专题19 电磁学计算-【好题汇编】5年（2020-2024）高考1年模拟物理真题分类汇编（解析版）

专题19电磁学计算1．（2024·北京·高考）如图甲所示为某种“电磁枪”的原理图。在竖直向下的匀强磁场中，两根相距L的平行长直金属导轨水平放置，左端接电容为C的电容器，一导体棒放置在导轨上，与导轨垂直且接触良好，不计导轨电阻及导体棒与导轨间的摩擦。已知磁场的磁感应强度大小为B，导体棒的质量为m、接入电路的电阻为R。开关闭合前电容器的电荷量为Q。（1）求闭合开关瞬间通过导体棒的电流I；（2）求闭合开关瞬间导体棒的加速度大小a；（3）在图乙中定性画出闭合开关后导体棒的速度v随时间t的变化图线。【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）开关闭合前电容器的电荷量为Q，则电容器两极板间电压开关闭合瞬间，通过导体棒的电流解得闭合开关瞬间通过导体棒的电流为（2）开关闭合瞬间由牛顿第二定律有将电流I代入解得（3）由（2）中结论可知，随着电容器放电，所带电荷量不断减少，所以导体棒的加速度不断减小，其v-t图线如图所示2．（2023·北京·高考）某种负离子空气净化原理如图所示。由空气和带负电的灰尘颗粒物（视为小球）组成的混合气流进入由一对平行金属板构成的收集器。在收集器中，空气和带电颗粒沿板方向的速度保持不变。在匀强电场作用下，带电颗粒打到金属板上被收集，已知金属板长度为L，间距为d、不考虑重力影响和颗粒间相互作用。（1）若不计空气阻力，质量为m、电荷量为的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压；（2）若计空气阻力，颗粒所受阻力与其相对于空气的速度v方向相反，大小为，其中r为颗粒的半径，k为常量。假设颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度。a、半径为R、电荷量为的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压；b、已知颗粒的电荷量与其半径的平方成正比，进入收集器的均匀混合气流包含了直径为和的两种颗粒，若的颗粒恰好100%被收集，求的颗粒被收集的百分比。

【答案】（1）；（2），25%【详解】（1）只要紧靠上极板的颗粒能够落到收集板右侧，颗粒就能够全部收集，有解得（2）a.颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度且解得b.带电荷量q的颗粒恰好100%被收集，颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，所受阻力等于电场力，有在竖直方向颗粒匀速下落的颗粒带电荷量为q颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，所受阻力等于电场力，有设只有距下极板为d′的颗粒被收集，在竖直方向颗粒匀速下落解得的颗粒被收集的百分比3．（2023·北京·高考）2022年，我国阶段性建成并成功运行了“电磁撬”，创造了大质量电磁推进技术的世界最高速度纪录。一种两级导轨式电磁推进的原理如图所示。两平行长直金属导轨固定在水平面，导轨间垂直安放金属棒。金属棒可沿导轨无摩擦滑行，且始终与导轨接触良好，电流从一导轨流入，经过金属棒，再从另一导轨流回，图中电源未画出。导轨电流在两导轨间产生的磁场可视为匀强磁场，磁感应强度B与电流i的关系式为（k为常量）。金属棒被该磁场力推动。当金属棒由第一级区域进入第二级区域时，回路中的电流由I变为。已知两导轨内侧间距为L，每一级区域中金属棒被推进的距离均为s，金属棒的质量为m。求：（1）金属棒经过第一级区域时受到安培力的大小F；（2）金属棒经过第一、二级区域的加速度大小之比；（3）金属棒从静止开始经过两级区域推进后的速度大小v。

【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）由题意可知第一级区域中磁感应强度大小为金属棒经过第一级区域时受到安培力的大小为（2）根据牛顿第二定律可知，金属棒经过第一级区域的加速度大小为第二级区域中磁感应强度大小为金属棒经过第二级区域时受到安培力的大小为金属棒经过第二级区域的加速度大小为则金属棒经过第一、二级区域的加速度大小之比为（3）金属棒从静止开始经过两级区域推进后，根据动能定理可得解得金属棒从静止开始经过两级区域推进后的速度大小为4．（2022·北京·高考）指南针是利用地磁场指示方向的装置，它的广泛使用促进了人们对地磁场的认识。现代科技可以实现对地磁场的精确测量。（1）如图1所示，两同学把一根长约10m的电线两端用其他导线连接一个电压表，迅速摇动这根电线。若电线中间位置的速度约10m/s，电压表的最大示数约2mV。粗略估算该处地磁场磁感应强度的大小B地；（2）如图2所示，一矩形金属薄片，其长为a，宽为b，厚为c。大小为I的恒定电流从电极P流入、从电极Q流出，当外加与薄片垂直的匀强磁场时，M、N两电极间产生的电压为U。已知薄片单位体积中导电的电子数为n，电子的电荷量为e。求磁感应强度的大小B；（3）假定（2）中的装置足够灵敏，可用来测量北京地区地磁场磁感应强度的大小和方向，请说明测量的思路。