专题03 追及相遇模型（解析版）-2023-2024学年高中物理同步模型易点通人教版2019必修第一册

专题03追及相遇模型追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置。追及相遇问题的基本物理模型：以甲追乙为例。1.二者距离变化与速度大小的关系(1)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲<v乙，甲、乙的距离就不断增大。(2)若v甲＝v乙，甲、乙的距离保持不变。(3)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲>v乙，甲、乙的距离就不断减小。2.解答追及相遇问题的三种方法情境分析法抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立一幅物体运动关系的情境图图像分析法将两个物体运动的速度—时间关系或位移—时间关系画在同一坐标系中，然后利用图像分析求解相关问题函数判断法设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于位移x与时间t的函数关系，由此判断两物体追及或相遇情况角度一：情境分析法【例1】A、B两车沿同一直线向同一方向运动，A车的速度vA＝4m/s，B车的速度vB＝10m/s。当B车运动至A车前方L＝7m处时，B车刹车并以a＝－2m/s2的加速度开始做匀减速直线运动。求：(1)从该时刻开始计时，A车追上B车需要的时间；(2)在A车追上B车之前，二者之间的最大距离。【答案】(1)8s(2)16m【解析】(1)假设A车追上B车时，B车还没停止运动，设t′时间内A车追上B车，如图所示。根据题意，A车追上B车，需要通过位移xA＝xB＋LA车的位移是xA＝vAt′B车的位移是xB＝vBt′＋eq\f(1,2)at′2联立解得t′＝7s但B车停下来所用时间tB＝eq\f(0－vB,a)＝eq\f(0－10,－2)s＝5s比较t′和tB可知，A车是在B车停止运动后才追上B车的，因此7s不是A车追上B车的时间，设A车追上B车的时间为t，即xA＝vAtB车实际运动时间应为tB，即xB＝vBtB＋eq\f(1,2)ateq\o\al(2,B)联立解得t＝8s。(2)在A车追上B车之前，当二者速度相等时，二者之间有最大距离Δxmax，设此时两车运动时间为t0，有vA＝vB＋at0代入数据解得t0＝3s则此时A的位移xA′＝vAt0B的位移xB′＝vBt0＋eq\f(1,2)ateq\o\al(2,0)故二者之间的最大距离Δxmax＝xB′＋L－xA′联立解得Δxmax＝16m。【方法总结】1.情境分析法的基本思路2.特别提醒若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。角度二图像分析法【例2】(多选)甲、乙两车在一平直公路上从同一地点沿同一方向沿直线运动，它们的v－t图像如图所示。下列判断正确的是()A.乙车启动时，甲车在其前方25m处B.乙车超过甲车后，两车有可能第二次相遇C.乙车启动15s后正好追上甲车D.运动过程中，乙车落后甲车的最大距离为75m【答案】CD【解析】根据v－t图像中图线与时间轴包围的面积表示位移，可知乙在t＝10s时启动，此时甲的位移为x＝eq\f(1,2)×10×10m＝50m，即甲车在乙前方50m处，故A错误；乙车超过甲车后，由于乙的速度大，所以不可能再相遇，故B错误；由于两车从同一地点沿同一方向沿直线运动，设甲车启动t′两车位移相等两车才相遇，有eq\f(（t′－20）＋（t′－10）,2)×20＝eq\f(t′＋（t′－10）,2)×10，解得t′＝25s，即乙车启动15s后正好追上甲车，故C正确；当两车的速度相等时相距最远，最大距离为Δx＝eq\f(1,2)×(5＋15)×10m－eq\f(1,2)×10×5m＝75m，故D正确。