2023考研：概率论与数理统计辅导讲义 基础强化

考研数学

概率论与数理统计

辅导讲义

ENTS

第一章.

001随机事件及其概率

010基础练习题

012基础练习题解答

第二章密第五章简

016一维随机变■及其分布068大数定律和中心极限定理

028基础练习题

029基础练习题解答

第三章.第八章

033二维随机变■及其分布072数理统计的基本概念

047基础练习题078基础练习题

050基础练习题解答079基础练习题解答

第四章第七章淌

055数字特征081参数估计

062基础练习题085基础练习题

064甚础练习题解答085基础练习题解答

•I•

第一章第五景H

087随机事件及其概率162大数定律和中心极限定理

091强化练习题163强化练习题

092强化练习题解答164强化练习题解答

第―旱桶.第六章匐

096一维随机变量及其分布166数理统计的基本概念

103强化练习题171强化练习题

106强化练习题解答173强化练习题解答

第三章阖第七章巾

112二维随机变量及其分布178参数估计

125强化练习题181强化练习题（一）

129强化练习题解答183强化练习题（一）解答

191强化练习题（二）

193强化练习题（二）解答

第四章［

138数字特征

第八意留

151强化练习题

154强化练习题解答196假设检验

199练习题

200）练习题解答

附录

2032011—2021年号研数学概率统计

真题

2172011—2021年考研数学概率统计

R题解答

•2•

4读I，

一隹记

常第一章

随机事件及其概率

考试要求

1.了解样本空间（基本事件空间）的概念.理解掰机事件的慨念.掌握事

件的关系及运算.

2.理解概率、条件悔率的概念.掌握盘率的基女性质•会计茸古典型摄

率和几何型料率•掌握懒率的加法公式、成法公式、黍法公式、全概率公式以

及贝叶斯（Bayes）公式.

3•理解事件独立性的轨念•掌握用事件独立性进行蛾率计第；理解独立

重复试睑的概念,掌握计算有关事件概率的方法.

一、样本空间、随机事件及相关运算

（一）随机事件

❶随机试验E的特征

（1）在相同的条件F.试验可道复进行，

（2）试验所有可能结果本先已知：

（3）每次试验的具体结果事先未知.

❷样本点约随机试验的每一个基本可能结果称为一个样本点.

样本空间。随机试验的所由样本点全体组成的集合称为样本空间.

❸随机事件数学上称件本空间的子集为随机事件.常用大写的字母

A.3,C.…或A,（i1.2.-）等表示要件.在实际问题中•随机事件指可微

发生•也可能不发生的随机现象.

若试验出现的样本点口€A.就称人发生；古则•称八不发生.

基本事件：由单个样本点组成的集合称为基本事件：样本空间也称为基

本事件空间.

❶必然事件O每次试验中必然发生的事件称为必然本件•即为全集।

不可能事件每次试验中都不可能发4的犷件称为不可能事件.即

为空集.

（二）事件的关系与运算

❶事件的三种关系与四种运算

（1）子事件《事件的包含）AU3：事件A发一必导致事件8发什

（2）相等事件A-B：AU15且八ZD8.

⑶并事件AU中至少"一个发生”•也称为事件人与事件B

••

的和、件：类似地•称UA为〃个卡件儿.A，.…A的和事件；称uA,为

•■I1-1

;哥考研收学微率论叮数理统计制寸讲义》总坳口

可列个事件八•八」•…的和W件.

空记台

（4）交（枳）引件八3：“八・3都发生”.也汨做八n3;类似地•称h八.为〃个

♦-I

事件4.A；•…•儿的积小件:称n八为可列个多件A.八.…的积小件.

（5）对立事件：若八UH二。且八/3=0,则称事件人与事件3互为逆

小件.乂称3为人的对立事件.记为A=8.

（6）差裂件AB/A发生•而8不发生

㈤

AB=AAB=AB.

（7）互不相容（互斥）事件：.\H-0.指的是事件A与事件8不能H时发生.

1.底本事件是两两互不相容的.

2.三种关系是指：包含、相等、互不相容；四种运算是指：和、积、是、逆.

