专题4-3 等差数列的前n项和（解析版）-【重难点突破】2024-2025学年高二上学期数学常考题专练（新高考）-A4

1/60第页专题4-3等差数列的前n项和总览总览题型解读TOC\o"1-3"\n\h\z\u【题型1】等差数列前n项和的基本量计算【题型2】前n项和与等差中项【题型3】片段和性质【题型4】Snn的性质【题型5】由Sn求通项公式（6种类型全归纳）【题型6】两个等差数列前n项和之比【题型7】偶数项或奇数项的和【题型8】等差数列的前n项和与二次函数的关系【题型9】等差数列前n项和的最值【题型10】含绝对值的等差数列前n项和【题型11】等差数列的简单应用【题型12】等差数列前n项和性质综合（累加，前n项积，隔项等差，奇偶数列）题型题型汇编知识梳理与常考题型【题型1】等差数列前n项和的基本量计算等差数列的前n项和公式公式一：=；公式二：=【例题1】（2024·全国·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则.【答案】95【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.【详解】因为数列为等差数列，则由题意得，解得，则.【例题2】已知等差数列的前n项和为.若，且，则【答案】【分析】利用等差数列的通项公式及求和公式得出数列的首项与公差的关系式，表示出即可求出结果.【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得，由，得，所以.【例题3】已知等差数列的前n项和为，若则.【答案】3【分析】由已知列方程组求得等差数列的首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案．【详解】设等差数列的首项为，公差为，则，解得，则.【例题4】设为等差数列的前n项和，若，，若时，，则等于（

）A．11 B．12 C．20 D．22【答案】D【分析】根据，求出首项与公差的关系，再根据结合等差数列的前项和公式即可得解.【详解】设公差为，由，得，所以，由，得故，则，因为，所以，化简得，解得或（舍去）.【巩固练习1】（23-24高二下·福建泉州·期末）已知等差数列an的前n项和为Sn，若a4=7，S4A．3 B．4 C．5 D．6【解题思路】应用等差数列通项公式及前n项和公式基本量运算，最后求出a2即可【解答过程】因为a4所以a1所以a2【巩固练习2】（2023·全国·高考1卷真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．，若，求的通项公式；【答案】【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；【详解】（1），，解得，，又，，即，解得或（舍去），.【巩固练习3】（24-25·湖北宜昌·期中）记为等差数列的前项和，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知利用等差数列的通项公式和前项和公式求基本量，然后求出，再结合等差数列前项和公式和等差数列的性质求解即可.【详解】设等差数列的公差为，则，解得，所以，所以.【巩固练习4】（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知为等差数列的前n项和，若，，则．【答案】【分析】先根据条件列方程组求出首项和公差，再利用等差数列的通项公式求解即可.【详解】设等差数列的公差为，由得，整理得①由得，整理得②，由①②得，所以.【巩固练习5】（2023·全国·高考II卷真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，，求的通项公式；【答案】(1)；【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答.【详解】（1）设等差数列的公差为，而，则，于是，解得，，所以数列的通项公式是.【巩固练习6】（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知数列和均为等差数列，它们的前项和分别为和，且，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，由等差数列的前项和可得，然后设，，代入计算，列出方程，即可得到结果.【详解】由可得，即，设，，则，所以，，．若，则解得，，，此时，．即；同理，若，则，解得，则，．即；综上，．【题型2】前n项和与等差中项若项数为，则(an是数列的中间项)，例如，，【例题1】（2024·全国·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.【详解】方法一：利用等差数列的基本量由，根据等差数列的求和公式，，又.故选：D方法二：利用等差数列的性质根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式，，故.故选：D方法三：特殊值法不妨取等差数列公差，则，则.【例题2】已知等差数列，其前项和为，则（

）A．24 B．36 C．48 D．64【答案】B【分析】根据题意，结合等差数列的性质，求得，再由，即可求解.【详解】因为数列为等差数列，且，由等差数列的性质，可得，所以，又由.【例题3】（24-25高二上·江苏苏州·期中）等差数列的前项和为，若为定值时也是定值，则的值为（

）A．9 B．11 C．13 D．不能确定【答案】C【分析】根据等差数列的性质可得为定值，结合基本量法可求的值.【详解】因为为定值且，故为定值，故为定值，其中为公差.而，故当且仅当即时，为定值.【例题4】（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）设为等差数列的前项和，若，则（