【方法总结】方法基本思路数理转换定量画图时，需根据物体在不同阶段的运动情况，通过定量计算分阶段、分区间作出x－t图像或v－t图像等；或根据已知的运动图像分析物体的运动情况用图利用图像中斜率、面积、截距、交点等的含义进行定性分析或定量计算，进而解决相关问题角度三函数分析法函数分析法的解题技巧——在匀变速运动的位移表达式中有时间的二次方，可列出位移方程，利用二次函数求极值的方法求解。【例3】一汽车在直线公路上以54km/h的速度匀速行驶，突然发现在其正前方14m处有一辆自行车以5m/s的速度同向匀速行驶。经过0.4s的反应时间后，司机开始刹车，则：(1)为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？(2)若汽车刹车时的加速度只为4m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度加速，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？【答案】(1)5m/s2(2)1m/s2【解析】(1)设汽车的加速度大小为a，初速度v汽＝54km/h＝15m/s，初始距离d＝14m在经过反应时间0.4s后，汽车与自行车相距d′＝d－(v汽－v自)t′＝10m从汽车刹车开始计时，自行车的位移为x自＝v自t汽车的位移为x汽＝v汽t－eq\f(1,2)at2假设汽车能追上自行车，此时有x汽＝x自＋d′代入数据整理得eq\f(1,2)at2－10t＋10＝0要保证不相撞，即此方程最多只有一个解，即得Δ＝102－20a≤0解得a≥5m/s2，则汽车的加速度至少为5m/s2。(2)设自行车的加速度为a′，同理可得x汽′＝x自′＋d′其中x汽′＝v汽t－eq\f(1,2)at2，x自′＝v自t＋eq\f(1,2)a′t2整理得(eq\f(1,2)a′＋2)t2－10t＋10＝0要保证不相撞，即此方程最多只有一个解，即得Δ＝102－20a′－80≤0解得a′≥1m/s2，则自行车的加速度至少为1m/s2。INCLUDEPICTURE"归纳总结.tif"INCLUDEPICTURE"E:\\2024年\\课件\\2025版创新设计高考总复习物理（配人教版）Y（粤云黑…）\\归纳总结.tif"INETINCLUDEPICTURE"E:\\2024年\\课件\\2025版创新设计高考总复习物理（配人教版）Y（粤云黑…）\\归纳总结.tif"INET【方法总结】函数分析法讨论相遇问题的思路设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δx与时间t的二次函数关系，Δx＝0时，表示两者相遇。若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，即有一个解，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇。当t＝－eq\f(b,2a)时，函数有极值，代表两者距离的最大值或最小值。一、单选题1．两辆汽车A、B沿同一条直线同向运动，B车在前面遇到紧急情况刹车，刹车开始时两车相距，后面的汽车A一直做匀速直线运动，它们的图像如图所示，则（

）A．时A、B车相遇 B．的过程中，两车间的距离在减小C．时A、B车相遇 D．A、B车相遇的时刻在5s之后【答案】D【详解】ACD．由题图可知，A车做匀速直线运动，速度大小为，B车做匀减速直线运动，初速度大小为，加速度为故B车刹停所用的时间为B车刹停所走的位移大小为时间内A车的位移大小为B车刹停时，由故此时A、B车未相遇，A、B车在B车刹停位置相遇，故从B车开始刹车到A、B车相遇，A车行驶的总位移大小为故A、B车相遇的时刻为故AC错误，D正确；B．的过程中，B车的速度一直大于A车的速度，因此两车间的距离在增大，故B错误。故选D。2．大雾天气，一辆货车正在平直的公路上匀速行驶，某时刻，货车司机发现前方50m远处一辆小汽车正在向前匀速行驶，货车司机立即刹车，刹车后货车运动的图像如图所示，刹车后货车与小汽车的最小距离为25m，下列说法正确的是（

