专题08 斜面模型（解析版）-2023-2024学年高中物理同步模型易点通人教版2019必修第一册

专题08斜面模型一．斜面模型斜面模型是高中物理中最常见的模型之一，斜面问题千变万化，斜面既可能光滑，也可能粗糙；既可能固定，也可能运动，运动又分匀速和变速；斜面上的物体既可以左右相连，也可以上下叠加。物体之间可以细绳相连，也可以弹簧相连。求解斜面问题，能否做好斜面上物体的受力分析，尤其是斜面对物体的作用力（弹力和摩擦力）是解决问题的关键。θθmgfFNyx对沿粗糙斜面自由下滑的物体做受力分析，物体受重力、支持力、动摩擦力，由于支持力，则动摩擦力，而重力平行斜面向下的分力为，所以当时，物体沿斜面匀速下滑，由此得，亦即。1.所以物体在斜面上自由运动的性质只取决于摩擦系数和斜面倾角的关系。当时，物体沿斜面加速速下滑，加速度；当时，物体沿斜面匀速下滑，或恰好静止；当时，物体若无初速度将静止于斜面上；2.对于光滑斜面无论物体下滑还是上滑加速度大小均为：3.对于粗糙斜面物体下滑过程加速度大小为：上冲过程加速度大小为：二．斜面模型的衍生模型----“等时圆”模型1.“光滑斜面”模型常用结论如图所示，质量为m的物体从倾角为θ、高度为h的光滑斜面顶端由静止下滑，则有如下规律：(1)物体从斜面顶端滑到底端所用的时间t，由斜面的倾角θ与斜面的高度h共同决定，与物体的质量无关。关系式为t＝eq\f(1,sinθ)eq\r(\f(2h,g))。(2)物体滑到斜面底端时的速度大小只由斜面的高度h决定，与斜面的倾角θ、斜面的长度、物体的质量无关。关系式为v＝eq\r(2gh)。2.“等时圆”模型及其等时性的证明1．三种模型(如图)2．等时性的证明设某一条光滑弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d(如图)。根据物体沿光滑弦做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a＝gsinα，位移为x＝dsinα，所以运动时间为t0＝eq\r(\f(2x,a))＝eq\r(\f(2dsinα,gsinα))＝eq\r(\f(2d,g))。即沿同一起点(圆的最高点)或终点(圆的最低点)的各条光滑弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。【例1】．如图所示，斜面长，倾角，段为与斜面平滑连接的水平地面。一个质量的小物块从斜面顶端A处由静止开始滑下。小物块与斜面、地面间的动摩擦因数均为。不计空气阻力，，，。求：（1）小物块在斜面上运动时的加速度大小；（2）小物块滑到斜面底端点时的速度大小；（3）求小物块在水平地面上滑行的最远距离。【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）小物块在斜面上运动时受重力、支持力、滑动摩擦力，根据牛顿第二定律得解得（2）小物块滑到斜面底端点时，有解得（3）小物块在水平地面上滑行时，地面给的滑动摩擦力是物块的合力，则解得（方向水平向左）物块在水平面上有解得【例2】．如图甲所示，、是某竖直面内的两点，它们之间的高度差，水平距离。将一根直金属细杆沿方向固定。将一个带有小孔的珠子套在杆上，孔的直径略大于杆的直径。珠子恰好能沿杆匀速下滑。（1）求珠子与杆之间的滑动摩擦系数；（2）若将细杆弯折成和两段，如图乙所示。其中与水平方向夹角为，水平，、两点高度差为。它们之间由一段极短的圆弧连接。该圆弧只改变珠子的速度方向，不改变其大小。取，，。将珠子从点由静止释放，若珠子滑到位置停止滑动，求点到点的水平距离。【答案】（1）0.25；（2）1.2m【详解】（1）珠子受重力、支持力、摩擦力作用，如图由平衡关系可知由三角函数可知由滑动摩擦力公式可知联立可得（2）由三角函数可知根据牛顿第二定律可知，沿PN下滑时有下滑到底端的过程有在水平面滑行时，有联立可得则点到点的水平距离【例3】．