❷事件的运算律

交换律：八UHBUA•A8B4；

结合律：（AUB）Ur=AU（BU（'）.（Ali）CA（/”•）；

吸收律：若人U3•则有/W3=A,AUB=Bi

分配律：（AUB）n（,-（AAC）U（Bn（'），

<AnB）uC=（AuC）n<Buo；

德•庠根律（对偶律九TUB=A/LAli^Au瓦

例1.1/7设八・3是任意两个随机事件.化简

（AUB）（AUBXAUBXAU〃）.

□］（AU8）（人UBXAUBXAUB）

=［（彳uB）（AuB）］n［<AuB）（AuB）］

=［（AAA>UB］n［（ACI/DUB）］

=（0UB）n（0uB）=BnB=0.

例L2/7一个「人生产广3个零件.以事件A,（i—1.2.3）表示

她生产的第i个零件是合格品,试用儿（，1.2.3）表示下列事件：

（1）只有第1个零件是合格品以，

⑵3个零件中只有1个合格品B?：

（3）3个零件中右I个合格品

（V第1个是合格品.但后两个零件中至少有I个次品3,；

（5）3个零件中最多只行两个合格品B.：

（6）3个零件都是次品丛.

Q］（1）B।=A।A2Al.

<2）B,=A,A2A:UU彳*ZA：.

（3）3个零件中有1个合格船是指至少Tf1个合格品.故

乩=^u人Ua.

（1）B।=A（A,UA<）=At（AA）=At-AA,A।-A.A<.

海一章陶机•”件及其微小

(5)法一3个中至少行1个不合格品.3A,UA；UA..

法二3个都是合格品的对立事件=A/八「史典

■・■■——

(6)法一B,=A1A，A,.

法二3个中至少有1个合格品的对立事件.।

B*=A,UA?UA,.

本题的实质是考查用事件的运算符号来描述用普通语言表达的随机

事件•以使今后运用公式计算概率.同时.8,与的两个结果.脸证了俭・

摩根律的成立.另外•从从•丛，的鞋果都可以发现.一个事件往往有多个等

价的袅达方式，在以后的概率计算中,要选择一个容易利用概率公式进行

计算的表达方式.如在3.的两个表达式中.第一种两两互不相容的分解袅

达式一般是较适合概率计算的.

二、概率和条件概率，古典概型和几何概型，全概率।

(一)概率的概念

概率宜观上是指一个事件发生可能性大小的数届指标.

O概率的统计定义在不变的条件F・重:复进行〃次试验.事件A发

生的频率稳定地在某一常数0附近摆动.且一般来说.〃越大.摆动幅度越

小•则称常数》为事件A的概率.记作P(A)=/>.

❷概率的公理化定义设的机试验E的样本空间为。,对干E的每个

卜件人赋予一实数P(八),如果/)(・)满足以下条件：

(1)非负性：对于每一个事件A•有P(A)20,

(2)规范性：对于必然部件Q,有P(n)=b

⑶可列可加性：若八•九•…・八"•…是两两互不相容的驿件•则有

P(UA.)=

就称P(A)为事件A的概率.

❸概率的性质

性质1P(0)=0.p(n)=i,o<i.

性质2若….A0是两两互不相容的事件,则行

P(A,U…UA.)=P(A,)+3+P(A.).

性质3求逆公式:P(彳>=1-P(A).

性质4减法公式：P(A-B)=P(AB)=P(A)-P(AB).

特别地.当4UA时.P(人-3)=P(A)P(3).由此M得。(8)

4P(A).

性质5加法公式：

P(AUB)=P(A)4-P(B)-P(AB)»

P(AUBUC=P(A)(8)+P(C)

P(AB)-P(BC)-P(AC)4-P(.4BC)»

特别地,若A〃A「….A.两两互斥,即A,A,=0,"j=1・2

iWj•则UA,U…UAJ=P(A.)卜P(A：)+…TP(A„).

森哥考研数学收率论与故理统计辅力济义》网触篇

]例CJZ7设A.B为两个随机倒件.P(/W)=p(Aib,Li知P(A)

y=O.则P(B)=.

