专题3-6 双曲线的离心率与常用二级结论【12类题型】（原卷版）-A4

22/24第页专题3-6双曲线的离心率与常用二级结论（12类题型汇总）总览题型解读总览题型解读TOC\o"1-3"\n\h\z\u模块一：求离心率与其它值【题型1】结合余弦定理解焦点三角形【题型2】双焦点三角形模型：导边【题型3】构造齐次化方程【题型4】用2次余弦定理求离心率【题型5】利用几何性质求离心率【题型6】与向量结合【题型7】求离心率范围模块二：双曲线中常考模型【题型8】点差法（弦中点模型）【题型9】点差法（第三定义）【题型10】渐近线的垂线模型【题型11】双曲线焦点三角形内切圆【题型12】焦点弦长与焦半径公式题型汇编知识梳理与常考题型题型汇编知识梳理与常考题型模块一：求离心率与其它值【题型1】结合余弦定理解焦点三角形（浙江嘉兴·高二统考期末）已知和是双曲线：的左、右焦点，是上一点，当时，，则的离心率为（

）A． B． C． D．已知，为双曲线的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线离心率的值为A． B． C．2 D．3【题型2】双焦点三角形模型：导边已知双曲线方程为，，两焦点分别为，，直线经过与双曲线交于两点，其中且，则此双曲线离心率为.、分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若是等边三角形，则该双曲线的离心率为A． B． C． D．已知分别为双曲线的左､右焦点，过左焦点的直线交双曲线左支于两点，且，则该双曲线的离心率.（广东深圳·高二统考期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线E的左、右两支分别交于A，B两点，若，则的面积为．已知，为双曲线的左、右焦点，斜率为的直线过分别交双曲线左、右支于、点，，则双曲线的离心率为______________.已知双曲线的左､右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与双曲线的左､右支分别交于点，，且，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．已知点、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若，则双曲线的离心率为A． B． C． D．【题型3】构造齐次化方程双曲线，的左、右焦点分别为，，是双曲线上一点，轴，，则双曲线的离心率为A． B． C． D．2已知双曲线的两条渐近线分别为，点，分别为双曲线的左、右焦点，以原点O为圆心且过两焦点的圆与交于点P(P在第一象限)，点Q为线段的中点，且，则双曲线的离心率为( )A． B． C． D．（广东湛江·高二统考期末）是椭圆上的一点，为左顶点，为右焦点，轴，若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．双曲线，的左、右焦点分别为，，是双曲线上一点，轴，，则双曲线的离心率为A． B． C． D．2（江苏南京·高二统考期中）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上一点，连接交轴于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．已知点为双曲线右支上一点，分别为的左，右焦点，直线与的一条渐近线垂直，垂足为，若，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【题型4】用2次余弦定理求离心率已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，且双曲线的离心率为，则（

）A． B． C． D．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别相交于两点，直线与双曲线的另一交点为，若为等腰三角形，且的面积是的面积的2倍，则双曲线C的离心率为.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作直线交双曲线的右支于，两点，其中点在第一象限，且．若，则双曲线的离心率为A． B．2 C． D．4【题型5】利用几何性质求离心率求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.已知双曲线的左焦点为，过的直线与圆相切，切点为，交双曲线的右支于点，且，则的离心率为．（23-24高二下·河南焦作·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线与交于，两点，且，则（

）A．2 B． C． D．已知双曲线的左，右两个焦点分别为，，A为其左顶点，以线段为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为，且，则的离心率（