）A．5 B．10 C． D．15【答案】B【分析】利用等差中项性质得，再利用等差数列的下标和性质求解即可.【详解】若，由等差中项性质得，故，即，易知.【巩固练习1】（24-25高三上·安徽马鞍山·期中）设等差数列的前n项和为，已知，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】利用等差数列的性质和前n项和公式即可求解.【详解】由等差数列的性质可知：，即，再由前n项和公式得：【巩固练习2】为等差数列的前n项和，，，则该等差数列的公差（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据等差数列前和公式以及等差数列定义即可得到答案.【详解】,故.【巩固练习3】（23-24高二下·吉林·开学考试）等差数列的前项和为.若，则（

）A．8096 B．4048 C．4046 D．2024【答案】B【分析】根据等差数列性质可得，再结合等差数列的求和公式从而可求解.【详解】由等差数列的性质可得，所以，所以.故B正确.【巩固练习4】等差数列的前n项和为，若，，则公差．【答案】【分析】利用等差数列前n项和公式及等差中项、通项公式得，即可求公差.【详解】由，则.【巩固练习5】（2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（

）A．25 B．22 C．20 D．15【答案】C【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出；方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出．【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，，即,又，解得：，所以．故选：C.方法二：，，所以，，从而，于是，所以．【巩固练习6】（24-25高二上·江苏苏州·期中）等差数列的前n项和为Sn，当为定值时，也是定值，则k的值为（

）A．11 B．13 C．15 D．不能确定【答案】B【分析】根据等差数列的性质以及求和公式可得为定值，结合等差数列的通项公式转化，列出关系式即可求解.【详解】因为，当为定值时，即为定值，即为定值，，所以，解得【巩固练习7】已知数列的前项和为，且数列满足．若，则（

）A．9 B．10 C．17 D．19【答案】C【分析】根据等差中项判断是等差数列，然后由可得，由可得公差，即可求得.【详解】，数列是等差数列，设公差为，则，可得，又，可得，.【巩固练习8】（22-23高二上·浙江台州·期末）已知等差数列的前项和为，若公差，且，则（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】B【分析】利用等差数列前n项和二次函数性质及求得，进而求得，最后应用等差数列前n项和公式求结果.【详解】由，故对称轴为，又，所以，即，故，所以.【题型3】片段和性质等差数列中,其前项和为,则中连续的项和构成的数列构成等差数列.【例题1】（23-24高二下·福建福州·期中）已知等差数列的前项和为，则________【答案】81【分析】根据等差数列的性质和等差中项的性质得到，然后解方程即可.【详解】根据等差数列的性质可得，，成等差数列，所以，即，解得.【例题2】（2024·全国·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值.【详解】由，则，则等差数列的公差，故.【例题3】已知等差数列的前项和为40，前项和为420，则前项和为（

）A．140 B．180 C．220 D．380【答案】B【分析】利用等差数列的前项和的性质即可求解.【详解】设等差数列的前项和为，则成等差数列，所以，又所以，解得.所以等差数列的前项和为.【巩固练习1】（23-24高二下·河北唐山·期末）已知等差数列，前项和为，则（

）A．20 B．25 C．30 D．35【答案】C【分析】由已知结合等差数列的求和公式即可求解.【详解】设等差数列的首项为，公差为，则，化简得，【巩固练习2】（23-24高二下·广东广州·期末）在等差数列中，为其前项和，若，，则（

）A．7 B．8 C．9 D．12【答案】C【分析】利用等差数列前和的性质，得出，求解即可.【详解】因为数列是等差数列，且，，所以根据等差数列前项和的性质可得成等差数列，所以，所以，解得．【巩固练习3】等差数列的前n项和，若，则（

）A．10 B．20 C．30 D．15【答案】A【分析】由等差数列性质得，成等差数列，设公差为d，则，可求得对应公差，则可求值【详解】由等差数列有成等差数列，设为d，则，故.【巩固练习4】（23-24高二上·天津·期末）设为等差数列的前项和，且，，则.【答案】39【分析】由题意成等差数列，结合，即可求解.【详解】由题意为等差数列的前项和，且，，所以，而成等差数列，所以.【巩固练习5】（23-24高二上·福建福州·期末）在等差数列中，若，则=（

）A．100 B．120 C．57 D．18【答案】B【分析】根据等差数列前项和性质求解．【详解】是等差数列，则仍成等差数列，又，，所以，，，所以【巩固练习6】（23-24高二上·广东深圳·期末）已知等差数列的前项和为，，，则（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根据等差数列中成等差数列求解即可.【详解】在等差数列中，，，所以，故构成公差为的等差数列，所以，即.【巩固练习7】设是等差数列的前项和，，，则.【答案】200【分析】根据等差数列前项和性质结合等差数列基本量的计算求出新等差数列的公差，最后根据等差数列的前项和公式计算可得.【详解】依题意，，，，…，依次成等差数列，设该等差数列的公差为.又，，因此，解得，所以.【题型4】前n项和与n的比（Snn的性质）{an}为等差数列为等差数列【例题1】已知数列为等差数列，其前项和为，且，，则（