©由P(AB)=P(AB)-P(AUB)=1-7J(AUB>

=1一[P(A)+P(B)一。(AB)],

得P(B)=1-P(A)=1-p.

例，.4f(]设P(A)=P(8)P(C)=：・P(A8)=0.P(AC)=

P(3C)=J,则事件八・/，・(’全不发生的概率为.

O

Q]由，(A6)-0得P(ABC)=0,A.B,C全不发生表示为彳耳「・

P(AliC)=P(A\JB\JC)=1-P(AUB(JC)

-1-[P(A>4-P(B)4-P(C)一P(AB)P(AC)一

P(BC)+P(ABC>]

1

=0，

(二)古典概型和几何概型

❶古典概型

(1)特征篇中的样本点有限.且每个样本点发生的可能性相同.

(2)公式:P(A>=",其中〃为A包含的卷本力件数一为。中基本事

〃

件的总数.

常用结论；设N件产品中行M件次品.从中任取〃件.则从中份勺以件

次品的概率为

,7—

5fLV-MN(N7)…[N-(，/-1)]

，其中C；="7F

例1.57710个产乂中石.1个次品.从中任取3个•求至少有1个

次品的概率.

Q］设A表示“取出的3个产品中次品的个数恰为i个，i=0,123.

B表示“至少彳i1个次品

法一P(B)P(A,uA£uAJ=PCAJH-PCAJ-FPCAJ

C；C：+C：C：+C；5

=cE=T

法二P(B)=1P(B)=1P(Atl)

,Ci,6X5X45

C}B10X9X86

(例L6tn从0.1•….9等卜个数字中任意选出三个不同的数字.

求下列事件的概率：

(DA,一(三个数字中不含0和5卜

(2)A?=(三个数字中不含。或5>；

(3)八，一(三个数字中含0但不含5：.

第随机小丹及K班申

0(1)十个数字中任取三个不同的数字一共有黑种可能.不含。和5,只

需要从剩下的8个中取出3个・〃(A)=与=]

Cio15

(2)不含。共有C：种取法.同理不含5也有C：种取法,不含。和5有£

种取法.故

仁15,

一r7

<3)P(.A)=，b1=(含。的减去含0和5的).

73。SU

C-7

或P(A)f*=n(含。不含5只需要取0,且从。和5之外的8个中

任意取2个).

对于排列组合比较生疏的同学可以力学下面补允内容部分:

补充内容】

1.加法原理：设完成一件事有〃美方法，只要选择任何一类中的一种方

法，这件事就可以完成.若第一类方法有，入种，第二类方法有〃0种•…・第

n类方法有“种,并且这〃Zi+mz+…+/曾”种方法里,任何两种方法都不

相同，则完成这件事就有inj4-fn：+•••+，〃.种方法.

2.栗法原理：设完成一件事有〃个步骤.第一步有〃“种方法•第二步有

m2种方法.…・第n步有种，并且完成这件事必须经过每一步,则完成这

件事共有6iXX…Xm.种方法.

3.排列：从〃个不同元素中,每次取出m个元去，按照一定的顺序排成

一列，称为从〃个元素中每次取出小个元素的排列；

注意①〃个不同元木，要求元素可以辨认.

②有放回地抽取出m个元素是指每次抽取一个•看后放回・共抽取m

次；(共种排列)

无放回地抽取出m个元素是指每次抽取一个•看后不放回•共抽取，〃

次(m&〃).(共有〃X(〃I)XX(w-m+1)=；——一丁一种不同的

(〃一m)J

排列•表示为A：或P：)

4.组合：从〃个不同元素中，每次取出m个元素不考虑其先后顺序作为一

组(只看内容不计次序).称为从〃个元素中每次取出加个元素的组合•共有

〃X(〃-1)X…X(〃一切+1)〃！

C：种可能.

❷几何概型

(I)特征:。中样本点无限且构成一个几何区域,且每个样本点的发生

是等可能的，

(2)公式：P(A)・L(A)和L(n)分别表示A和觉的儿何测度.