【答案】（1）数量级为10－5T；（2）；（3）见解析【详解】（1）由E=BLv可估算得该处地磁场磁感应强度B地的大小的数量级为10－5T。（2）设导电电子定向移动的速率为v，t时间内通过横截面的电量为q，有导电电子定向移动过程中，在方向受到的电场力与洛伦兹力平衡，有得（3）如答图3建立三维直角坐标系Oxyz设地磁场磁感应强度在三个方向的分量为Bx、By、Bz。把金属薄片置于xOy平面内，M、N两极间产生电压Uz仅取决于Bz。由（2）得由Uz的正负（M、N两极电势的高低）和电流I的方向可以确定Bz的方向。同理，把金属薄片置于xOz平面内，可得By的大小和方向；把金属薄片置于yOz平面内，可得Bx的大小和方向，则地磁场的磁感应强度的大小为根据Bx、By、Bz的大小和方向可确定此处地磁场的磁感应强度的方向。5．（2022·北京·高考）如图所示，真空中平行金属板M、N之间距离为d，两板所加的电压为U。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M板由静止释放。不计带电粒子的重力。（1）求带电粒子所受的静电力的大小F；（2）求带电粒子到达N板时的速度大小v；（3）若在带电粒子运动距离时撤去所加电压，求该粒子从M板运动到N板经历的时间t。【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）两极板间的场强带电粒子所受的静电力（2）带电粒子从静止开始运动到N板的过程，根据功能关系有解得（3）设带电粒子运动距离时的速度大小为v′，根据功能关系有带电粒子在前距离做匀加速直线运动，后距离做匀速运动，设用时分别为t1、t2，有，则该粒子从M板运动到N板经历的时间6．（2021·北京·高考）如图所示，M为粒子加速器；N为速度选择器，两平行导体板之间有方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。从S点释放一初速度为0、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，经M加速后恰能以速度v沿直线（图中平行于导体板的虚线）通过N。不计重力。（1）求粒子加速器M的加速电压U；（2）求速度选择器N两板间的电场强度E的大小和方向；（3）仍从S点释放另一初速度为0、质量为2m、电荷量为q的带正电粒子，离开N时粒子偏离图中虚线的距离为d，求该粒子离开N时的动能。【答案】（1）；（2），方向垂直导体板向下；（3）【详解】（1）粒子直线加速，根据功能关系有解得（2）速度选择器中电场力与洛伦兹力平衡得方向垂直导体板向下。（3）粒子在全程电场力做正功，根据功能关系有解得7．（2021·北京·高考）类比是研究问题的常用方法。（1）情境1：物体从静止开始下落，除受到重力作用外，还受到一个与运动方向相反的空气阻力（k为常量）的作用。其速率v随时间t的变化规律可用方程（①式）描述，其中m为物体质量，G为其重力。求物体下落的最大速率。（2）情境2：如图1所示，电源电动势为E，线圈自感系数为L，电路中的总电阻为R。闭合开关S，发现电路中电流I随时间t的变化规律与情境1中物体速率v随时间t的变化规律类似。类比①式，写出电流I随时间t变化的方程；并在图2中定性画出I-t图线。（3）类比情境1和情境2中的能量转化情况，完成下表。情境1情境2物体重力势能的减少量物体动能的增加量电阻R上消耗的电能【答案】（1）；（2）a.，b.；（3）见解析【详解】（1）当物体下落速度达到最大速度时，加速度为零，有得（2）a.由闭合电路的欧姆定理有b.由自感规律可知，线圈产生的自感电动势阻碍电流，使它逐渐变大，电路稳定后自感现象消失，I-t图线如答图2（3）各种能量转化的规律如图所示情境1情境2电源提供的电能线圈磁场能的增加量克服阻力做功消耗的机械能8．（2020·北京·高考）如图甲所示，匝的线圈（图中只画了2匝），电阻，其两端与一个的电阻相连，线圈内有指向纸内方向的磁场。线圈中的磁通量按图乙所示规律变化。(1)判断通过电阻的电流方向；(2)求线圈产生的感应电动势；(3)求电阻两端的电压。【答案】(1)；(2)；(3)【详解】(1)根据图像可知，线圈中垂直于纸面向里的磁场增大，为了阻碍线圈中磁通量的增大，根据楞次定律可知线圈中感应电流产生的磁场垂直于纸面向外，根据安培定则可知线圈中的感应电流为逆时针方向，所通过电阻的电流方向为。(2)根据法拉第电磁感应定律(3)电阻两端的电压为路端电压，根据分压规律可知1．（2024·北京海淀·统考一模）有关列车电气制动，可以借助如图所示模型来理解，图中水平平行金属导轨处于竖直方向的匀强磁场中，导轨间距为L，磁场的磁感应强度为B，金属棒MN的质量为m，导轨右端接有阻值为R的电阻，金属棒接入电路部分的电阻为r，导轨的电阻不计。MN在安培力作用下向右减速运动的过程对应于列车的电气制动过程，金属棒MN开始减速时的初速度为v0。（1）求开始减速时：①导体棒两端的电压U。②安培力的功率P。（2）在制动过程中，列车还会受到轨道和空气阻力的作用，为了研究问题方便，设这些阻力总和大小恒定，对应于棒受到的大小恒定的摩擦阻力f，在金属棒的速度从v0减至的过程中，金属棒的位移大小为x。