）A． B． C． D．3在平面直角坐标系中，已知双曲线：的右焦点为，P为C上一点，以为直径的圆与C的两条渐近线相交于异于点O的M，N两点.若，则C的离心率为（

）A． B． C． D．已知双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与的左支交于、两点，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．已知点为双曲线右支上一点，分别为的左，右焦点，直线与的一条渐近线垂直，垂足为，若，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．（广东深圳·高二深圳大学附属中学校考期末）已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，点是和的一个交点.若点满足是正三角形且，则.【题型6】与向量结合设，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点E，与双曲线右支交于点P，且满足，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．过双曲线的右焦点作圆的切线，交轴于点，切圆于点，若，则双曲线的离心率是A． B． C．2 D．（24-25高二上·江西南昌·期中）已知双曲线的左､右作点分别为为坐标原点，倾斜角为的直线过右焦点且与双曲线的左支交于点，若，则双曲线的离心率为．【题型7】求离心率范围解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③单调性法；④三角换元法已知椭圆与双曲线，椭圆的短轴长与长轴长之比大于，则双曲线离心率的取值范围为.（23-24高二上·福建漳州·期末）已知双曲线的左焦点为，以为圆心、为半径作圆，若圆上存在点，双曲线的右支上存在点使得，则双曲线的离心率的取值范围为．已知是双曲线的左右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是______．已知双曲线（其中），若，则双曲线离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．已知双曲线的左右顶点分别为，点是双曲线上在第一象限内的点，直线的倾斜角分别为，则；当取最小值时，的面积为．模块二：双曲线中常考模型【题型8】点差法（弦中点模型）中点弦模型（圆锥曲线中的垂径定理） 椭圆垂径定理（中点弦模型）：已知A,B是椭圆上任意2点，且弦不平行轴，M为线段AB中点，则有证明（点差法）：设，，则，，，∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得① ②两式相减得：，整理得∴【思考】在双曲线中是否有类似的性质？（2）∵A，B在双曲线上，代入A，B坐标得 ① ②两式相减得：，整理得可以看到，这一等式建立了二次曲线弦的斜率与弦的中点坐标之间关系式．也就是说，已知弦的中点，可求弦的斜率；已知斜率，可求弦的中点坐标．同时也不难得出这样的经验，当题目问题涉及到弦的斜率与弦的中点时，就可以考虑“点差法”．诸如求中点弦的方程，弦中点的轨迹，垂直平分线等等，这些都是较为常见题型．注：抛物线中同样存在类似性质：已知双曲线，过点且被平分的弦所在的直线斜率为（

）A． B． C． D．所以，代入上式可得已知双曲线，，是上的两点，是的中点，为坐标原点，直线的斜率为，则直线的斜率为．已知双曲线，斜率为的直线与的左右两支分别交于两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点.若直线的斜率为，则的离心率为.斜率为1的直线与双曲线（）交于两点，点是曲线上的一点，满足，和的重心分别为，的外心为，记直线，，的斜率为，，，若，则双曲线的离心率为.已知双曲线，过点且被平分的弦所在的直线斜率为（

）A． B． C． D．已知直线l与双曲线交于A、B两点，且弦AB的中点为，则直线l的方程为．已知A，B为双曲线C：上的两点，且A，B关于直线：对称，则线段中点的坐标为.不与轴重合的直线经过点，双曲线：上存在两点A，B关于对称，AB中点M的横坐标为，若，则的值为.（24-25高二上·河南南阳·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点．(1)求双曲线的方程；(2)直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程．【题型9】点差法（第三定义）第三定义 点差法是不是只能解决同时与中点和斜率有关的问题呢?其实不然．其实点差法的内核还是“设而不求、整体代换”的思想，建立的是曲线上两点横纵坐标和差之间的联系，这其实也是第三定义的体现.第三定义：平面内与两个定点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时．【第三定义推广】：平面内与两个关于原点对称的点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时．【证明】是椭圆上的一组对称点，P为椭圆上任意点，则有 证明（点差法）：设，，，，，∵P，A在椭圆上，代入坐标得① ②两式相减得：，整理得∴法二：通过椭圆的垂径定理转换 中点弦和第三定义本质上是一样的【思考1】在双曲线中是否有类似的性质？设，，，，，① ②两式相减得：，整理得∴法二：构造中位线设，∵P，B在双曲线上，代入双曲线方程得① ②两式相减得：，整理得∴同理可得，当焦点在y轴上时，椭圆有：；双曲线有：已知为双曲线的右顶点，为双曲线右支上一点，若点关于双曲线中心的对称点为，设直线、的倾斜角分别为、，且，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．已知点A，B，C都在双曲线：上，且点A，B关于原点对称，.过A作垂直于x轴的直线分别交，于点M，N.若，则双曲线的离心率是（）A. B. C.2 D.已知双曲线的右焦点为，左､右顶点分别为、，点在上运动（与、枃不重合），直线交直线于点，若恒成立，则的离心率为.已知双曲线的左､右顶点分别为，抛物线与双曲线交于两点，记直线，的斜率分别为，则为.已知，是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线，分别交椭圆于另外的点，．若直线过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为．已知、是椭圆与双曲线的公共顶点，是双曲线上一点，，交椭圆于，.若过椭圆的焦点，且，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．