其中测度为长度或面积.

森哥考研数学微率论与数理统计制导济义》川础4

读的仝I例1.7/7在区间（O.D中随机地取出两个数•求两数之和大于I.

笔记

且两数之积小于］的概率.

@设第一个数为『.第二个数为.V.则样本空间

。=｛（1•・y）I0V/<1,0VyV1）・

A表示“两数之和大广1•且两数之积小于,「,则

A卜/,y）i.r十y>1。・（读立■一定要动手画出区域）

由几何概型P（A）=77Hs..---------------；---------------=$ln2・

L«J4，14

（三）条件概率与概率的乘法公式

❶条件概率

定义已知A发生的条件F3发生的概率称为条件慨下.记为P（B|A）.

当P（A）#0时，〃（B|A）’；；：：

常见条件概率的两种计算方法：

（D公式法：。（3|人）=号黑；

也”法：改变样本空间直接计算.

I例1.8Z7设袋中彳iI。只球•其中6只红球和1只门球•现从中不

放回地任取两只球•求已知在第一次取得红球的条件卜.•第二次取得白球的

概率.

画法一（公式法）设事件A我示第一次取得红球.B衣示第二次取得

6X4

m八、P（AB）10X94

自球,则P（H|A>==

P<AT-=P

法二（缩减样本空间法）当第•次取得红球时•袋中还剩下9只球.★

中5只红球和I只门球（注意：样木空间已经发生变化）.此时再从袋中任取1

只球.则该球为门球的概率为,•故已知住第一次取得红球的条件F，第二

次取得门球的概率为;4.

y

❷条件概率的常用性质：当P(B)。时，条件概率的性质

(1)0<P(A|H)<1；

(2)P(0IB)=0・P(。IB)=h

(3)P(A|B)=1P(A|B)：

(4)P<A,UIB)=P(A,3)+P(A.IB)P(AXA2IB)；

(5)F《/LA2IB)P(A,|B)-P(A,A2|B)；

(6)设部件A-A」,….A”,…两两互不相容•则

P(A,UAzU…UA“U-IB)=P(A,IB>+P(A:|B)+…+

P(A„|3)+・・・.

第一章刖机3件及H微率

❸概率的乘法公式

P(AB)F(A)>0P(A)P(Z3|ZA)»P(H)>UP(Ii)P(A|B)；

1.乘法公式是指：当P(B)>0时，由P(B)和P(A|8)的乘枳来计

算P(AB).

2.其中的条件概率P(A|B)是由缩减样本空间法计算的或者题目直

接给出的.

P(A,AZA,)-P(A1)P(A,|A.JPCA,|A,A2)(PCAjAO>0),

P(A|Aj・・A.)=P(A1)P(A"A,)-P(A.|ASA:-21W,)

(P(AA…A…)>0).

(例L9M一批零件共100个.其中有10个次品.依次从中不放问

地任取3个零件.

(1)已知第•次、第二次取到次品•求第三次取到正品的概率人，

<2)求第三次才首次取到正品的概率也.

@设儿表示,柒；次取到正品—123.

------90

(l)Z»=P(A|A,A)=^.

ll3J。

⑵第三次取到正品

A^AQ=A.(A.A.UA.A.U人/二U儿小)

=A।A[AjUA]A*AiUA।A2AliUA(A；At«

其中只有无不,A,是指第三次才首次取到正品.故

p1=P(A1A2A3)=P(AI)P(A,IA)P(A,IA(X2)

JO990「9

100'99981078,

(四)全概率公式与贝叶斯公式

O全概率公式

如果事件组A|.A&.….A,满足

(\)AluA?U・・・U儿=n♦且。(A,>>03=1.2•…•〃八

(2)Ai，A?・…・A.两两互不相容.

就称A：,A[•…，A.为完备事件组.并有全概率公式

P(8)=XP(A,)P(8IA.).

❷贝叶斯公式

P(A.B)P(A.)P(HA,)

P(A,B)=，一….=--■

P(B)P(B)

I例L10Z7设袋中有30只乒乓球•犬中20只黄球,30只白球.现从

中依后旋回地任取两只•则第二次取得黄球的概率为,

没.1表示“第』次取到黄球二，1,2.