求该过程中电路中产生的焦耳热Q。【答案】（1）①；②；（2）【详解】（1）①根据法拉第电磁感应定律可知导体棒两端的电压为②电路中的电流为安培力的功率为解得（2）根据能量守恒定律可知解得2．（2024·北京西城·统考一模）磁力刹车是为了保证过山车在最后进站时的安全而设计的一种刹车形式。在轨道之间设置较强的磁场，刹车金属片安装在过山车底部，该装置（俯视）可简化为如图所示的模型：水平导轨间距为L，刹车金属片等效为一根金属杆ab，整个回路的等效电阻为R。磁场区域为方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，过山车的总质量为m。过山车以速度v进入磁场区域，通过磁场区域后速度变为0.5v。磁力刹车阶段不计摩擦力和空气阻力。（1）求杆ab刚进入磁场区域时，受到的安培力F的大小和方向。（2）求过山车通过磁场区域的过程中，电路中产生的焦耳热Q。（3）求磁力刹车阶段过山车加速度大小a的变化范围。为使过山车加速度的大小不超过a₀，磁感应强度的大小应满足什么条件？【答案】（1）；与速度方向相反；（2）；（3）【详解】（1）杆通过磁场的过程，产生的感应电动势为根据闭合电路欧姆定律，回路的感应电流的大小杆受到的安培力大小杆受到的安培力方向与速度方向相反。（2）杆通过磁场的过程中，根据能量守恒定律有（3）设杆刚进入磁场时加速度的大小为，根据牛顿第二定律有得同理，杆即将离开磁场时的加速度大小磁力刹车阶段过山车的加速度大小的变化范围为为使加速度的大小不超过，则得3．（2024·北京西城·统考一模）我国的东方超环（EAST）是研究可控核聚变反应的超大型科学实验装置。该装置需要将高速运动的离子变成中性粒子，没有被中性化的离子对实验装置有很大的破坏作用，因此需要利用“偏转系统”将其从粒子束中剥离出来。“偏转系统”的原理简图如图1所示，包含中性粒子和带电离子的混合粒子进入由一对平行带电极板构成的匀强电场区域，混合粒子进入电场时速度方向与极板平行，极板右侧存在匀强磁场区域。离子在电场磁场区域发生偏转，中性粒子继续沿原方向运动，到达接收器。已知离子带正电、电荷量为q，质量为m，速度为v，两极板间距为d。离子和中性粒子的重力可忽略不计，不考虑粒子间的相互作用。（1）两极板间不加电压，只利用磁场使离子发生偏转，若恰好所有离子均被图1中的吞噬板吞噬，求磁场的磁感应强度的大小B。（2）以下极板左端点为坐标原点建立坐标系，沿板建立x轴，垂直板建立y轴，如图1所示。假设离子在混合粒子束中是均匀分布的，单位时间内通过y轴单位长度进入电场的离子数为n。在两极板间加电压U，恰好所有离子均被吸附在下极板。a．求极板的长度L，并分析落在x轴上坐标为范围内的离子，进入电场时通过y轴的坐标范围。b．离子落在极板上的数量分布呈现一定的规律，若单位时间内落在下极板x位置附近单位长度上的离子数量为，求随x变化的规律，在图2中作出图像，说明图线与横轴所围面积的物理意义。（若远小于x，则）【答案】（1）；（2）a．，；b．见解析【详解】（1）离子恰好被全部吞噬时，离子的运动半径由洛伦兹力提供向心力得（2）a．离子恰好全部落在下极板，则从上极板边缘进入电场中的离子沿板方向做匀速直线运动有离子受到电场力根据牛顿第二定律有垂直板方向做匀变速直线运动有得落在下极板位置的离子，在电场中的运动时间进入电场时的纵坐标同理，落在下极板位置的离子，进入电场时纵坐标离子从区间进入电场。b．单位时间从范围内进入电场的离子，落在区间，由离子数量相等有得图像如图所示图线下的面积代表单位时间内落在下极板的离子数。4．（2024·北京东城·统考一模）如图甲所示，在光滑绝缘水平桌面上有一边长为l、电阻为R的正方形导线框abcd，在导线框右侧有一宽度大于l的条形匀强磁场区域，磁场的边界与导线框的左、右边框平行，磁感应强度大小为B，磁场方向竖直向下。导线框以向右的初速度进入磁场。（1）求dc边刚进入磁场时，线框中感应电动势的大小；（2）求dc边刚进入磁场时，ab边的瞬时电功率；（3）若导线框能够完全通过磁场区域并继续运动，请在图乙中定性画出导线框所受安培力大小F随时间t变化的图像，并说明安培力随时间变化的原因。【答案】（1）；（2）；（3），原因见解析【详解】（1）刚进入磁场时，dc边切割磁感线产生感应电动势，根据法拉第电磁感应定律可知，此时线框中感应电动势为（2）根据闭合电路欧姆定律可知，dc边刚进入磁场时，线框中感应电流为故ab边的瞬时电功率为联立解得（3）当线框dc边进入磁场到ab边进入磁场之前，根据法拉第电磁感应定律可知，任意时刻dc边产生的瞬时感应电动势为回路中的瞬时电流为线框此时受到的安培力为联立可得得方向与速度方向相反，因此，导线框做减速运动，随着速度v减小，安培力F也减小；根据牛顿第二定律有且a为速度的变化率，并且F正比于v，所以F减小的越来越慢。由于导线框能够全部通过磁场区域，故导线框在速度减为零前已完全进入磁场，且当整个线框均在磁场中运动时，ab边和cd边都产生感应电动势，但线框总电动势为零，电流为零，安培力为零，线框做匀速直线运动；当线框离开磁场区域时，只有ab边做切割磁感应线运动，只有ab边产生感应电动势，导线框又受到安培力作用，初始大小与ab边刚进入磁场时相同，之后随着速度的减小而减小。故导线框所受安培力大小F随时间t变化的图像如答图所示。