如图在设计三角形的屋顶时，使雨水尽快地从屋顶流下，并认为雨水是从静止开始由屋顶无摩擦地流动，试分析：在屋顶宽度（2L）一定的条件下，屋顶的倾角应该多大？雨水流下的最短时间是多少？【答案】45°，【详解】如图所示，通过屋顶作直线AC与水平线BC相垂直；并以L为半径、O为圆心画一个圆与AC、BC相切；然后，画倾角不同的屋顶A1B、A2B、A3B……从图可以看出：在不同倾角的屋顶中，只有A2B是圆的弦，而其余均为圆的割线；根据“等时圆”规律，雨水沿A2B运动的时间最短，且最短时间为屋顶的倾角满足tanα＝＝1可得α＝45°【例4】图甲是某景点的山坡滑道图片，为了探究滑行者在滑道直线部分AB滑行的时间，技术人员通过测量绘制出如图乙所示的示意图。AB是滑道，D点是AC竖直线上的一点，且有AD=DB=20m，滑道AB可视为光滑，滑行者从坡顶A点由静止开始沿滑道AB向下做直线滑动，g取10m/s2，则滑行者在滑道AB上滑行的时间为多少？【答案】2s【详解】解法一：设AB与竖直方向夹角为θ，则解得解法二：以D为圆心，AD、DB为半径构建等时圆，A为等时圆的最高点，AB为圆的弦；由等时圆推论，物体从圆上最高点由光滑弦自由下滑时间等于沿竖直直径自由落体运动的时间，则一、单选题1．如图所示，一可视为质点的小物块先后沿两光滑斜面Ⅰ和Ⅱ从顶端由静止滑下﹐到达底端的时间分别为t1和t2，斜面Ⅰ与水平面的夹角为30°，斜面Ⅱ与水平面的夹角为45°（未标出），则（）A． B． C． D．无法判断【答案】A【详解】设斜面的底边长为L，斜面的倾角为，则斜边的长度根据牛顿第二定律解得根据解得将30°，45°带入则t2<t1故选A。2．如图甲所示，在倾角为的固定斜面顶端静止一个质量为m的木块，在斜面底端装有一个位移传感器，位移传感器与电脑相连。已知位移传感器可以测量木块与传感器间的距离x并通过数据线输入电脑。置于斜面顶端的木块以某一初速度沿斜面下滑，以x为纵轴，以时间t为横轴，得到如图乙所示的图像，图中的斜虚线为图线的切线，切点为（0，）。图中、、、。已知重力加速度为，则下列判断正确的是（）A．木块的初速度为B．木块运动加速度的大小为，方向沿斜面向下C．木块运动加速度的大小为，方向沿斜面向上D．木块与斜面间的动摩擦因数【答案】C【详解】A．由于图像的斜率为物体的速度，所以其初速度为故A项错误；BC．木块沿斜面匀减速下滑，设加速度大小为，则图线的方程为当时，位移为，解得加速度方向沿斜面向上，故B错误，C正确；D．对物体有解得故D项错误。故选C。3．如图（a），一物块在时刻冲上一固定斜面，其运动的图线如图（b）所示。若重力加速度g及图中的、、均为已知量，则根据这些信息，不能求出（）A．物块的质量 B．斜面的倾角C．物块沿斜面向上滑行的最大距离 D．物块与斜面间的动摩擦因数【答案】A【详解】物体上滑的加速度由牛顿第二定律物体下滑的加速度由牛顿第二定律联立可得斜面的倾角θ和物块与斜面间的动摩擦因数μ，但不能求解物块的质量m；根据可求解物块沿斜面向上滑行的最大距离。故选A。4．如图所示，某幼儿园要做一个儿童滑梯，设计时根据场地大小确定滑梯的水平跨度为L，滑板和儿童之间的动摩擦因数为μ，假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为使儿童在滑梯中能沿滑板无初速滑下，则滑梯高度至少为（）A． B．C． D．【答案】A【详解】由题意为使儿童在滑梯中能沿滑板滑下，则应该让儿童恰好能匀速下滑，即故由几何关系可得解得故选A。5．如图所示，竖直平面内存在半径为R的大圆和半径为r的小圆，两个圆的公切线水平，有两条倾斜的光滑轨道，一条与大圆相交于A、B两点，A点为大圆的最高点，另一条轨道一端交于大圆的C点.另一端交于小圆的D点，且过大圆和小圆的公切点。