）A．63 B．72 C．135 D．144【答案】C【分析】设出公差，表达出，代入得到方程，求出公差，从而求出首项，利用求和公式得到答案.【详解】设等差数列的公差为，则，则．由，得，解得．又因为，所以，所以．【例题2】已知等差数列前n项和为，其中，则＝.【答案】【分析】根据等差数列的性质计算出答案.【详解】若，因为为等差数列，故,故，.【例题3】（2023·全国·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.，【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，则，因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，即，则，有，两式相减得：，即，对也成立，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确.方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即，即，，当时，上两式相减得：，当时，上式成立，于是，又为常数，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.【例题4】在等差数列中，，其前项和为，若，则.【答案】100【分析】由等差数列性质得数列为等差数列，设其公差为d，进而得，故，进而得，再计算即可.【详解】∵数列为等差数列，∴数列为等差数列，设其公差为d，又，解得：，又∵，∴，即∴【巩固练习1】（23-24高二下·江西萍乡·期末）已知数列an的前n项和为Sn，若Snn是等差数列，且S10A．14 B．-94 C．5【解题思路】根据等差数列的性质，先求出Snn的公差，再结合等差数列通项公式求得S【解答过程】由题意知Snn是等差数列，设其公差为则由S8=2S4+8S10=0，则S10故a1【巩固练习2】已知等差数列的前项和为，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合等差数列求和公式可推导证得数列为等差数列，进而求得等差数列的公差，根据等差数列通项公式可求得结果.【详解】设等差数列的公差为，则，数列是公差为的等差数列，，解得：，.【巩固练习3】（多选）若等差数列的公差为，前项和为，记，则（

）A．数列是公差为的等差数列B．数列是公差为的等差数列C．数列是公差为的等差数列D．数列是公差为的等差数列【答案】AC【分析】利用等差数列的定义可判断各选项的正误.【详解】由已知可得，对于AB选项，，所以，数列是公差为的等差数列，A对B错；对于C选项，，所以，数列是公差为的等差数列，C对；对于D选项，，所以，数列是公差为的等差数列，D错.【巩固练习4】已知等差数列的前项和为，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合等差数列求和公式可推导证得数列为等差数列，进而求得等差数列的公差，根据等差数列通项公式可求得结果.【详解】设等差数列的公差为，则，数列是公差为的等差数列，，解得：，.【巩固练习5】已知等差数列的前项和为，，，则.【答案】【分析】设等差数列的公差为，推导出数列为等差数列，且公差为，求出的值，可求得的值，即可得解.【详解】设等差数列的公差为，，则，所以，数列为等差数列，且公差为，所以，，故，所以，.【巩固练习6】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）等差数列的通项公式为，其前项和为，则数列的前100项的和为（