5．（2024·北京朝阳·统考一模）地球高层大气空域的电离层中存在大量的自由电子和离子，使用绳系卫星可以研究电离层的特性。如图所示，由子卫星和组成的绳系卫星，在地球赤道上空的电离层中绕地球中心做匀速圆周运动。已知绳系卫星轨道距地面的高度为H，两颗子卫星之间的导体绳长为，导体绳沿地球半径方向。卫星轨道所在处的地磁场磁感应强度大小为B，方向如图。地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g，不计地球自转、电离层的运动。（1）不计环境阻力，求绳系卫星在轨道上绕地球中心运行速度的大小v；（2）考虑环境阻力并设其大小恒为f、方向总垂直于导体绳，为使卫星保持在原轨道上，设想在导体绳上串联接入一电动势恒定的电源，如图所示。该电源、导体绳及附近的电离层可视为闭合电路，电路等效总电阻为r，此时在电源和感应电动势的共同作用下，导体绳所受安培力恰好克服环境阻力。a．说明导体绳中电流方向及导体绳所受安培力方向；b．求接入电源的电动势E。【答案】（1）；（2）a．电流方向由指向，安培力方向与卫星运动方向相同；b．【详解】（1）万有引力提供向心力对地面质量为的物体有得（2）a．根据题意可知，导体绳所受安培力恰好克服环境阻力，则安培力方向与卫星运动方向相同，根据左手定则可知，电流方向由指向。b．由于电流方向由P1指向P2，根据闭合电路欧姆定律和右手定则有要求安培力与阻力平衡联立，解得6．（2024·北京丰台·统考一模）如图所示，空间中有宽度为d的匀强磁场区域，一束电子以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场边界的速度射入磁场，穿出磁场时的速度方向与原入射方向的夹角θ＝60°。已知电子的质量为m，电荷量为e，不计重力。求：（1）通过作图，确定电子做圆周运动时圆心的位置；（2）电子进入磁场的速度大小v；（3）电子穿越磁场的时间t；（4）电子穿越磁场过程中洛伦兹力冲量的大小I。【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4）【详解】（1）圆心O点位置的确定如图所示（2）设电子做圆周运动的半径为r，根据几何关系rsin60°＝d洛伦兹力提供向心力联立得电子速度（3）由圆周运动周期T与线速度v的关系得，电子运动时间为可得（4）根据动量定理如图所示可得动量的变化量大小为mv解得7．（2024·北京石景山·统考一模）（1）如图1所示，在匀强电场中，将电荷量的点电荷从电场中的A点移到B点，静电力做功，再从B点移到C点，静电力做功。已知电场的方向与△ABC所在的平面平行。①求A、B两点间的电势差UAB和B、C两点间的电势差；②如果规定B点的电势为0，求A点和C点的电势；③请在图中画出过B点的电场线方向，并说明理由；（2）如图2所示，电荷量为q的点电荷与均匀带电薄板相距2d，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心。已知静电力常量为k，若图中A点的电场强度为0，求B点的电场强度。【答案】（1）①，，②，，③见解析；（2），方向水平向左【详解】（1）①由静电力做功解得②由解得③过B点的电场线方向如图中箭头所示连接AB的中点与C点，即为一条φ=2V的等势线，根据匀强电场中电场线与等势线垂直且从高电势指向低电势的特点，过B点作等势线的垂线可得。（2）A点的电场强度为0，即点电荷q在A点的场强与带电板在A点的场强等大反向由对称性，带电板在B点的场强与A点的场强等大反向，则B点的电场强度方向水平向左。8．（2024·北京石景山·统考一模）（1）如图1所示，固定于水平面的U形金属框架处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为B，金属框两平行导轨间距为l。金属棒MN在外力的作用下，沿框架以速度v向右做匀速直线运动，运动过程中金属棒始终垂直于两平行导轨并接触良好。请根据法拉第电磁感应定律，推导金属棒MN切割磁感线产生的感应电动势E1的大小。（2）变化的磁场会在空间中激发感生电场。如图2所示，空间存在一个垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B0，磁场区域半径为R。一半径为r的圆形导线环放置在纸面内，其圆心O与圆形磁场区域的中心重合。如果磁感应强度B随时间t的变化关系为其中k为大于0的常量。求圆形导线环中的感应电动势E2的大小。（3）电源是通过非静电力做功把其它形式的能转化为电势能的装置，电源的电动势是电源内部非静电力所做的功与所移动的电荷量之比。已知电子的电荷量为e。求上述金属棒中电子所受到的非静电力F₁的大小和导线环中电子所受到的非静电力F2的大小。【答案】（1）；（2）；（3）；【详解】（1）在△t内金属框和棒所围面积的变化量是△S=lv△t则穿过闭合电路的磁通量的变化量是△=B△S=Blv△t根据法拉第电磁感应定律解得感应电动势（2）由得根据法拉第电磁感应定律解得（3）①金属棒MN向右切割磁感线时，棒中的电子受到沿棒向下的洛仑兹力充当非静电力F₁。由解得②在很短的时间内导线环中电子的位移为△x，非静电力对电子做的功为F₂△x，电子沿着导线环运动一周，非静电力做的功根据电动势定义解得9．