19X202

法一古典概型P(A?)=

50X195

法二P(A.)-P(A1)P(A,|Ai)FP(At)P(A2IA,)

201930202

=XX而+而x而二§・

森哥考研敛学段率论叮数理统计辅导济义》旧础口

J®

1抓阉原理:〃个人抓小个有物之闽(加V〃).则第A个人抓到的概率为竺.

71

(例\.\“口某单项选择嬲有四个答案可供选择.已知60%的考生

对相关知识身全掌握.他们可选出1E确答案；20%的写生对相关知识部分掌

握,他们可别除两个不正确答案•然后随机选•个答案；20%的号生对相关

知识完全不掌握.他们任意选一个答案.现任选一位考生,求：

<1)其选对答案的概率，

(2)若已知该考生选对答案.同其确实完全掌握相关知识的概率是

多少？

国设人表示该考生完全掌握相关知识,4表示该考生掌握部分相关知

识:人j表示该考生完全不掌握相关知识,8去小该学生选对答案.由题意.

Q11

P(A,>4)=1；P(A.),P(liIA.)=-;

55L

℃)=!，P(BIAJ=v，

54

(1)由全概率公式得

P(B)=2P(A.)P(8IA,)=3X1+JX；4-vXy=4.

Axl

⑵由贝叶斯公式得p(Ai1B>=)=y—=4,

•\LJfJM

I

三、事件独立性，独立重复试验

(一)事件的独立性

❶中件A与8独立Q/YAB)”(A)P(B)(事件、与”独立的定义)

F(«>>0P(A>>0

0P(AIH)=P(A)<=>P(BIA)=P(B).

❷重要结论

(DA与3独立<=M与B独立Q彳与3独立与B独立.

(2)假率为0的事件以及概率为1的事件与任意一个事件均相互独立.

(3)设P(8)€(0.1).则A和8相互独立QP(/1IB)-P(A|B)

(人IB)4-P(AIB)=1«P(AIB)-bP(AB)=1.

❸独立与互斥的关系

一般地.独立与互斥没有联系.

事件A与8独立=P(A)P(/3)；

A.B互斥=八8=0=。(八3)=0；

但是.当?(A)>0.P(8)>0时，

“A.B独立”推不出“A・B互斥”.“A.B互斥”推不tfTA.B独立工

P(AB)=P(A)P(B).

OA.3,C两两独立^P(AC)P(A)P(CK

P(BC)=P(B)P(C).

笫一用碰机15及1帼中

P(.AB)

P(AC)-P(/A)P((,).(名心I

❺A.B.r相厅.独立ol

P(BC)=P(B)P(C,).

P(AHC)P(A)P(B)P(C).

(例1.12勿盒子中有编号为1.2.3,I的1张K片・•现从中任取

一张•设事件A表示取到1号或2号K片，B丧示取到1号或3号/片.

「表小取到1号或1号K片,试分别讨论中H八.〃.(、的两两独。性和相

江独立性.

Q]P(A)-P(B)=P(C)==P(BC)=P(AC)=—.

Z4

“(ABC)='.所以仃

4

P(AB)P(A)P(B),P(BC)P(B)P(C).P(AC)^P(A)P(C).

P(ABC)*P(A)P(B)P(C)9

故A,B.C两两独立，但不相互独立.

Q设有〃(〃22)个随机事件八.A・….A”•如果对其中任意£个(24

G《〃)随机事件A…….A.•均有

P(A、A.・・・AG=PUJPO・P(A.J

(共有C：+…+C：=2--〃一1个等式)

就称随机弊件A,*?,…，A”相互独立.

若随机事件A1.A?•・・・*.•氏J32.….8.相互独立，则由A1.A?•….

A.的运算(和、积、差、逆)结果组成的随机事件与由氏,氏•….3.的运算

结果组成的随机事件相互独立.

O在应用题中•事件的独立性往往来自对实际问题的分析和判断.如

“互不干扰”“互不影响”“有放网取球”等暗含独立.