）A．-10100 B．10100 C．-5050 D．5050【答案】C【分析】利用等差数列求和，再判断数列是等差数列，再求前100项和.【详解】等差数列，所以，所以，因为，即数列是等差数列，所以数列数列的前项的和为.【巩固练习7】（23-24高二上·河北保定·期末）已知数列满足，的前项和为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等差数列定义可证得数列是以为公差的等差数列，由此可得结果.【详解】，数列是以为公差的等差数列，，数列是以为公差的等差数列，.【巩固练习8】已知等差数列的首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为．【答案】【分析】根据等差数列通项和前项和的函数性可证得数列为等差数列，结合已知等式可求得，由可构造不等式组求得结果.【详解】设等差数列的公差为，，，数列是以为首项，为公差的等差数列，，解得：；，，解得：，即的取值范围为.【题型5】由Sn求通项公式（6种类型全归纳）由Sn求通项公式一般都要验证首项是否满足通项公式1、已知与的关系；或与的关系时用，得到类型一：首项满足通项公式例：类型二：首项不满足通项公式即首项不可合并，即例：类型三：以的形式出现 例：已知求2、已知与的关系；或与的关系时，替换题中的类型四：消保留 例：①已知；②已知3、对于式子中有提到且出现关于和的二次式可以考虑利用十字相乘进行因式分解．类型五：因式分解型 例：，类型六：已知为等差数列 对于题目中已经提到为等差数列时，一般不用，得到，而是令，求基本量和【例题1】若等差数列的前n项和为，则该数列的公差为．【答案】【分析】根据数列通项公式与前n项和的关系求得等差数列公差即可.【详解】因为数列的前n项和为，所以当时，，当时，满足上式，所以，公差为.【例题2】已知数列前n项和为，求数列的通项公式.【答案】【分析】应用求解即可.【详解】当时，，当时，，当时，不成立，所以【例题3】已知数列的前项和为，且有．求数列的通项公式.【答案】【详解】（1）由题，当时，，∴；当时，由，所以，两式相减，可得，∴．当时，满足，∴．【例题4】已知数列的前n项和为，，且，求通项公式．【答案】【详解】，即是以2为公差，1为首项的等差数列，即当时，显然，时，上式不成立，所以.【例题5】为数列的前项和，已知，则的通项公式=．【答案】【分析】先利用项与和的关系，得到，再利用等差数列通项公式求解答案.【详解】当时，，因为，所以=3；当时，==，即，因为，所以，所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，所以=【例题6】设等差数列前项和，，满足，，求数列的通项公式【答案】【详解】依题意有，，，又为等差数列，设公差为，，【巩固练习1】已知数列的前项和，．若是等差数列，则的通项公式为．【答案】【分析】利用等差数列的定义以及的关系即可得出结论.【详解】由知，当时，；当时，，此时，当时，，当时，，而，若数列是等差数列，则，所以，则.【巩固练习2】已知数列的前项和为，若，，则数列的通项公式________【答案】【解析】当时，，作差得，即当时，是公比为3的等比数列，而，则，故【巩固练习3】已知正项数列满足，若，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】由已知和式求出通项的通项，从而得出，再由已知条件，从而求出，类似的往前推，求出即可.【详解】时，时，，【巩固练习4】在数列中，，求的通项公式.【答案】【详解】解：因为，①则当时，，即，当时，，②①②得，所以，也满足，故对任意的，.【巩固练习5】设为数列的前项和，已知，求【详解】由题意知，，又，得．当时，由，得，得．则数列是首项为，公差为1的等差数列．所以．又，则．当时，，又满足上式，所以．【巩固练习6】设等差数列前项和，，满足，，求数列的通项公式【答案】【分析】当时，可得，求得，根据为等差数列，求出公差得解.【详解】依题意有，，，又为等差数列，设公差为，，.【巩固练习7】已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列,求数列的通项公式【答案】【分析】根据等差数列的性质即可求解公差，进而可求解，【详解】设的公差为，依题意得，所以，即，化简得，解得或（舍去），，所以经检验满足题意.【题型6】两个等差数列前n项和之比若{an},{bn}都为等差数列，Sn,Tn分别为它们的前n项和，则【例题1】两个等差数列，的前项和分别为，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，结合等差中项公式和等差数列的求和公式，即可求解.【详解】由两个等差数列，的前项和分别为，且，根据等差数列的求和公式，可得.【例题2】等差数列、的前项和分别为与，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等差数列前n项和性质，公式求解.【详解】由等差数列性质得，，等差数列前n项和满足，则，等差数列前n项和满足，则，所以.【例题3】（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）设等差数列，的前项和分别为，，都有，则的值为.【答案】【分析】根据等差数列前项和公式及前n项和与项的关系求解.【详解】因为等差数列，中，，所以可设，所以【巩固练习1】（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知两等差数列，，前n项和分别是，，且满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等差数列前n项和的性质，可设、，计算即可得.【详解】由，bn为等差数列，故可令、，则.【巩固练习2】（23-24高二下·湖北·开学考试）已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，设，，由，即可求解结果．【详解】因为，为等差数列，且，所以可设，，则，，.【巩固练习3】设数列和都为等差数列，记它们的前项和分别为和，满足，则【答案】【分析】根据给定的关系等式，结合等差数列通项的特征，设出数列和的通项，求出首项，再利用等差数列前n项和公式求解作答.【详解】数列和都为等差数列，且，则令，，为常数，因此等差数列的首项，等差数列的首项，所以.【巩固练习4】（22-23高二上·浙江嘉兴·期末）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据等差数列的性质和通项公式可得，再根据等差数列的求和公式可得，结合已知条件求解即可【详解】设等差数列的公差为，则，因为，所以，因为等差数列和的前项和分别为、，满足，所以，所以，【巩固练习5】已知等差数列和等差数列的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质可得，进而可求解.【详解】由于所以，要使为整数，则为24的因数，由于，故可以为，故满足条件的正整数的个数为7个【巩固练习6】已知数列，均为等差数列，其前项和分别为，，且，则使恒成立的实数的最大值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】根据等差数列的性质与求和公式，结合已知可得，然后求出的最小值可得答案.【详解】由题意得，，因为，，当且仅当时取等号，所以使恒成立的实数的最大值是.【巩固练习7】（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）(多选)已知等差数列和的前n项和分别为和，且，，则下列结论正确的有（