【题型10】渐近线的垂线模型一、焦点到渐近线的距离为b1．设双曲线方程（焦点在x轴）、设（右）焦点，求出双曲线的渐近线方程，求焦点到（过一三象限的）渐近线的距离2．将渐近线的方程化为一般式，利用点到直线距离公式求距离，结合双曲线中a、b、c的关系求出结果3．根据双曲线的对称性（x、y轴对称，原点中心对称）可知，无论焦点在x轴还是y轴，无论是左焦点还是右焦点，无论到哪一条渐近线，焦点到渐近线的距离都是b（半虚轴长）【证明】

设双曲线的方程为：则双曲线的渐近线方程为：设右焦点为（c，0），渐近线的一般式为：根据点到直线的距离公式得：故焦点到渐近线的距离都是b（半虚轴长）二、已知双曲线方程为的右焦点为，过点且与渐近线垂直的直线分别交两条渐近线于两点.情形1.如图1.若,则图1图2如图2.若，则过双曲线的右焦点做一条渐近线的垂线，垂足为，与双曲线的另一条渐近线交于点，若，则此双曲线的离心率为________已知双曲线，过的右焦点作垂直于渐近线的直线交两渐近线于、两点、两点分别在一、四象限，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作一条渐近线的垂线交双曲线的左支于点，已知，则双曲线的渐近线方程为．设双曲线C：(，)的一个焦点为F，过F作一条渐近线的垂线，垂足为E．若线段EF的中点在C上，则C的离心率为．已知分别是双曲线的左，右焦点，过点作E的渐近线的垂线，垂足为P．点M在E的左支上，当轴时，，则E的渐近线方程为．（2024·全国·模拟预测）设为双曲线的右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，与另一条渐近线交于．若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．已知双曲线与直线相交于，两点，点为双曲线上的一个动点，记直线，的斜率分别为，，若，且双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离为1，则双曲线的标准方程为．（多选）已知点为双曲线上的任意一点，过点作渐近线的垂线，垂足分别为，则（）A．B．C．D．的最大值为【题型11】双曲线焦点三角形内切圆一、单个焦点三角形的内切圆：圆心在直线上证明：不妨设点P在双曲线C右支上的任意一点，设的内切圆的圆心I在三边上的投影分别为B，E，D因为由双曲线定义，可知：又因为，所以，所以。即B恰为双曲线的右顶点，所以点I必在直线上．根据对称性可知，点I必在直线上二、焦点和一条焦点弦所成三角形的内切圆:有一个焦点为切点证明：设内切圆分别与的三边F1A，F1B，AB相切于M，N，P，由切线长定理可知，，设，则有故，即，所以P，F2重合．已知分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，若，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．3如图，双曲线的左右焦点分别为，，若存在过的直线交双曲线右支于，两点，且，的内切圆半径，满足，则双曲线的离心率取值范围为（

）A． B． C． D．双曲线的左，右焦点分别为，，右支上有一点M，满足，的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为．已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的内切圆周长为.（多选题）已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的面积为，的内切圆的面积为，则（

）A．圆和圆外切 B．圆心在直线上C． D．的取值范围是（多选）过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于两点，的内切圆分别切直线于点，内切圆的圆心为，半径为，则（