例LI3勿设随机小件A与〃相互独让.12知A发生3不发生的概

率和3发生A不发生的概率相等.且A.8都不发生的概率为:,则P(A)

由题意P(A3)P(A)P(B).P(AB)P(AB),P(AB)-:

四*7

由P(AB)P(AB)可得P(A)P(B)=P(A)P(B).

即有P(A)=P(B),

再由P(AB)=P(A)P(/I)=[P(A)„-=解得P(A)=y.

®__

不用独立性也可直接根据或法公式由P(AB):P(左8)得到P(A)=

P(B).

森哥考研数学微率轮。数即统计轴/折义*卡m

读书（例1.14/7设A.B,C是三个相互独汇的随机多件,IlP（A）.

P（B）.P（C>e（o.i）,则在F列给定的四对事件中不■相互独立的是（

(A)AUB与r(B)AC与(’

«"万与((I))AB与e

选(B).因为P(AC)=P(A)P(C)工0.P(AC)工1・

P(A('C)=P((')/P(AC)P(C).

从而「房与r不相互独立.

读者可以自行验证（A）・（C）・（D）三个选项是相互独立的.

（二）独立重复试验和伯努利概型

将只行两个结果A和彳的随机试验称为侑％利试脸；若各次试验的结

果相立独立称为独立试验，将•伯努利试验独立.1复地进行〃次称为〃币

努利试验.

在每次试验中.第件人发生的概率均为。,则在〃次独立求亚试验（或〃

垂伯努利试验》中，事件A恰好发生£次的概率为

C=y1-/>)-*.k=0.1.2.­.//

例！」5初设甲乙两人进行乒乓环比赛.采用/1局二胜机各局比

2

赛相。独。.每局比赛中甲胜的概率为;•求甲最终获胜的悔率.

Q］设人衰示”•共打了，局中最后胜利”.i一3.1.5.8表示“甲最终获

胜”,则

8

27

九储）=仁信）’6）28

327

P（A"信）心）-2-ZS--1-6-

381

P(B)=P(AlUA,UA,)=〃(A.)+P(A1)+P(A)

©盾础练习题

一、选择题

1・若事件A・B满足3U八•则卜列命题中正确的是（）.

（A）A与8必同时发生（B）A发生•则/3必发生

（0.4不发生,则H必不发生（1））3不发生.则A必不发生

2.将一枚硬币随意独立掷两次•记事件A=｛第一次出现正面）,3=<第

二次出现反面｝・C=｛1E而最多出现一次）•则（）.

（A）A・8,l'两两独立（B）A与3（,独立

（OB与AC独立（D）C与A8独立

3.设随机设件A./九(,两两互不相容.且P(A)=0.2.P(B)0.3.

P(C)=0.I则PC(AU8)-C]=().

(A)0.5(B)0.1(CIO.14(1))0.3

3^7

第一常的机小件及II微率

।.设一系统由A・H・r三个元件并联而成.：个元件।作的概率分别为「■蠹

。一人.存•各元件相互独立地工作,则系统「.作的微率为(>.展空反

<A)p,p2p1

(B)I

((')(1—/>i)(1—p)(1—pc

(D)l-(1-pjXl-p.Xl-pC

5•设A・73为随机事件,且P(/3)>O,P(AI8)=1.则必有().

<A)P(4UB)>P<A)(B)P(AUB>>P(B>

(C)P(AUB)=P(^)UB)=P(B)

二、填空题

1.已知P（A）=9,P（BIM।.P<\/；）=!•则

432------------

2.设P（A）=0.7.〃（B）=0.5.。（八8）=63.则|八）+。（3|八）

3.设A.8.C两两独立.11A3C=0・P(A)=P(/3)=P(C>V：・A.

8.C至少行•个发生的概率为1,则〃(八)—.

10

1.掷两题骰子.已知两颗的点数之和为7.则其中行•粒点数为1的概率

是

5.10把钥匙中有3把能开门.今任取2把.能打开门的概率为________.