）A．数列是递增数列 B．C．使为整数的正整数n的个数为0 D．的最小值为【答案】ACD【分析】化简已知等式由函数的单调性可得A正确；取反例结合等差数列的求和公式可得B错误；化简已知等式可得C正确；结合等差数列的求和公式判断为递增数列，再讨论的取值可得D正确；【详解】对于A，，所以数列是递增数列，故A正确；对于B，若，则，，所以，故B错误；对于C，由可知无整数，故C正确；对于D，因为和bn是等差数列，且前n项和分别为和，所以，所以递增，所以最小值为时，为，故D正确；故选：ACD.【题型7】偶数项或奇数项的和等差数列奇偶项和的性质：1、若项数为,①则.②2、若项数为，①则(an是数列的中间项)，②，③【例题1】已知等差数列的公差，，那么（

）A．80 B．120 C．135 D．160【答案】C【分析】利用等差数列奇数项和偶数项的关系求解.【详解】解：在等差数列中，公差，，所以,所以【例题2】（23-24高二下·江西·阶段练习）已知等差数列共有项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则．【答案】10【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解.【详解】奇数项有项，偶数项有项，所以奇数项和为，偶数项和为，故，解得.【例题3】已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程，即可求解.【详解】设等差数列的公差为，首项为，则，所以，因为，即，则，等差数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，等差数列的前30项中奇数项有15项，所以，得，所以.【巩固练习1】已知是等差数列，其中，，________.【答案】-50【详解】设等差数列的公差为d，因为，所以，所以，，所以.因为是等差数列，所以，是首项为，公差为的等差数列，共有10项，.【巩固练习2】一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为，偶数项的和为15，则这个数列的第6项是．【答案】3【分析】设等差数列公差为d，由题意列出方程组，求得首项和公差，求得数列的通项公式，即可求得答案.【详解】设等差数列公差为d，则由奇数项的和为，偶数项的和为15，得，，解得，，所以，故这个数列的第6项是3【巩固练习3】已知等差数列的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】A【分析】设等差数列有，项．公差为．由于奇数项和为40，偶数项和为32，可得，，分别相加相减即可得出．【详解】解：设等差数列有奇数项，．公差为．奇数项和为40，偶数项和为32，，，，，，即等差数列共项，且【巩固练习4】求下列两题：(1)等差数列前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，求该数列的公差；(2)项数为奇数的等差数列，奇数项和为44，偶数项和为33，求该数列的中间项．【答案】(1)5；(2)11．【分析】（1）利用前12项中奇数项和偶数项和的比和前12项的总和列出方程，求出前12项的奇数项和偶数项的和，然后即可求出公差.（2）根据等差数列奇数项和偶数项之比可求出项数，然后根据等差数列求和性质即可求解.【详解】（1）解：由题意得：设等差数列的首项为，公差为，奇数项和为，偶数项的和为则由题意得：，解得：由等差数列性质可知：解得：故该数列的公差为.（2）设等差数列中共有项，则奇数项有项，偶数项由项，中间项为第项，记作，奇数项和为，偶数项的和为由等差数列前项和的性质，可知又所以，解得：又因为，所以所以这个数列的中间项为，共有项.【题型8】等差数列的前n项和与二次函数的关系等差数列的前n项和公式与二次函数的关系等差数列{}的前n项和，令，，则.(1)当A＝0，B＝0(即d＝0，＝0)时，＝0是常数函数，{}是各项为0的常数列．(2)当A＝0，B≠0(即d＝0，≠0)时，＝Bn是关于n的一次函数，{}是各项为非零的常数列．(3)当(即)时,是关于的二次函数式(常数项为0).数列的图象是抛物线上的一群孤立的点.【例题1】（高二下·广东佛山·期中）(多选)等差数列中，，公差，为其前n项和，对任意正整数n，若点在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线不可能是（