）A．货车刹车后的加速度大小为 B．小汽车匀速行驶的速度大小为12m/sC．货车刹车5s后货车与小汽车的距离最小 D．货车停下时货车与小汽车的距离为75m【答案】C【详解】A．由结合图像数据可知，货车的初速度为，货车刹车后的加速度大小为故A错误；BC．两车速度相等时，距离最小，则有联立可得，故B错误，C正确；D．货车从刹车到停下所用间为货车停下时货车与小汽车的距离为故D错误。故选C。3．随着自动驾驶技术不断成熟，北京、上海等城市某些特定地区相继出现无人驾驶网约车，给市民出行带来方便。甲、乙两辆无人驾驶汽车在平直公路上从同一地点同时出发，两车位移和时间的比值与时间之间的关系如图所示，下列说法正确的是（）A．乙车的加速度大小为 B．3s末两车速度相同C．乙车速度为时，甲车速度为 D．甲车追上乙车前，两车间最远距离为9m【答案】D【详解】AB．根据可得由图像可知，甲车初速度为零，加速度可得a1=6m/s2乙车的初速度v02=12m/s加速度可得a2=-2m/s2两车速度相同时解得t=1.5s选项AB错误；C．乙车速度为时，即解得t1=3s此时甲车速度为选项C错误；D．甲车追上乙车前，两车速度相等时距离最远，则最远距离为选项D正确。故选D。二、多选题4．假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶。甲车在前，乙车在后，速度均为v0=30m/s，距离s0=100m。t=0时刻甲车遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化关系如图1、2所示。取原运动方向为正方向。下面说法正确的是（）A．t=3s时两车相距最近B．0~9s内两车位移之差为45mC．0~9s内两车距离最近为10mD．两车在0~9s内会相撞【答案】BC【详解】由加速度—时间图像可画出两车的速度—时间图像，如图所示AC．由图像可知，t=6s时两车同速，此时距离最近，图中阴影部分面积为0~6s内两车位移之差则0~9s内两车相距最近的距离为故A错误，C正确；B．0~9s内两车位移之差为故B正确；D．因为两车相距最近的距离为10m，所以两辆车不会相撞，故D错误。故选BC。5．甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其中v-t图像如图所示。已知两车在时并排行驶，则（

）A．在时，甲车在乙车后B．在时，甲车在乙车后7.5mC．两车另一次并排行驶的时刻是D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40m【答案】CD【详解】B．图像中，图线与坐标轴围成的面积代表物体位移，已知两车在时并排行驶，在内有所以时甲车在前，距乙车的距离为故B错误；AC．在内有此时甲乙两车相距所以另一次并排行驶的时刻为，故A错误，C正确；D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为故D正确。故选CD。三、解答题6．一汽车在直线公路上以的速度匀速行驶，突然发现在其正前方处有一辆自行车以的速度同向匀速行驶。司机经过的反应时间后，开始刹车。求：(1)汽车开始刹车时，两车之间的距离；(2)为了避免相撞，汽车刹车的最小加速度大小；(3)若汽车刹车时的加速度大小为，在汽车开始刹车的同时，自行车开始以大小为的加速度做匀加速直线运动，但自行车的最大速度大小为，判断两车是否相撞。若相撞，说明理由；若不相撞，则两车的最小距离。【答案】(1)(2)(3)两车相撞，见解析【详解】（1）汽车的速度大小为则汽车开始刹车时，两车之间的距离为（2）分析可知，当汽车速度与自行车速度相等时，两者距离最近设汽车刹车后经过时间t，两车速度相等，有解得根据速度—时间公式，有解得汽车刹车的最小加速度大小为（3）设经过时间，自行车达到最大速度，有解得设经过时间，两车速度相等，有解得汽车的位移大小为自行车的位移大小为因故两车相撞。