cos2α＋sin2α)＝eq\f(2tanα－1,2＋tan2α)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)4．化简(1)QUOTE.(2)a2sin810°＋b2tan765°－2abcos360°.(3)若eq\f(π,2)＜α＜π，化简eq\f(cosα,\r(1－cos2α))＋eq\f(sinα\r(1－sin2α),1－cos2α).【解析】(1)＝eq\f(sinα（－cosα）sinα（－sinα）,－cosαsinα（－sinα）cosα)＝tanα.(2)a2sin810°＋b2tan765°－2abcos360°＝a2sin90°＋b2tan45°－2abcos0°＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.(3)因为eq\f(π,2)＜α＜π，所以sinα＞0，cosα＜0，eq\f(cosα,\r(1－cos2α))＋eq\f(sinα\r(1－sin2α),1－cos2α)＝eq\f(cosα,\r(sin2α))＋eq\f(sinα\r(cos2α),sin2α)＝eq\f(cosα,sinα)＋eq\f(－sinαcosα,sin2α)＝e