7.2 万有引力定律（举一反三）【四大题型】（解析版）-2024-2025学年高一物理举一反三系列（人教版2019必修第二册）

7.2万有引力定律【四大题型】【人教版2019】TOC\o"1-3"\h\u【题型1对万有引力定律的理解】 2【题型2万有引力与重力的关系】 5【题型3月地检验】 9【题型4求解空壳和地下万有引力的方法】 13知识点1：自由落体运动一、太阳与行星间的引力1．模型简化：行星以太阳为圆心做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力．2．太阳对行星的引力推导：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(（1）行星做圆周运动需要的向心力F＝m\f(v2,r),（2）周期T可以观测，则线速度v＝\f(2πr,T),（3）开普勒第三定律\f(r3,T2)＝k))⇒F∝eq\f(m,r2)3．行星对太阳的引力：根据牛顿第三定律，行星对太阳的引力F′的大小也存在与上述关系类似的结果，即F′∝eq\f(M,r2)．4．太阳与行星间的引力：由于F∝eq\f(m,r2)、F′∝eq\f(M,r2)，且F＝F′，则有F∝eq\f(Mm,r2)，写成等式F＝Geq\f(Mm,r2)，式中G为比例系数．二、万有引力定律1．月—地检验（1）猜想：维持月球绕地球运动的力与使物体下落的力是同一种力，遵从“平方反比”的规律．（2）推理：物体在月球轨道上运动时的加速度大约是它在地面附近下落时的加速度（重力加速度）的eq\f(1,602)．（3）根据观察得到的月球绕地球运转周期T及半径r，月球做圆周运动的向心加速度可由a＝eq\f(4π2,T2)r算出．（4）结论：计算结果与我们的预期符合得很好．这表明：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律．2．万有引力定律（1）内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比．（2）表达式：F＝Geq\f(m1m2,r2)．其中r指两个质点之间的距离．（3）引力常量G：由英国物理学家卡文迪许在实验室中测量得出，常取G＝6.67×10－11N·m2/kg2.【题型1对万有引力定律的理解】【例1】关于万有引力公式的理解，以下说法中正确的是（）A．牛顿首先得到了万有引力定律，并且用实验测定了引力常量G的数值B．由公式可知，两物体紧靠在一起时万有引力无穷大C．可看作质点的两物体间的引力可用公式计算D．两个质点质量不变，距离变为原来的2倍，则它们之间的万有引力将变为原来的【答案】C【详解】A．卡文迪许用实验测定了引力常量G的数值，A错误；B．两物体紧靠在一起时，万有引力公式不再适用，B错误；C．可看作质点的两物体间的引力可用公式计算，C正确；D．根据公式，两个质点质量不变，距离变为原来的2倍，则它们之间的万有引力将变为原来的，D错误。故选C。【变式1-1】某行星的卫星A、B绕以其为焦点的椭圆轨道运行，作用于A、B的引力随时间的变化如图所示，其中，行星到卫星A、B轨道上点的距离分别记为rA、rB。假设A、B只受到行星的引力，下列叙述正确的是（）A．B与A的绕行周期之比为:1 B．rB的最大值与rB的最小值之比为2:1C．rA的最大值与rA的最小值之比为3:1 D．rB的最小值小于rA的最大值【答案】D【详解】A．由图可知，A、B的周期为所以B与A的绕行周期之比为故A错误；B．由图可知，当rB最小时，有当rB最大时，有所以rB的最大值与rB的最小值之比为故B错误；C．同理，当rA最小时，有当rA最大时，有所以rA的最大值与rA的最小值之比为故C错误；D．根据开普勒第三定律，有解得所以rB的最小值小于rA的最大值，故D正确。故选D。【变式1-2】电影中的太空电梯非常吸引人。现假设已经建成了如图所示的太空电梯，其通过超级缆绳将地球赤道上的固定基地、同步空间站和配重空间站连接在一起，它们随地球同步旋转。图中配重空间站比同步空间站更高，P是缆绳上的一个平台。则下列说法正确的是（

）A．太空电梯上各点加速度与该点离地球球心的距离的平方成反比B．超级缆绳对P平台的作用力方向背离地心C．若从配重空间站向外自由释放一个小物块，则小物块会一边朝配重空间站转动的方向向前运动一边落向地球D．若两空间站之间缆绳断裂，配重空间站将绕地球做椭圆运动，且断裂处为椭圆的远地点【答案】B【详解】A．太空电梯上各点具有相同的角速度，根据可知，太空电梯上各点加速度与该点离地球球心的距离成正比，故A错误；B．P平台如果只受地球万有引力，则圆周运动角速度比同步空间站要快，而实际圆周运动角速度等于同步空间站角速度，则在万有引力之外，P平台还受到缆绳拉力，故地球的引力与缆绳拉力提供P平台做圆周运动所需的向心力，P平台做圆周运动所需的向心力小于地球对它的万有引力，所以超级缆绳对P平台的作用力方向背离地心，故B正确；C．若从配重空间站向外自由释放一个小物块，则小物块会一边朝配重空间站转动的方向向前运动一边偏离地球，做离心运动，故C错误；D．