）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】等差数列的前项和关于n的二次函数，根据二次函数的图象和性质,判断图象的开口方向，可判断A，B；判断图象对称轴位置，判断C，D，即可到答案．【详解】等差数列中，，公差，为其前项和，，点在曲线上，，二次函数开口向下，故A，B不可能；对称轴，对称轴在轴的右侧，故C可能，D不可能.故选：ABD【例题2】（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k为（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】D【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和的性质，列式计算即得.【详解】等差数列的前n项和是关于n的二次函数，由二次函数的对称性及，，得，解得，所以正整数k为2023．【巩固练习1】在等差数列中，首项，公差，为其前n项和，则点可能在下列哪条曲线上？（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】依据等差数列的前n项和的二次函数性质，去判定其开口方向和对称轴位置即可解决.【详解】等差数列的前n项和由，知，即抛物线开口向下，排除选项AB；由，，知对称轴，排除选项D.【巩固练习2】(多选)设是公差为的等差数列的前项和，则下列命题正确的是（

）A．若，则数列有最大项B．若数列有最大项，则C．若数列是递增数列，则对任意，均有D．若对任意，均有，则数列是递增数列【答案】ABD【分析】由题意，分、分别讨论对应的函数性质可判断A，B；若数列是递增数列，则，若数列是递减数列，则分析可判断C，D.【详解】因为，若，对应二次函数开口向下，由二次函数的性质可知，数列有最大项，正确；若，二次函数开口向上，无最大项故若数列有最大项，有，B正确；若数列是递增数列，则，若，则，故不一定对任意，均有，C错误；若数列是递减数列，则，一定存在实数，当时，之后所有项都为负数，不能保证对任意，均有故若对任意，均有，有数列是递增数列，D正确．故选：ABD【巩固练习3】（23-24高二上·湖北武汉·期末）(多选)已知等差数列的前项和为，，，则下列结论正确的有（

）A．是递减数列 B．C．使时的最小值是21 D．最小时，【答案】BCD【分析】由题意首先得，进一步，由此即可判断AB，由等差数列求和公式有，由此即可判断CD.【详解】已知等差数列的前项和为，，，所以，所以，所以，即是递增数列，故A错误；而，所以，故B正确；又，若，则，所以使时的最小值是21，故C正确；，又，所以最小时，，故D正确.【巩固练习4】（22-23高二上·湖北武汉·期末）(多选)等差数列的前项和为，若，公差，且，则下列命题正确的有（

）A．是数列中的最大项 B．是数列中的最大项C． D．满足的的最大值为【答案】ACD【分析】由得出，代入与，对选项依次判断即可.【详解】∵，∴，∴，∴，∴，，对于A，，∵，∴当时，取最大值，∴是数列中的最大项，故选项A正确；对于B，∵，，所以等差数列是递减数列，数列中的最大项为，故选项B错误；对于C，，故选项C正确；对于D，∵，∴，解得，∵，∴满足的的最大值为，故选项D正确.故选：ACD.【题型9】等差数列前n项和的最值求等差数列前n项和的最值的常用方法：(1)邻项变号法：①若,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得的最小值.②若,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得的最大值.(2)二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值.(3)不等式组法：借助当Sn最大时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn最大值)，类似可求Sn的最小值.【例题1】已知等差数列,求数列前n项和的最大值，并求解此时的n为何值.【答案】的最大值为78，此时或.【分析】判断数列的单调性，求出时的最大值，再求出前n项和即可.【详解】等差数列的公差，当时，，因此数列是递减等差数列，前12项均为正，第13项为0，从第14项起为负，所以当或时，数列前n项和最大，.【例题2】（多选）已知无穷等差数列的前项和为，，且，则（

）A．在数列中，公差 B．当时，取得最大值C． D．使的最大正整数为14【答案】AB【分析】由已知条件可得，所以公差，即A正确；根据数列的递减性质可知当时，取得最大值，即B正确；又因为，可知C错误，经计算可得的符号不确定，即D错误.【详解】根据题意由可得，由可得；可设等差数列的公差为，则，即A正确；即可得数列为递减数列，且，所以可得，即可得当时，取得最大值，B正确；易得，所以C错误；当时可得，又因为，所以的符号不确定，所以D错误.故选：AB【例题3】已知等差数列中，，设其前n项和为，当且仅当时取得最大值，则公差d的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知条件判断出数列是递减数列，且，进而结合等差数列的通项公式得到不等式组，解之即可求出结果.【详解】因为等差数列的前n项和为，当且仅当时取得最大值，所以数列是递减数列，且，又因为，所以，即【例题4】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知数列是等差数列，是的前n项和，，.(1)求数列的通项公式；(2)求的最小值.【答案】(1)(2)-57【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式列方程组求出即可得，（2）由通项公式可求得当时，，从而可得当时，取到最小值，进而可求出其最小值【详解】（1）设数列的公差为d，则，解得，所以.（2）令，解得，所以当时，.故当时，取到最小值，为.【巩固练习1】为等差数列，若，，那么取得最小正值时，的值（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等差数列的性质可得，从而得，由，结合条件得到，即可求解．【详解】因为，，所以，故等差数列的公差，又，又，，得到，【巩固练习2】已知等差数列的公差不为，其前项和为，且，，当取得最小值时，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设等差数列的公差为，由可得出，然后解不等式，可得出当取得最小值时对应的的值.【详解】设等差数列的公差为，由可得，整理可得，所以，，令，即，解得，因此，当取最小值时，.【巩固练习3】（23-24高二上·山东济宁·期末）(多选)已知等差数列的前n项和为，且，则下列结论中正确的是（