现让一物体分别从两条轨道的顶端A、C由静止释放，分别滑到B点和D点（假设物体能够无障碍地穿过CD与圆的交叉点），物体在两条轨道上的运动时间分别为、，重力加速度为g，下列判断正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】设轨道与竖直方向的夹角为，则物体在轨道上运动的加速度大小为根据运动学公式可得解得设轨道与竖直方向的夹角为，则物体在轨道上运动的加速度大小为根据运动学公式可得解得则有故选D。6．一个质点自倾角为的斜面上方定点A，沿光滑斜槽从静止开始滑下，为了使质点在最短时间到达斜面，斜槽与竖直方向的夹角应等于（）A． B． C． D．0【答案】A【详解】如图过A点作圆形与斜面相切于B点，设圆形半径为R，则，，联立得小球从A点沿轨道运动至圆上的时间相等，即等时圆。说明小球到达斜面上B点的时间最短，由几何关系故选A。7．如图，AC、BC为位于竖直平面内的两根光滑细杆，，A、B、C恰好位于同一圆周上，C为最低点，a、b为套在细杆上的两个小环，当两环同时从A、B两点由静止开始自由下滑到C的过程中，下面正确的是（）A．加速度大小相同 B．时间相同C．末速度大小相同 D．平均速度大小相同【答案】B【详解】A．设细杆与竖直方向的夹角为θ，则加速度两细杆与竖直方向的夹角不同，则加速度大小不相同；选项A错误；B．根据可得则两环下滑的时间相同，选项B正确；C．根据可知，加速度不同，时间相同，则末速度大小不相同，选项C错误；D．根据可知，平均速度大小不相同，选项D错误。故选B。二、多选题8．如图所示，1、2、3、4四小球均由静止开始沿着光滑的斜面从顶端运动到底端，其运动时间分别为t1、t2、t3、t4。已知竖直固定的圆环的半径为r，O为圆心，固定在水平面上的斜面水平底端的长度为r，重力加速度为g，下列说法正确的是（）

A． B．C． D．【答案】BC【详解】A．1号小球的加速度为位移为运动时间为2号小球的加速度为位移为运动时间为既故A错误；B．3号小球的加速度为位移为运动时间为4号小球的加速度为位移为运动时间为既故B正确；CD．比较可得故C正确，D错误。故选BC。三、解答题9．伽利略被誉为“经典物理学的奠基人”，他认为将A、B两个斜面对接起来，让小球沿斜面A从静止滚下，小球滚上另一斜面B。如果无摩擦，无论斜面B比斜面A陡些还是缓些，小球最后总会在斜面B上的某点速度变为零，这点据斜面底端的竖直高度与它出发时的高度相同。如图所示，设起点为P，终点为q，已知α=45°，β=30°，试求：(1)小球在A、B两斜面上运动的加速度大小之比；(2)小球从P到q的过程中，在A、B两斜面上运动的时间之比。【答案】(1)(2)【详解】（1）对小球在斜面上进行受力分析，由牛顿第二运动定律可得故（2）由匀变速直线运动规律公式可得同理可得解得10．一足够长的斜面固定在水平地面上，斜面倾角，斜面分为粗糙程度不同的段和段。段长22.5m，与物体间的动摩擦因数为，段足够长，与物体间的动摩擦因数为，，重力加速度。质量的物体恰好能在斜面的段匀速下滑。(1)求斜面段的动摩擦因数；(2)如图所示，如果给物体一个方向沿斜面向上的拉力，使物体从点由静止开始运动，运动到点时立即撤去拉力，求物体再次回到点时的速度。【答案】(1)(2)，方向沿斜面向下【详解】（1）由题可知，物体恰好能在斜面的段匀速下滑，有解得（2）物体在段做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律可得加速度大小为根据运动学规律可得，解得物体运动到点时速度大小此后撤去拉力，物体先在段向上做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律可得加速度大小为其中向上运动位移为之后向下做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律可得加速度大小为则物体再次回到点的速度大小为方向沿斜面向下11．