（2024·北京通州·统考一模）一种测定电子比荷的实验装置如图所示。真空玻璃管内阴极K发出的电子经阳极A与阴极K之间的高压加速后，形成一细束电子流，以平行于平板电容器极板的速度进入两极板C、D间的区域，若两极板C、D间无电压，电子将打在荧光屏上的O点，若在两极板间施加电压U，则离开极板区域的电子将打在荧光屏上的P点；若在极板间再施加一个方向垂直于纸面、磁感应强度为B的匀强磁场，则电子在荧光屏上产生的光点又回到O点。该装置中C、D极板的长度为，间距为d，极板区的中点M到荧光屏中点O的距离为，P点到O点的距离为h。（1）判断所加磁场的方向；（2）求电子经高压加速后的速度大小v；（3）求电子的比荷。【答案】（1）垂直于纸面向外；（2）；（3）【详解】（1）加上磁场B后，荧光屏上的光点重新回到O点，可知电子受到电场力和洛伦兹力平衡，电场力方向竖直向下，则洛伦兹力竖直向上，故根据左手定则可得出磁场方向垂直于纸面向外。（2）电子受到电场力和洛伦兹力平衡，有又有联立解得，电子射入偏转电场的速度（3）电子在极板区域运行的时间在电场中的偏转位移电子离开极板区域时，沿垂直极板方向的末速度设电子离开极板区域后，电子到达光屏P点所需的时间为t2，则有电子离开电场后在垂直极板方向的位移P点离开O点的距离等于电子在垂直极板方向的总位移联立解得10．（2024·北京通州·统考一模）磁力刹车是为了保证过山车在进站前降到安全速度而设计的一种刹车方式，在轨道上安装可产生很强磁场的长条钕磁铁，刹车金属片安装在过山车底部或两侧。磁力刹车的结构原理可简化为如图1所示，相距为L，水平放置的导轨处于磁感应强度大小为B，方向竖直向下的匀强磁场中，整个回路的等效电阻为R。将过山车上的刹车金属片等效为一根金属杆MN。设过山车的质量为m，不计轨道摩擦和空气阻力。（1）若过山车水平行驶的速度为v，采用磁力刹车时，求此时过山车的加速度大小a。（2）我们已经学过放射性同位素衰变的快慢遵循一定的统计规律。任意半衰期T初始时刻的放射性同位素个数为N。时间T内发生衰变的放射性同位素个数为ΔN，满足。某同学经过分析发现过山车的速度变化与放射性同位素衰变规律相似，即过山车任意相等短时间内速度变化与初速度的比为定值，请推导过山车速度每减小一半所用时间的表达式。并根据该结论在图2中定性画出水平行驶的过山车在磁力刹车过程中的速度大小v随时间t的变化图像。（3）结合（1）、（2）的研究，对比摩擦力刹车方式，从刹车效果分析，简要说明磁力刹车的优势和不足。【答案】（1）；（2）；（3）见解析【详解】（1）若过山车水平行驶的速度为v，则感应电动势安培力加速度解得此时过山车的加速度大小（2）根据加速度的定义式可知根据题意，类比放射性同位素衰变规律，当速度减小为原来一半时，即整理有设任意相等时间为T，则过山车速度每减小一半所用时间的表达式定性画出水平行驶的过山车在磁力刹车过程中的速度大小v随时间t的变化图像如图。（3）磁力刹车：速度越大，减速的加速度越大，当速度减到一定程度时，加速度过小，不足以阻止列车。依赖于磁性的基本属性，除电磁铁外，使用永磁体的刹车不需要电力。摩擦力刹车：摩擦力恒定，与速度无关。存在不稳定性，比如下雨天刹车打滑等。11．（2024·北京通州·统考一模）对于同一个物理问题，经常可以从宏观与微观两个不同角度进行研究，找出其内在联系，加深理解。给定一段粗细均匀的导体AB，横截面积为S、长为L。单位体积内有n个自由电子，每个电子的电荷量为e。该导体AB两端加某一电压时，自由电子定向移动的平均速率为v。（1）求导体中的电流I；（2）经典物理学认为，金属的电阻源于定向运动的自由电子与金属离子（即金属原子失去电子后的剩余部分）的碰撞。电子与金属离子碰撞的平均结果表现为导体给电子以连续的阻力，这是导体形成电阻的原因。设阻力的大小与电子定向移动速率成正比，即，k是阻力系数。请推导导体的电阻率。（3）自由电子与金属离子发生碰撞，会使金属离子的热运动更加剧烈，电子将能量转移给金属离子，从而使金属导体发热。某段时间内，将导体中所有自由电子因与正离子碰撞而损失的动能之和设为，将这段时间内导体产生的焦耳热设为Q，请证明：。【答案】(1)；(2)见解析；(3)见解析【详解】(1)根据电流的微观表达式可解得(2)根据欧姆定律可知将电流微观表达式带入可得由电阻率表达式可知将该式带入欧姆定律表达式可得导体中电子匀速运动，有而根据电场强度和电势差的关系可知联立两式可得将v的表达式代入U的表达式可得化简后可解得最终化简可知(3)根据焦耳热表达式可知将电流微观表达式代入可得将电阻率公式和第(2)问的结论代入，化简可得由于L为电子移动的总距离，则每个电子损失的动能等于阻力做的功。每个电子移动的距离大约为vt，可得损失的动能为则导体AB中所有电子损失的总动能为可得12．（2024·北京顺义·统考一模）如图所示，两平行金属板MN、PQ之间电势差为U，金属板PQ的右方直角坐标系的第一象限内有一磁感应强度为B的匀强磁场。一带电量为+q、质量为m的粒子，从金属板MN的入口处由静止释放，经电场加速垂直于y轴进入磁场后做匀速圆周运动，恰好从K点射出，速度方向与x轴负方向夹角为60，忽略重力的影响，求：（1）粒子从电场射出时速度的大小v；（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径R和运动时间t；（3）若要使粒子从坐标原点O点射出，可以采取什么措施？