）A．是递增数列 B．时，n的最大值为13C．数列中的最大项为 D．时，n的最大值为27【答案】BC【分析】利用等差数列的前n项和公式和等差数列的性质得到和，从而逐项判断.【详解】由已知，，，所以等差数列的前13项大于0，从第14项开始小于0，B正确；则，所以是递减数列，A错误；且为等差数列的前n项和的最大值，C正确；，D错误.【巩固练习4】（23-24高二下·湖北·阶段练习）(多选)设是公差为d的等差数列，为其前项的和，且，，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．，均为的最大值【答案】BCD【分析】由题意首先得，结合已知可得，进一步有，由此即可逐一判断每个选项.【详解】由题意，又是公差为d的等差数列，所以，故A错B对；从而，所以，均为的最大值，D对；而，所以，C对.【巩固练习5】（23-24高二上·湖北武汉·期末）(多选)已知等差数列的前项和为，公差为，且，则下列说法正确的是（

）A． B． C．当时，取得最小值 D．【答案】BC【详解】由题意可知，故B正确D错误；所以，故A错误；而，所以当时，取得最小值，故C正确.【巩固练习6】（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）(多选)设是公差为d的等差数列，是其前n项的和，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】利用等差数列前n项和公式可得，进而有，再由通项公式及前n项和二次函数性质判断各项正误.【详解】由题设，则，所以，即，则，，A、C错；由，开口向上且对称轴为，所以，，B、D对.故选：BD【巩固练习7】所以取得最小正值时，的值为已知等差数列的前项和为，且，则下列说法错误的是（

）A． B．C．数列是递减数列 D．中最大【答案】D【分析】利用等差数列前项和的公式即可得出，，进而逐个选项判断即可.【详解】因为，所以，又，所以，则，所以等差数列单调递减，中最大.【巩固练习8】（22-23高二下·安徽·开学考试）已知等差数列的公差为d，首项，当且仅当时，其前n项和取得最大值，则d的取值范围是．【答案】【分析】先利用题给条件列出关于d的不等式组，解之即可求得d的取值范围.【详解】等差数列的首项，当且仅当时，其前n项和取得最大值，则，即，解得．【巩固练习9】已知等差数列中，，当且仅当时，前项和取得最小值，则公差的取值范围是.【答案】【分析】根据等差数列前项和的性质，判断的符号，即可得解.【详解】由题意可得，即，解得，即公差的取值范围是.故答案为：.【题型10】含绝对值的等差数列前n项和找到数列中首次出现非正或非负数的位置，这通常发生在数列的中间部分，具体位置取决于和d的符号与大小。根据该转折点将数列分为两部分处理：一是所有正数项（或绝对值）的和，二是所有负数项（取其相反数后）的和。最后，将这两部分的和相加即得整个数列前n项的绝对值之和。【例题1】数列的前项和为，则数列的前项和．【答案】【分析】根据与的关系，利用相减法求得，再根据确定其各项的正负取值情况，从而可求的值.【详解】因为数列的前项和为所以当时，；当时，，又符合上式，所以，所以时，，时，，故.【例题2】已知,若，求数列的前n项和．【答案】【分析】分情况，即可根据等差数列求和公式求解.【详解】依题意，．当时，，故；当时，，故．故【巩固练习1】（24-25高二上·江苏徐州·期中）在等差数列中，，，设，则（）A．281 B．651 C．701 D．791【答案】C【分析】根据给定条件,求出等差数列的公差及通项公式,判断正数、负数项,再求出.【详解】等差数列中,由,得公差,则,显然当时,,当时,,所以【巩固练习2】（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）记为等差数列的前项和，已知.则数列的前20项和为．【答案】218【分析】根据题意，列式求出的通项公式，判断当时，，当时，，列式求出数列的前20项和为.【详解】设等差数列的公差为，由题意可得，即，解得，，可得当时，，当时，，设数列的前20项和为，则.【巩固练习3】已知,设，求数列的前项和.【答案】【分析】求出当时，，当时，，分两种情况，求解答案.【详解】，当时，，，当时，，，故当时，，当时，，综上，.【巩固练习4】（2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；（2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解.【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意可得，即，解得，所以，（2）因为，令，解得，且，当时，则，可得；当时，则，可得；综上所述：.【巩固练习5】（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列bn的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，求得，再由，得到，求得，进而求得数列的通项公式；（2）由（1），利用等差数列的求和公式，求得,令，得到时，，时，，根据，分类讨论，即可求解.【详解】（1）解：设等差数列的公差为，因为，可得，所以，又因为，所以，所以，所以数列的通项公式为.（2）解：由（1）知，，可得,令，即，解得，所以，当时，；当时，，因为，且数列bn的前项和，当时，；当时，，综上可得，数列bn的前项和.【巩固练习6】（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）在等差数列中，的前项和为．(1)求数列的通项公式；(2)求取最大值时的值；(3)设，求．【答案】(1)(2)6(3)【分析】（1）求出等差数列的公差和首项，即可求得通项公式；（2）利用等差数列的前n项和公式，即可求得答案；（3）判断数列的项的正负情况，讨论n的取值，结合等差数列的前n项和公式，即可求得答案.【详解】（1）由题意知在等差数列中，，设公差为d，则，则，故，故通项公式．（2）结合（1）可得，当时，取最大值．（3），由，得，即时有，时有，若，，若时，，综合上述．【巩固练习7】等差数列的前项和为,当为何值时，最小？并求此最小值.【答案】8，4【分析】由，分，，利用二次函数的性质求解.【详解】，当时，，当时，递增，当时，递减，又，所以的最小值为7；当时，，在上递增，又，所以的最小值为4，综上：的最小值为4.【题型11】等差数列的简单应用【例题1】已知从冬至日起，小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影长减等寸（减等寸：以相等的尺寸减少）.若雨水的日影长为95寸，冬至､小寒､大寒､立春的日影长之和为480寸，则冬至的日影长为（