一质量为的滑块能在倾角为的足够长的斜面上以匀加速下滑。如图所示，若用一水平向右的恒力F作用于滑块，使之由静止开始在内能沿斜面运动的位移为，求：（取）（1）滑块和斜面之间的动摩擦因数μ；（2）恒力F的大小。【答案】（1）；（2）当加速度沿斜面向上时，；当加速度沿斜面向下时，。【详解】（1）以物块为研究对象受力分析如图甲所示根据牛顿第二定律可得解得（2）使滑块沿斜面做匀加速直线运动解得加速度有沿斜面向上和沿斜面向下两种可能。当加速度沿斜面向上时，受力分析如图乙所示x方向，由牛顿第二定律得y方向，受力平衡代入数据得当加速度沿斜面向下时，受力分析如图丙所示x方向，由牛顿第二定律得y方向，受力平衡代入数据得12．倾角的斜面固定在水平地面上，有一质量的小物块（可视为质点）静止于斜面底端，将一平行于斜面向上的恒力作用于小物块上，使其由静止开始沿斜面向上做匀加速直线运动，小物块运动后撤去恒力，再经过时间（大小未知）小物块静止且刚好到达斜面的顶端。已知小物块与斜面间的动摩擦因数，取重力加速度大小，求：（1）；（2）斜面的长度。【答案】（1）；（2）15m【详解】（1）当小物块匀加速上滑时，根据受力分析和牛顿第二定律有其中撤去恒力时小物块的速度大小撤去恒力后，根据牛顿第二定律有根据运动学公式有解得（2）根据运动学公式，小物块匀加速运动的位移小物块匀减速运动的位移斜面的长度解得13．如图甲，天台安科村滑草场惊险刺激，深受人们喜爱。简化图像如图乙所示，假设某人坐在滑板上从斜坡的高处A点由静止开始滑下，滑到斜坡底端B点后，沿水平的滑道再滑一段距离到C点停下来。如果人和滑板的总质量，滑板与斜坡滑道和水平滑道间的动摩擦因数均为，斜坡的倾角（，），斜坡与水平滑道间是平滑连接的，整个运动过程中空气阻力忽略不计，重力加速度为g=10m/s2。求：（1）人从斜坡上滑下的加速度为多大？（2）若AB距离为10m，求人和滑板滑到斜面底端的速度大小？（3）若由于场地的限制，水平滑道的最大距离BC为，则人在斜坡上滑下的距离AB应不超过多少？【答案】（1）；（2）；（3）50m【详解】（1）根据牛顿第二定律得，人从斜坡上滑下的加速度为（2）根据速度与位移的关系有解得（3）在水平面上做匀减速运动的加速度大小为根据速度位移公式得，B点的速度为根据速度位移公式得14．一个小物块以初速度冲上足够长的粗糙斜面，斜面倾角，物块与斜面间的动摩擦因数为，小物块在斜面上运动的图像如图所示，重力加速度g取，求斜面倾角的正弦值及物块与斜面间的动摩擦因数。【答案】，【详解】由图像的斜率表示加速度，第1秒内物块的加速度大小第2，3秒内物块的加速度大小第1秒内小物块沿斜面向上做匀减速运动，由牛顿第二定律得第2，3秒内小物块沿斜面向下做匀加速运动，由牛顿第二定律得解得，15．如图所示，固定不动的足够长斜面倾角θ=37°，一个质量为10kg的物体A以v0=12m/s的初速度，从斜面底端开始沿斜面向上运动，恰好能运动到斜面顶端，动摩擦因数为0.5。（g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：（1）物体沿斜面上升过程中的加速度；（2）斜面的长度；（3）物体返回到斜面底端的速度。【答案】（1）10m/s2，方向沿斜面向下；（2）7.2m；（3）【详解】（1）物体上滑时，根据牛顿第二定律可得解得方向沿斜面向下；（2）根据速度位移关系可得（3）物体下滑时，根据牛顿第二定律可得解得根据速度位移关系可得所以16．民航客机都有紧急出口，发生意外情况的飞机紧急着陆后，打开紧急出口，狭长的气囊会自动充气，形成一个连接出口与地面的斜面，人员可沿斜面滑行到地上，如图所示。若紧急出口下沿距地面的高度为3.0m，气囊与水平地面间夹角为37°。质量为60kg的某旅客从斜面顶端由静止开