【答案】（1）；（2）；（3）电势差变为；磁感应强度变为【详解】（1）依题意，粒子在电场中加速，由动能定理可得解得（2）粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，轨迹如图可得解得根据解得粒子在磁场中做匀速圆周运动的运动时间为（3）由几何关系可知从金属板MN的入口处到坐标原点的距离为若要使粒子从坐标原点O点射出，则粒子做匀速圆周运动的轨道半径为若仅改变磁场的磁感应强度，则只需磁感应强度变为。若仅改变电场的电势差，则只需电势差变为。13．（2024·北京房山·统考一模）列车进站时，其刹车原理可简化如图所示，在车身下方固定一单匝矩形线框，利用线框进入磁场时所受的安培力，辅助列车刹车。已知列车的质量为m，车身长为s，线框的ab和cd长度均为L（L小于匀强磁场的宽度），线框的总电阻为R。站台轨道上匀强磁场区域足够长，磁感应强度的大小为B。车头的线框刚进入磁场的速度为v0，列车停止前所受铁轨及空气阻力的合力恒为f。车尾的线框刚进入磁场时，列车刚好停止。求：（1）车头进入磁场瞬间，线框中产生的感应电流大小I，并判断方向。（2）车头进入磁场瞬间，列车的加速度大小a。（3）列车从进站到停下来的过程中线框产生的热量Q。【答案】（1），电流方向为abcd；（2）；（3）【详解】（1）根据楞次定律结合安培定则可知，线框中电流的方向为顺时针（俯视），即列车进站过程中电流方向为abcd。列车车头进入磁场瞬间产生的感应电动势的大小为则回路中产生的瞬时感应电流的大小为（2）车头进入磁场瞬间所受安培力的大小为则由牛顿第二定律有联立解得（3）在列车从进入磁场到停止的过程中，克服安培所做的功在数值上等于线框产生的热量，则由能量守恒有解得14．（2024·北京房山·统考一模）电容器作为储能器件在生产生活中有广泛的应用。对给定电容值为C的电容器充电，无论采用何种充电方式，其两极间的电压随两极板所带的电荷量的变化图像都相同。（1）请在图中画出上述图像，并类比由图像求位移的方法，求两极间电压为U时电容器所储存的电能。（2）一个金属球和一个与它同心的金属球壳组成的电容器叫做球形电容器。孤立导体球可看作另一极在无穷远的球形电容器。如图所示，两极间为真空的球形电容器，其内球半径为，球壳内半径为，电容为，其中k为静电力常量。根据球形电容器电容的表达式，推导半径为R的孤立导体球的电容C的表达式；（3）将带电金属小球用导线与大地相连，我们就会认为小球的电荷量减小为零。请结合上面题目信息与所学知识解释这一现象。【答案】（1），；（2）；（3）见解析【详解】（1）根据可得做出图像如图所示类比由图像求位移的方法，图中三角形的面积表示电容器所带电荷量达到Q时电容器所具有的电势能的大小，由图可得而联立可得（2）根据题中模型，可将孤立导体球看成另一极在无穷远处的球形电容器，即，代入球形电容器电容的表达式可得（3）根据孤立导体球的电容表达式可知，球体的半径越大，其电容越大，由于金属小球的半径远小于地球半径，所以地球的电容远大于小球的电容，当二者用导线连接，电势相同，根据可知，地球的带电量远大于小球的带电量，电荷总量保持不变，所以可以认为小球的电荷量减小为0。15．（2024·北京门头沟·统考一模）2023年12月1日晚间，绚丽的极光现身北京市门头沟区。极光是由太阳抛射出的高能带电粒子受到地磁场作用，在地球南北极附近与大气碰撞产生的发光现象。从北极地区看赤道平面的地磁场，可简化为下图：O为地球球心，R为地球半径，将地磁场在半径为R到3R之间的圆环区域看成是匀强磁场，磁感应强度为B。假设高能粒子的质量为m，电荷量为。不计粒子重力及大气对粒子运动的影响，且不考虑相对论效应。（1）若高能粒子从A点以速度沿切线进入磁场边界位置时，粒子恰好绕着磁场边界做圆周运动，求粒子的速度的大小。（2）地球磁层是保护地球的一道天然屏障，它阻挡着高能粒子直接到达地球表面，从而保护了地球上的生态环境。a．假设高能粒子从磁场边缘A点以速率v沿半径方向射入磁场时恰不能到达地球表面，求粒子的比荷；b．高能粒子实际上可在赤道平面内向各个方向均匀地射入磁场。若高能粒子仍以速率v射入地球磁场，求到达地球粒子数与进入地磁场粒子总数比值。（结果用反三角函数表示，例：，则，θ为弧度）【答案】（1）；（2）a．；b．【详解】（1）若高能粒子从A点以速度沿切线进入磁场边界位置时，粒子恰好绕着磁场边界做圆周运动，可知粒子的轨道半径为由洛伦兹力提供向心力可得联立解得粒子的速度的大小为（2）a．假设高能粒子从磁场边缘A点以速率v沿半径方向射入磁场时恰不能到达地球表面，如图所示由几何关系可得解得由洛伦兹力提供向心力可得联立解得粒子的比荷为b．若高能粒子仍以速率v射入地球磁场，可知沿径向方向射入的粒子会和地球相切而出，和AO方向成角向上方射入磁场的粒子也恰从地球上沿相切射出，在此角范围内的粒子能到达地球，其余进入磁场粒子不能到达地球，作A点该速度垂直和过切点与O点连线延长线交于F点，则F点为圆心，如图所示由图中几何关系可得，则有可得故到达地球粒子数与进入地磁场粒子总数比值为16．