）A．135寸 B．130寸 C．125寸 D．120寸【答案】A【分析】利用等差数列的通项公式与前项和公式列式求解即可.【详解】由题意得十二个节气的日影长成等差数列，设该等差数列的公差为，则，解得，所以冬至的日影长为135寸.【例题2】中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于2024年4月执行载人航天飞行任务.运送“神十八”的长征二号运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，以后每秒钟通过的路程都增加3km，在达到离地面222km的高度时，火箭开始进入转弯程序，从点火到进入转弯程序大约需要12秒，则的值为.【答案】【分析】设每一秒钟的路程为等差数列，由首项和公差写出前项和公式，由列方程求出的值．【详解】设每一秒钟的路程为数列，由题意知为等差数列，首项为，公差为，由前项和公式为，又，解得．【例题3】【巩固练习1】（23-24高二上·云南迪庆·期末）明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由，，和求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七.借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”意思是一位老人有九个儿子，不知道他们的出生年月，他们的年龄从大到小排列都差3岁，所有儿子的年龄加起来是207.只要算出长子是多少岁，其他每个儿子的岁数就可以推算出来，则该问题中老人长子的岁数为（

）A．27 B．31 C．35 D．39【答案】C【分析】根据给定信息，可得九个儿子的岁数从大到小构成公差为的等差数列，再利用等差数的前n项和公式列方程求解即可.【详解】依题意，九个儿子的岁数从大到小构成公差为的等差数列，设长子的岁数为，则，解得，所以该问题中老人长子的岁数为35.【巩固练习2】（23-24高二上·河南洛阳·期末）周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【答案】C【分析】根据给定条件，构造等差数列，结合等差数列通项及前n项和求解即得.【详解】设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长分别为，，，，前n项和，由小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，得，解得，，所以谷雨日影长为（尺）．【巩固练习3】张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码．现在问题是，另外一个缺货尺寸是（

）A．28码 B．29.5码 C．32.5码 D．34码【答案】C【分析】利用等差数列的通项公式求得尺码的总个数，再利用等差数列的前项和公式求得总尺码，继而得到缺货尺寸的总码数，进一步计算即可.【详解】设第一个尺码为，公差为，则，则，当时，，故若不缺码，所有尺寸加起来的总和为码，所有缺货尺码的和为码，又因为缺货的一个尺寸为码，则另外一个缺货尺寸码【题型12】前n项和性质综合（隔项等差，累加，前n项积，奇偶数列）【例题1】（24-25高二上·江苏苏州·期中）(多选)已知公差不为0的等差数列的前项和为，则（

）A．点在同