若两空间站之间缆绳断裂，配重空间站将绕地球做椭圆运动，其断裂处为椭圆的近地点，因为在近地点线速度较大，半径较小，需要的向心力更大，故D错误。故选B。【变式1-3】天文学家哈雷成功预言哈雷彗星的回归，哈雷彗星绕太阳的轨道为椭圆，如图所示，则哈雷彗星从位置N经过P运动到M的过程中，下列说法正确的是（）A．哈雷彗星受到太阳的引力一直增大B．哈雷彗星受到太阳的引力先减小后增大C．哈雷彗星速度一直增大D．哈雷彗星速度先增大后减小【答案】D【详解】AB．哈雷彗星从N→P→M过程中，彗星与太阳的距离先变小后变大，根据万有万有引力定律可知，彗星受到太阳的引力先增大后减小，AB错误；CD．根据开普勒第二定律可知，彗星在近日点速度最大，在远日点速度最小，故哈雷彗星从位置N经过P运动到M的过程中的速度先增大后减小，C错误，D正确。故选D。【题型2万有引力与重力的关系】【例2】2021年10月16日神舟十三号飞船顺利将3名航天员送入太空，并与天和核心舱对接。已知核心舱绕地球运行近似为匀速圆周运动，离地面距离约为390km，地球半径约为6400km，地球表面的重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（）A．核心舱的向心加速度小于gB．核心舱运行速度大于7.9km/sC．由题干条件可以求出地球的质量D．考虑到稀薄大气的阻力，无动力补充，核心舱的速度会越来越小【答案】A【详解】A．核心舱所处的重力加速度为，根据万有引力定律和牛顿第二定律而在地面处由于核心舱做匀速圆周运动，核心舱在该处的万有引力提供向心力，重力加速度等于向心加速度，因此向心加速度小于g，A正确；B．根据可知轨道半径越大，运行速度越小，在地面处的运行速度为7.9km/s，因此在该高度处的运行速度小于7.9km/s，B错误；C．根据从题干信息无法知道G的值，因此无法求出地球的质量，C错误；D．考虑到稀薄大气的阻力，无动力补充，核心舱逐渐做近心运动，轨道半径逐渐减小，运行速度会越来越大，D错误。故选A。【变式2-1】已知质量分布均匀的球壳对内部任一质点的万有引力为零。若将地球视为质量分布均匀的球体，半径为R，且不计地球自转。设地球表面上方高0.5R处的重力加速度，地球表面下方深0.5R处的重力加速度，则为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】设地球的质量为M，密度为，由于质量分布均匀球壳对其内部任一质点的万有引力为零，可知地球表面下方深0.5R处的重力加速度相当于半径为的球体产生的重力加速度，根据在地球表面上方高0.5R处，根据万有引力等于重力得又联立，可得故ABC错误；D正确。故选D。【变式2-2】由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。已知地球表面两极处的重力加速度大小为，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体。下列说法不正确的是（）A．质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为B．质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mgC．地球的半径为D．地球的密度为【答案】B【详解】A．地球表面两极处的重力加速度大小为，质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为。故A正确；B．质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小等于其在地球两极受到的万有引力，大小为mg0，故B错误；C．设地球半径为R，在地球赤道上随地球自转物体的质量为m，由牛顿第二定律可得故C正确；D．设地球质量为M，地球半径为R，质量为m的物体在地球表面两极处受到的地球引力等于其重力，可得又则有故D正确。选不正确的，故选B。【变式2-3】一半径为R、质量分布均匀的球形行星绕其自转轴匀速转动。若质量为m的物体在该行星两极时的重力为G0，在该行星赤道上的重力为，设行星自转的角速度为ω，则下列表达式正确的是（）A．ω＝ B．ω＝C．ω＝ D．ω＝【答案】A【详解】在两极上G＝G0在该行星赤道上时，万有引力、重力、向心力满足关系＝G0＋mω2R解得ω＝故选A。【题型3月地检验】【例3】若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证（）A．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的B．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的C．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的D．