（2024·北京延庆·统考一模）电子的电荷量e与其质量m之比称为电子的比荷，测定电子的比荷是物理学发展史上的非常重要的事件，电子比荷的测定有多种方法。（1）汤姆孙偏转法测电子的比荷图是汤姆孙用来测定电子比荷的实验装置示意图，某实验小组的同学利用此装置进行了如下探索：①真空管内的阴极K发出的电子经加速后，穿过A'中心的小孔沿中心线OP的方向进入到两块水平正对放置的平行极板M和N间的区域。当M和N间不加偏转电压时，电子束打在荧光屏的中心P点处，形成了一个亮点；②在M和N间加上大小为U的偏转电压后，亮点偏离到P1点；③在M和N之间再加上垂直于纸面向外的匀强磁场，调节磁场的强弱，当磁感应强度的大小为B时，电子在M、N间作匀速直线运动，亮点重新回到P点；④撤去M和N间的偏转电压，只保留磁场，电子在M、N间作匀速圆周运动，亮点偏离到P2点。荧光屏可视为平面，测得P、P2的距离。若已知平行板的间距为d，并已经求得电子在M、N间作匀速圆周运动的轨迹半径为r，请结合上述步骤求电子的比荷。（不计电子所受的重力和电子间的相互作用）（2）磁聚焦法测电子的比荷图2磁聚焦法测量电子比荷的装置示意图。在抽成真空的玻璃管中装有热阴极K和有小孔的阳极A。在A、K之间加一电压，对电子进行加速，电子由阳极小孔高速射出；在电容器C的两极板间加一不大的交变电场，使不同时刻通过这里的电子发生不同程度的微小偏转，在电容器右侧和荧光屏之间加一水平方向的匀强磁场，进入磁场的电子会沿不同的螺旋线运动，每绕行一周后都会到达同一位置聚焦，适当调节磁感应强度的大小，可使电子流的焦点落在荧光屏S上。已知加速电压的大小为U0，电容器右端到荧光屏的水平距离为l，匀强磁场的磁感应强度大小为B，假设电子在磁场中运动仅绕行一周就刚好打在荧光屏上，请根据以上条件及所学的知识求电子的比荷。（不计电子所受的重力和电子间的相互作用）（3）如何说明金属导电靠的是电子？有人尝试用下述实验来证明这件事：让一块向前运动的金属长方体突然刹车，其中的载流子便会因惯性而聚集到前端使之带电，而在后端由于缺乏这种电荷而带相反电性的电，于是在导体前后两端之间形成电场，通过分析该情景下载流子的受力和运动就可以求解载流子的比荷。若该比荷的数值与汤姆孙所研究的阴极射线（电子流）的比荷相同，就可以说明金属导电靠的是电子。已知金属导体突然刹车的加速度大小为a，你认为这种实验方法能否测出电子的比荷？如果能，请写出还需测量的物理量和对应的测量工具，并用需要测量的物理量表示金属内部载流子的比荷。如果不能，你认为还有什么方法可以测量该金属导体内部载流子的比荷？【答案】（1）；（2）；（3），还需要用合适的电表测出，用刻度尺测出导体沿运动方向的长度L【详解】（1）设电子进入极板间的速度为v，由平衡条件有两极板间电场强度电子在磁场中做匀速圆周运动联立解得

（2）电子在A、K之间加速设进入磁场时电子的速度大小为v'，与水平方向夹角为θ，设其垂直磁场的分速度为v1，平行磁场方向的分速度为v2由题意可知速度分量可证电子回旋周期故电子在磁场中做螺旋运动的螺距可得（3）能测出电子的比荷设刹车过程中的导体前后之间的电势差的大小为，导体的长度为L根据牛顿第二定律于是在加速度已知的条件下，我们还需要用合适的电表测出，用刻度尺测出导体沿运动方向的长度L。17．（2024·北京海淀·统考二模）如图所示，宽为L的固定光滑平行金属导轨与水平面成α角，金属杆ab水平放置在导轨上，且与导轨垂直，处于磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中。电源电动势为E，当电阻箱接入电路的阻值为R0时，金属杆恰好保持静止。不计电源内阻、导轨和金属杆的电阻，重力加速度为g。（1）求金属杆所受安培力的大小F。（2）求金属杆的质量m。（3）保持磁感应强度大小不变，改变其方向，同时调整电阻箱接入电路的阻值R以保持金属杆静止，求R的最大值。【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）电路中的电流金属杆受到的安培力（2）金属杆受力平衡，有解得（3）当磁感应强度垂直斜面向上时，安培力最小，电路中的电流最小，R有最大值，依据平衡条件有解得18．（2024·北京海淀·统考二模）分析电路中的电势变化是研究电路规律的重要方法。比如闭合电路欧姆定律可以通过分析电势的变化得出：在电源内部，电流I从负极流向正极，非静电力的作用使电势升高E（电动势），电流流过电源内阻r时电势降低，因此电源两端电压。（1）如图1所示，100匝的线圈（图中只画了2匝）两端A、K与一个电阻相连，线圈的电阻r=5Ω。线圈内有垂直纸面向里的匀强磁场，线圈中的磁通量随时间均匀变化，产生的感应电流，A、K两点间的电势差。求：①线圈中产生的感应电动势E。②磁通量的变化率。（2）电动机的模型示意图如图2所示，MN、PQ是间距为L的固定平行金属导轨，置于磁感应强度大小为B、方向垂直导轨所在平面向下的匀强磁场中，M、P间接有电源。一根与导轨接触良好、长度也为L、阻值为R、质量为m的金属棒cd垂直导轨放置，通过轻滑轮以速率v匀速提升质量为m的重物。摩擦阻力、导轨电阻均不计，重力加速度为g。当电动机稳定工作时，求cd两端的电势差。