6.10张卡片中有4张是有奖卡片・3人参加抽签,按甲乙丙顺序.每人抽

1个不放回.则丙抽到右类I、片的概率为________.

7.10件产品中有4件次品.某人从中不放回地抽取•每次取1件产品•则

此人第3次才取到次品的慨率为.

8,独立重复地进行某试菜•每次方件A发生的概率为1.则第四次试验

•3

恰好是A第二次发生的概率为.

9,设A.8.C是的机中「I・且八与(’比斥.〃(八〃)二!・〃(O=；,则

P<ABC)-

10.某工厂每天用水里保持正常的概率为II.各大的川水后互不影

4

响•则-周内用水员至少有5大保持正常的慨率为.

三、解答题

L设A.B是两随机事件•且P(A)=0.6.P(/3)=0.7.

(1)在什么条件下。(/W"取到最大俏•最大值是多少？

(2)在什么条件下〃(人取到最小值•最小值是多少？

2.设盒子中有10只球,其中I只红球，3只白球和3只黑球.现从中不放

回地取三次,每次取一个.求三次所取的球颜色不同的概率.

3.设1件产品中有两件次品•现依次从中不放回他任取两次.每次取一

森哥考研数学微率论与数理统计辅，济义“M域第

供Q1件•求两件产品中恰好花一件次品的概率.

I笔由24.在边K为1的正方形区域内任取一点，求该点到每个顶点的距离均大

于。的概率.

5.设随机事件A,B.C两两独立，且C与A—3相互独立.证明A,8・C

相互独立.

6.设-系统由3个独立T.作的电子元件并联而成•乩每个电子元件正常

工作的概率为0.3•求该系统正常E作的概率.

7.某厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,各乍间的产母分别占全

厂总产fit的20%.30%,50%.根据过去产品质量检聆记录知道甲、乙、丙车

间的次品率分别为4%.3%.2%.

(1)从该厂产品中任取一件•其为次品的概率为多少？

(2)若从该厂的产品中任取一件，发现其为次品•向该产品为乙车间生

产的概率是多少？

Q基础练习题解答

一、选择题

1.国《(、

国由题意,试验的基本事件共有四个：

Wj=(正,正).W；(正•反｝tU,i=(反•正>.w<=<反.反｝,

所以A=<W|.u'?｝.B=<3?・w,>.C="一，xci.W|),

131

0(A)PM=：.P(r)==.P(/W)=；=P(A)P("

244

BUC・P(BC)=P(B)*P(B)P(C)•故B.C不独立.选项(A)不成立.

又BC=B.A故,-AB.P(ABC)=P(AB)-P(A)P(B)=P(A)P(BC).

即人与3c独立•选项(B)成立，故选(B).

而P(ABC>=〃(A>P(/3)5HP(B)P(AC)=-^-Xv-

424

131

P(AB(')=；WP(C)〃(A3)X；.故选项(C).⑴)不IE确.

444

□：P[(AUB)-C]=P(AUB)-P[(AUB)C]

=P(A)+/,(B)=0.5.

◎由题意，

P(AUBUC>=1-P(A8C)=l-P(A)P(B)P(C)

=1—(1—/>|)(1—p])(1—p3

@[flP(A|B)=l♦所以〃(人〃)=〃(〃),

进而行P(AUB)=P(A).

第一醺附机小竹及1!微中

二、填空题Y读1;

艳记

1.

□］由题，鼠力P（A）P（B|A）-；<11

3=I2,

P(AH)

P(B)=

P(A|B)

P(AB)=P(AUB)=1-P(AUB)

7+182

=1-P(A)-P(B)-f-P<AB)=I

26

2.

2\,

□J111P(AB)-P(.A)P(AB)=0.3可得P(.1B)0.4,

P(AB)P(AB)

P(BI八)+P(3|A)=+_--

P(A)P(A)

焉十1-(0.74-0.5-0.4)4226

1-0.77321,

答案

@由P(AUBUC)=1

10

得P(A)+P(B)4-P(O-P(AB)P(AC)-P(BC)+P(ABC)

qi

=3P(A)-3[P(A)]Z=77•解得P(A)