7．学校运动会中，接力赛是最为激烈的比赛项目之一。甲、乙两运动员在交接棒的过程中，甲在接力区前处作了标记，当甲跑到此标记时向乙发出起跑口令，乙在接力区的前端听到口令时立即起跑（忽略声音传播的时间及人的反应时间），先以的加速度做匀加速直线运动，速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒（忽略交接棒时间），然后保持这个速度跑完全程。已知乙运动员跑完接力区所用时间为，甲、乙两运动员的最大速度均为，甲运动员一直以最大速度做匀速直线运动，求：(1)大小；(2)接力区的长度L。【答案】(1)(2)【详解】（1）根据匀变速直线运动速度—时间公式，有解得乙加速的时间为乙加速的位移大小为甲追上乙时，甲的位移大小为根据位移关系，可知甲追上乙时，有解得（2）乙匀速的时间为乙匀速的位移大小为则接力区的长度为8．汽船甲在雾中以大小的恒定速度沿直线航行，某一时刻汽船甲拉响汽笛，经过，听到了由正前方的障碍物传来的回声。声音在空气中传播的速度，将汽船视为质点。(1)若障碍物为山峰，求汽船甲接收到回声时与山峰之间的距离；(2)若障碍物为以大小的恒定速度相向驶来的汽船乙，求汽船甲接收到回声时与汽船乙之间的距离；(3)若在（2）中情况下，汽船乙的运动不变，汽船甲接收到回声后急转弯以免与汽船乙相撞，求汽船甲接收到回声到采取急转弯措施的时间t应满足的条件。【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）设汽船甲拉响汽笛时与山峰之间的距离为，有解得经分析可知解得（2）设从汽船甲拉响汽笛至汽船乙接收到汽笛声的时间为，有解得经分析可知解得（3）汽船甲与汽船乙不会相撞需满足的条件为解得9．长为的警车在公路上以的速度匀速行驶进行巡视，某时刻发现并行车道前方一辆长的大货车疑似超速行驶，此时货车车尾距警车车头，如图所示，警员于是立刻踩动油门加速追赶。为了安全，警车需行驶到车尾距货车车头前距离处，和货车同速行驶进行示意停车，这段时间货车一直匀速。被示意停车后，测得货车匀减速刹车过程中，第3秒内位移为，第13秒内位移为。警车加速、减速时均以的加速度行驶，警车的最大速度为。(1)如果货车限速，判断货车是否超速；(2)求警车从开始加速至少经过多长时间才能到达题中距离处同速行驶；(3)警车示意停车后即开始刹车，货车司机看到示意后，反应时间为；若货车初速度不变，最后能停在警车车尾的范围内，求货车匀减速刹车时的加速度大小需满足的条件。【答案】．(1)已超速(2)(3)【详解】（1）由于货车第13秒内位移与第3秒内位移之比为所以，货车在第13秒内停止，设货车的加速度为，货车在第12秒又运动了时间停止，则联立，解得，所以，货车的初速度为所以，货车已超速。（2）警车的初速度为，警车达到的最大速度为，警车达到最大速度所需时间为这段时间内警车的位移为货车的位移为因为其中，解得所以，此后警车以最大速度匀速运动，继续运动时间为所以，警车运动时间为（3）警车刹车后的位移为则货车运动的位移为即当时当时由于货车的加速度小于警车的加速度，两车共速时不会相撞，所以，货车的加速度大小应满足10．a、b两个物体在水平面上以相同的初速度同时开始运动，初始时a在b前方处，图中的两条直线分别表示a、b两物体的速度—时间图像，后a物体保持静止，试求解以下问题：(1)末时，b物体速度的大小；(2)末时，a、b间的距离为多少。【答案】(1)(2)【详解】（1）由图可得，b的加速度为则，2s末b物体的速度为（2）由图像的面积表示位移可知，a物体的位移为b物体的位移为所以，6s末时，a、b间的距离为其中解得11．某高速公路同一直线车道上有两辆同向匀速行驶的汽车甲、乙，其速度大小分别为。某时刻甲车在与乙车距离时发现前方乙车制动，乙车制动时加速度大小为，为避免事故，甲车司机在经历的反应时间后立即采取制动措施。