（3）如图3所示，将一长方体金属薄片垂直置于匀强磁场中，在薄片的左右两个侧面间通以向右的电流时，上下两侧面间产生电势差，这一现象称为霍尔效应，在垂直上下表面的连线上e、f两点间电势差的绝对值通常称为霍尔电压。实际测量霍尔电压时的测量点往往不在垂直上下表面的连线上（如e、g两点），从而导致测量出现偏差，但仍可以采用一定的办法推测出准确的霍尔电压。某次测量，先测得e、g两点间的电势差为，仅将磁场反向，磁感应强度的大小不变，再测得e、g两点间的电势差为Ueg′，求上述情况中该金属薄片产生的霍尔电压UH。【答案】（1）50V，0.5Wb/s；（2）；（3）【详解】（1）①路端电压代入数据得②由法拉第电磁感应定律，得（2）设电路中的电流为I，金属棒中电流从c到d，非静电力（洛伦兹力）做负功，电势降低BLv，静电力做正功，电势降低IR，金属棒cd两端的电势差物体匀速上升，有解得（3）设f、g间的电阻为R，通过金属薄片的电流为I，金属薄片上e、g两点的电势差磁场方向、通过金属薄片中的电流方向如题中图3所示时，金属片薄上表面的电势低，可得

仅磁场方向反向时，金属片上表面的电势高，同理可得

解得霍尔电压19．（2024·北京西城·统考二模）如图所示，两平行正对的极板A与B的长度均为L，极板间距为d，极板间的电压为U，板间的电场可视为匀强电场。一个质量为m，电荷量为q的带正电的离子，沿平行于板面的方向射入电场中，射入时的速度为，离子穿过板间电场区域。不计离子的重力，求：（1）离子从电场射出时垂直板方向偏移的距离y；（2）离子从电场射出时速度方向偏转的角度（可用三角函数表示）；（3）离子穿过板间电场的过程中，增加的动能。【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）离子在偏转电场中，根据牛顿第二定律，有离子在偏转电场的运动时间离子从偏转电场射出时，沿垂直于极板方向偏移的距离得（2）离子从电场射出时，垂直于极板方向的速度速度方向偏转角度（如答图1所示）则（3）离子增加的动能20．（2024·北京东城·统考二模）如图所示，在真空中A、B两个完全相同的带正电小球（可视为质点）分别用长为l的轻细线系住，另一端悬挂在P点，电荷量qA=qB=q0。OP为A、B连线中垂线，当A、B静止时，∠PAO＝60°。已知静电力常量为k，求：（1）轻细线拉力的大小FT；（2）P点电场强度的大小Ep和方向；（3）若把电荷量为q＝2.0×10－9C（q＜＜q0）的正试探电荷从P点移到O点，克服电场力做了1.0×10－7J的功，求P、O两点间的电势差UPO。【答案】（1）；（2）；方向向上（沿OP向上）；（3）－50V【详解】（1）A、B间的库仑力F=（2）由点电荷的场强公式知EAP＝EBP＝因此E＝2EAPcos30°＝方向向上（沿OP向上）（3）P、O两点间的电势差21．（2024·北京朝阳·统考二模）如图1所示，水平放置的两平行金属板相距为d，充电后带电量保持不变，其间形成匀强电场。一带电量为+q、质量为m的液滴以速度从下板左边缘射入电场，沿直线运动恰好从上板右边缘射出。已知重力加速度为g。（1）求匀强电场的电场强度大小E；（2）求静电力对液滴做的功W；（3）如图2所示，若将上极板上移少许，其他条件不变，请在图2中画出液滴在两板间的运动轨迹。【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）液滴沿直线恰好从上板右边缘射出，可知受力平衡，即解得（2）静电力对液滴做的功（3）根据可得若将上极板上移少许，两板间场强不变，液滴受电场力不变，则液滴仍沿直线运动，轨迹如图22．（2024·北京西城·统考二模）在半导体芯片加工中常用等离子体对材料进行蚀刻，用于形成半导体芯片上的细微结构。利用电磁场使质量为m、电荷量为e的电子发生回旋共振是获取高浓度等离子体的一种有效方式。其简化原理如下：如图1所示，匀强磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B；旋转电场的方向绕过O点的垂直纸面的轴顺时针旋转，电场强度的大小为E；旋转电场带动电子加速运动，使其获得较高的能量，利用高能的电子使空间中的中性气体电离，生成等离子体。（提示：不涉及求解半径的问题，圆周运动向心加速度的大小可表示为）（1）若空间只存在匀强磁场，电子只在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，求电子做圆周运动的角速度。（2）将电子回旋共振简化为二维运动进行研究。施加旋转电场后，电子在图2所示的平面内运动，电子运动的过程中会受到气体的阻力，其方向与速度的方向相反，大小，式中k为已知常量。最终电子会以与旋转电场相同的角速度做匀速圆周运动，且电子的线速度与旋转电场力的夹角（小于90°）保持不变。只考虑电子受到的匀强磁场的洛伦兹力、旋转电场的电场力及气体的阻力作用，不考虑电磁波引起的能量变化。a．若电场旋转的角速度为，求电子最终做匀速圆周运动的线速度大小v；b．电场旋转的角速度不同，电子最终做匀速圆周运动的线速度大小也不同。求电场旋转的角速度多大时，电子最终做匀速圆周运动的线速度最大，并求最大线速度的大小。c．旋转电场对电子做功的功率存在最大值，为使电场力的功率不小于最大功率的一半，电场旋转的角速度应控制在范围内，求的数值。【答案】（1）；（2