专题86空间直角坐标系空间向量及其运算2022年高考数学一轮复习（新高考浙江）（讲）

2022年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）第八章空间向量与立体几何专题8.6空间直角坐标系、空间向量及其运算（讲）【考试要求】1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3．掌握空间向量的加、减、数乘、数量积的定义、坐标表示的运算.【高考预测】（1）空间向量的线性运算及其坐标表示.（2）运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.（3）应用空间向量解决立体几何问题.（4）一般不独立命题．预测2022年高考会以简单几何体为载体，利用空间向量方法解决与平行、垂直有关的证明及空间角的计算问题．解题时要求有较强的运算能力.【知识与素养】知识点1．空间向量的线性运算1.空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的模或长度．(2)几种常用特殊向量①单位向量：长度或模为1的向量．②零向量：长度为0的向量．③相等向量：方向相同且模相等的向量.④相反向量：方向相反而模相等的向量．⑤共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量．⑥共面向量：平行于同一个平面的向量．2.空间向量的线性运算(1)空间向量的加减与数乘运算是平面向量运算的推广．设a，b是空间任意两向量，若，P∈OC，则，，.（2）向量加法与数乘向量运算满足以下运算律①加法交换律：a＋b＝b+a.②加法结合律：(a＋b)＋c＝a+（b＋c）．③数乘分配律：λ(a＋b)＝λa+λb.④数乘结合律：λ(μa)＝(λμ)a.(λ∈R，μ∈R)．【典例1】（2020·全国）如图，在长方体中，()A． B． C． D．【答案】D【解析】在长方体中，故选D.【规律方法】用已知向量表示某一向量的方法(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立．知识点2．共线向量定理、共面向量定理的应用(1)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb.(2)共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一实数对x、y，使.(3)空间向量基本定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使.把{a，b，c}叫做空间的一个基底．推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x、y、z，使.其中x＋y＋z＝1.【典例2】（2021·全国）如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.（1）求证：E，F，G，H四点共面；（2）求证：平面EFGH；（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任意一点O，有.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】（1）根据题意得出可证；（2）通过证明可得；（3）可得四边形EFGH为平行四边形，为EG中点，即可证明.【详解】（1）E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，，，，又E，F，G，H四点不共线，故E，F，G，H四点共面；（2）E，H分别是AB，AD的中点，，，，平面EFGH，平面EFGH，平面EFGH；（3）由（1）知四边形EFGH为平行四边形，为EG中点，E，G分别是AB，CD的中点，.【总结提升】1.证明空间三点P，A，B共线的方法(1)eq\o(PA,\s\up16(→))＝λeq\o(PB,\s\up16(→))(λ∈R)；(2)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋teq\o(AB,\s\up16(→))(t∈R)；(3)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up16(→))＝xeq\o(OA,\s\up16(→))＋yeq\o(OB,\s\up16(→))(x＋y＝1)．2．证明空间四点P，M，A，B共面的方法(1)eq\o(MP,\s\up16(→))＝xeq\o(MA,\s\up16(→))＋yeq\o(MB,\s\up16(→))；(2)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\o(OM,\s\up16(→))＋xeq\o(MA,\s\up16(→))＋yeq\o(MB,\s\up16(→))；(3)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up16(→))＝xeq\o(OM,\s\up16(→))＋yeq\o(OA,\s\up16(→))＋zeq\o(OB,\s\up16(→))(x＋y＋z＝1)；(4)eq\o(PM,\s\up16(→))∥eq\o(AB,\s\up16(→))(或eq\o(PA,\s\up16(→))∥eq\o(MB,\s\up16(→))或eq\o(PB,\s\up16(→))∥eq\o(AM,\s\up16(→)))．知识点3．空间向量的数量积及其应用1．两个向量的数量积(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；(2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；(3)|a|2＝a2，|a|＝eq\r(x2＋y2＋z2).2．向量的坐标运算a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数量积a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3共线a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)垂直a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0夹角公式cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))【典例3】（2021·四川省大竹中学高二月考（理））如图，在平行六面体中，，，则（）A．1 B． C．9 D．