已知甲车以在平直公路上行驶，制动时要经过才能停下来。(1)甲车制动时的加速度大小是多少？(2)通过计算分析为保证两车安全，最小值为多少？(3)若乙车仅制动后立即以大小为的加速度开始做匀加速直线运动，从乙车制动开始经多长时间两车速度相等？此相等速度大小为多少？【答案】(1)(2)50.8m(3)3.8s；23m/s【详解】（1）轿车经过才停下来的过程，根据轿车刹车过程的加速度大小为（2）经过t0=0.4s的反应时间后，乙车的速度为v乙=v2-a2t0可得v乙=25m/s此后历时t1两车的速度相等，即得，=10m/s甲车前进的距离解得x1=166m乙车前进的距离解得x2=115.2m可知x0=x1-x2=50.8m（3）乙车制动t=2.8s后，甲车此时速度为v3=v1-a1(t-t0)得v3=28m/s乙车此时速度为v4=v2-a2t得v4=19m/s设此后再经过t2，两车速度相等v，则v=v3-a1t2=v4+a3t2解得t2=1s所以t总=t+t2=3.8s，v=23m/s12．汽车A以的速度向右做匀速直线运动，发现车头前方相距m处，有以的速度同向运动的汽车B正开始刹车做匀减速运动直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小。从刚刹车开始计时。求：(1)A追上B前，A、B间的最远距离；(2)经过多长时间A恰好追上B；(3)B车以某一速度运动时，在B车车厢底板距离后壁处有一玩具小车（可视为质点）从静止开始以加速度向前加速运动，此时B车将以加速度减速，玩具小车若与B车共速或碰到后壁就会被固定。求B车的最小初速度是多少时，玩具小车在B车中滑动时间最长？【答案】(1)16m(2)8s(3)【详解】（1）设经过时间t1，B的速度减至与A的速度相等，此时A、B间的距离最远，则vA=vB-at1解得t1=3s则A追上B前，A、B间的最远距离为代入数据解得Δx1=16m（2）B停止运动时需要时间位移则A追上B的时间（3）当玩具车恰到达车厢后壁时恰好共速，此时解得13．为迎接市高中男子足球联赛，学校足球队演练了“边路突破，下底传中”的战术，即攻方队员带球沿边线前进，到底线附近进行传中。如图所示，足球场长100m、宽75m，攻方前锋小张在中线处将足球沿边线向前踢出，足球在地面上的运动可视为初速度大小、加速度大小的匀减速直线运动。(1)若无人触及被踢出后的足球，求足球做匀减速直线运动的时间并判断此种情况下足球是否会滚出底线；(2)若在足球踢出的同时，小张沿边线向前追赶足球，追赶过程的运动可视为初速度为零、加速度大小的匀加速直线运动，求他追上足球前与足球间的最大距离；(3)若在（2）中情况下，小张的速度增大到最大速度后，以此最大速度做匀速直线运动，请通过计算判断他能否在足球停下前追上足球。【答案】(1)，不会(2)(3)能【详解】（1）根据匀变速直线运动的规律有解得足球通过的距离解得因为所以足球不会滚出底线。（2）由题意分析知，当小张和足球的速度相等时，他与足球间的距离最大，设从他将球踢出到他与足球的速度相等的时间为，有解得经分析可知解得（3）设从小张将球踢出到他达到最大速度的时间为，有解得在时间内，小张通过的距离解得此后，小张以最大速度做匀速直线运动，假设他恰好在足球停下时追上足球，则他做匀速直线运动通过的距离解得因为所以小张能在足球停下前追上足球。14．一辆长途客车正在以v0=20m/s的速度匀速行驶。突然，司机看见车的正前方34m处有一只狗，如图甲所示（t=0），长途客车的速度时间图像如图乙所示。(1)求长途客车从司机发现狗至停止运动的这段时间内前进的距离；(2)求长途客车制动时的加速度；(3)若狗正以v1=4m/s的速度与长途客车同向奔跑，狗能否摆脱被撞的噩运？【答案】(1)50m(2)5m/s2，方向与速度方向相反(3)能【详解】（1）由题图乙可知，长途客车从司机发现狗至停止运动的这段时间内前进的距离等于v-t图线与时间轴所围成的面积，即（2）长途客车制动时的加速度为即加速度的大小为5m/s2，方向与速度方向相反；（3）当客车由v0=20m/s减速到v1=4m/s时，需要的时间为司机从看到狗到速度减为v1=4m/s所通过的位移为狗通过的位移为由于所以狗能摆脱被撞的噩运。