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的【答案】B【详解】A．设月球质量为，地球质量为M，苹果质量为，则月球受到的万有引力为苹果受到的万有引力为由于月球质量和苹果质量之间的关系未知，故二者之间万有引力的关系无法确定，故选项A错误；B．根据牛顿第二定律，整理可以得到故选项B正确；C．在地球表面处在月球表面处由于地球、月球本身的半径大小、质量大小关系未知，故无法求出月球表面和地面表面重力加速度的关系，故选项C错误；D由C可知，无法求出月球表面和地面表面重力加速度的关系，故无法求出苹果在月球表面受到的引力与地球表面引力之间的关系，故选项D错误。故选B。【变式3-1】已知地球半径为R，月球半径为r，地球与月球之间的距离（两球中心之间的距离）为L。月球绕地球公转的周期为，地球自转的周期为，地球绕太阳公转周期为，假设公转运动都视为圆周运动，引力常量为G，由以上条件可知（）A．月球运动的加速度为 B．月球的质量为C．地球的密度为 D．地球的质量为【答案】A【详解】由月球绕地球做圆周运动有解得故A正确；B．根据万有引力定律而列出的公式可知月球质量将会约去，所以无法求出，故B错误；CD．由月球绕地球做圆周运动有求得地球质量又知体积则密度为故CD错误。故选A。【变式3-2】（多）2024年4月9日在北美洲南部能观察到日全食，此时月球和太阳的视角相等，如图所示。已知地球绕太阳运动的周期约为月球绕地球运动周期的13倍，太阳半径约为地球半径的100倍，地球半径约为月球半径的4倍，月球绕地球及地球绕太阳的运动均可视为圆周运动，根据以上数据可知（）A．地球到太阳的距离与月球到地球的距离之比约为B．地球对月球的引力与太阳对月球的引力之比约为C．太阳的质量约为地球质量的倍D．地球与太阳的平均密度之比约为【答案】AC【详解】A．有几何关系可知结合视角图可得地球到太阳的距离与月球到地球的距离之比约为故A正确；BCD．由可得则太阳的质量约为地球质量的地球对月球的引力与太阳对月球的引力之比约为星球的密度为则地球与太阳的平均密度之比约为故C正确，BD错误。故选AC。【变式3-3】（多）在万有引力定律的学习中，月—地检验的内容是这样说的：地球绕太阳运动，月球绕地球运动，它们之间的作用力是同一种性质的力吗？这种力与地球对树上苹果的吸引力也是同一种性质的力吗？假设地球与月球间的作用力与太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足。根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度（式中m地是地球质量，r是地球中心与月球中心的距离）。进一步，假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度（式中m地是地球质量，R是地球中心与苹果间的距离）。由以上两式可得。由于月球与地球中心的距离r约为地球半径R的60倍，所以。下列哪些数据能通过计算验证前面的假设。（）A．月球的质量7.342×1022kgB．自由落体加速度g为9.8m/s2C．月球公转周期为27.3d，约2.36×106sD．月球中心距离地球中心的距离为3.8×108m【答案】BCD【详解】根据题意可知，对月球在运算中需要月球公转周期、月球中心距离地球中心的距离。对于地表需要自由落体加速度g，不需要月球质量。故选BCD。【题型4求解空壳和地下万有引力的方法】【例4】如图所示，有一个质量为M、半径为R、密度均匀的大球体，从中挖去一个半径为的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为（已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零）（）A． B． C． D．0【答案】C【详解】若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对m的吸引力等于完整大球体对m的吸引力与挖去小球体对m的吸引力之差，挖去的小球体球心与m重合，对m的万有引力为零，则剩余部分对m的万有引力等于完整大球体对m的万有引力；以大球体球心为中心分离出半径为的球，易知其质量为M，则剩余均匀球壳对m的万有引力为零，故剩余部分对m的万有引力等于分离出的球对其的万有引力，根据万有引力定律故选C。【变式4-1】上世纪70年代，前苏联在科拉半岛与挪威的交界处进行了人类有史以来最大规模的地底挖掘计划。当苏联人向地心挖掘深度为d时，井底一个质量为m的小球与地球之间的万有引力为F，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，质量分布均匀的地球的半径为R，质量为M，万有引力常量为G，则F大小等于（）A． B． C． D．【答案】B【详解】将地球分为半径为（R－d）的球和厚度为d球壳两部分，球壳对小球的引力为零则F等于半径为（R－d）的球对小球的引力，有设半径为（R－d）球的质量为，由密度公式得所以解得，F的大小为B正确