15．一列货车以8m/s的速度在平直铁路上运行，由于调度失误，在后面某处有一列快车以20m/s的速度向它靠近。快车司机发觉后立即制动，制动的加速度大小为，若两车恰好不相撞（货车速度保持不变），求：(1)快车从制动至两车恰好不相撞所用时间；(2)快车刚开始制动时两车相距的距离；(3)若快车开始制动时距离货车300m，货车应至少以多大的加速度作加速运动才能避免两车相撞。【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）货车的初速度为，快车的初速度为，制动的加速度大小为，当两车的速度相等时快车刚好追上货车，则恰好不相撞，有解得（2）快车刚好追上货车时，货车的位移为快车的位移为快车刚开始制动时两车相距的距离为（3）快车开始制动时距离货车=300m，设货车加速的最小加速度为，需满足速度相等时刚好不相撞，有联立解得16．如图所示，在平直公路上有甲、乙两辆小汽车从相距m的A、B两地同向同时出发。已知甲车在前，乙车在后，甲车初速度大小为，加速度大小为，乙车的初速度大小为，加速度大小为，甲车做匀加速直线运动，乙车做匀减速直线运动，两车均可视为质点。(1)通过计算说明两车是否能相遇，若不能相遇，求两车间相距的最小距离；(2)若甲车加速度大小未知，其他条件均不变，要使甲、乙两车能相遇两次，则甲车的加速度大小应满足什么条件？（结果可以保留分数）【答案】(1)两车不能相遇，两车相距的最小距离为1m；(2)【详解】（1）当两者共速时用时间为t，则解得t=2s，v=12m/s此时甲乙相距可知两车不能相遇，两车相距的最小距离为1m；（2）设当两车经过时间t＇相遇，则当两车相遇时满足整理可知要使得两车相遇2次，则方程有两个解，则解得17．长为5m的警车在公路上以36km/h匀速行驶进行巡视，某时刻，一辆长20m的大货车以72km/h的速度从警车旁边匀速驶过，在货车车尾距警车车头25m时，警员发现货车有违章行为，于是立刻踩动油门进行追赶。为了安全，警车先加速后减速，需行驶到车尾距货车车头前53m安全距离处，和货车同速行驶，才能进行示意停车。已知警车加速、减速时的最大加速度大小均为2m/s2，整个过程货车一直匀速行驶。求：(1)当警车以最大加速度行驶，在超过货车之前，车头距货车车尾最远距离；(2)警车至少经过多长时间才能到达题中安全距离处同速行驶；期间达到的最大速度。【答案】(1)50m(2)21s；36m/s【详解】（1）警车和货车同速时，警车加速的时间加速的距离当警车和货车同速时，警车和货车间距最大，最大距离（2）警车行驶到车尾距货车车头前53m安全距离处时，此时警车的车头超过货车车尾∆x2=53m+5m+20m=78m此时警车和货车的速度相等，设此期间警车的最大速度为vm，加速的时间为t1，减速的时间为t2，则由根据速度时间关系有联立解得t1=13s，t2=8s，vm=36m/s则t=t1+t2=21s18．停在公交站台的公交车由静止启动，以大小为m/s2的加速度做匀加速直线运动。公交车启动瞬间，后方距离车头m处，一高中生追赶公交车。高中生以m/s的初速度、m/s2的加速度做匀加速直线运动，达到最大速率m/s后做匀速直线运动。求：(1)高中生加速过程的时间和运动距离；(2)该学生能否追至公交车车头处？若能，需要多长时间？若不能，和公交车车头的最短距离为多少？(3)若在同一位置追赶公交车的是一中老年乘客，他只能以较小速度匀速追赶。司机能够通过后视镜看到离车头m以内的物体，如乘客在后视镜中能保留s以上，司机即可留意到乘客从而停车等候。该中老年乘客想要乘车，追赶的速度至少多大？【答案】(1)s，m(2)6s(3)m/s【详解】（1）高中生匀加速过程有解得s根据解得m（2）设匀速阶段经历时间，高中追上车头，汽车运动位移学生运动位移汽车