3【答案】D【解析】根据图形，利用向量的加法法则得到，再利用求的模长.【详解】在平行六面体中，有，，由题知，，，，，所以，，与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，所以.所以.故选：D.【总结提升】1.空间向量数量积计算的两种方法(1)基向量法：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.2．空间向量数量积的三个应用求夹角设向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，进而可求两异面直线所成的角求长度(距离)运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题解决垂直问题利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题知识点4．空间直角坐标系以及空间向量的坐标运算空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴．这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴，y轴，z轴统称坐标轴．由每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面．(2)右手直角坐标系的含义：当右手拇指指向x轴的正方向，食指指出y轴的正方向时，中指指向z轴的正方向．(3)空间一点M的坐标用有序实数组(x，y，z)来表示，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．2．空间两点间的距离公式设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝eq\r((x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2).【典例4】在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点是，则点P到坐标原点O的距离_____________．【答案】【解析】两点关于y轴对称，则两点的横坐标，竖坐标互为相反数，纵坐标相同，所以由点关于轴的对称点是可得，.【规律方法】空间向量的坐标运算（1）设i、j、k为两两垂直的单位向量，如果，则叫做向量的坐标．（2）设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么①a±b＝．②a·b＝，③cos〈a，b〉＝，④|a|＝eq\r(a·a)＝，⑤λa＝，⑥a∥b⇔(λ∈R)，⑦a⊥b⇔.（3）设点M1(x1，y1，z1)、M2(x2，y2，z2)，则【重点难点突破】考点1空间向量的线性运算【典例5】如图，在空间四边形中，，，．点在上，且，是的中点，则=()A.B.C.D.【答案】B【解析】由题，在空间四边形，，，．点在上，且，是的中点，则．所以故选B．【总结提升】1.选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求.解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量.2.首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求若干个向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和问题解决.【变式探究】如图，在平行六面体中，为的交点．若，，则下列向量中与相等的向量是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意知，，故应选．考点2共线向量定理、共面向量定理的应用【典例6】若，，不共线，对于空间任意一点都有，则，，，四点（）A．不共面B．共面C．共线D．不共线【答案】B【解析】由已知可得，即，可得,所以，，共面但不共线，故，，，四点共面．【规律方法】1.在空间适当选取三个不共面向量作为基向量，其它任意一向量都可用这一组基向量表示．2.中点向量公式，在解题时可以直接使用．3．证明空间任意三点共线的方法对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线.(1)；(2)对空间任一点O，；(3)对空间任一点O，．4．证明空间四点共面的方法对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面(1)；(2)对空间任一点O，；(3)对空间任一点O，；(4)∥(或∥或∥)．【变式探究】已知，，，，若，则________；若，，，四点共面，则__________．【答案】，．【解析】由题意得，，，∴，∴；若，，，四点共面，∴存在唯一的实数，使得，，∴，∴．考点3空间向量的数量积及其应用【典例7】已知半径为的球内切于正四面体，线段是球的一条动直径是直径的两端点),点是正四面体的表面上的一个动点,则的取值范围是______________________．【答案】【解析】设正四面体的边长为，O为球心，由下图可得在可知，，因为内切球半径为1，即，解得，所以而又由题意M，N是直径的两端点，可得,,由此可知，要求出的取值范围，只需求出，的范围即可．当P位于E（切点）时，OP取得最小值1；当P位于A处时，OP取得最大值3．综上可得的最小值为11=0，最大值为91=8．则的取值范围是[0，8]．再由，知取值范围是故答案为：．【总结提升】1.当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用；2.当异面直线所成的角为时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角θ来进行计算．应该注意的是，，所以3.立体几何中求线段的长度可以通过解三角形，也可依据|a|＝eq\r(a2)转化为向量求解．【变式探究】（2021·全国高一课时练习）在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当最短时，（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题知平面，直线，故当、最短时，平面，，再根据向量的关系计算即可得答案.【详解】，，∴，，即:，；平面，直线，所以当、最短时，平面，，为的中心，为线段的中点，如图：又正四面体的棱长为1，，平面，，．故选：A．考点4空间直角坐标系以及空间向量的坐标运算【典例8】在空间直角坐标系中的点，有下列叙述：①点关于横轴(轴)的对称点是；②点关于坐标平面的对称点为；③点关于纵轴(轴)的对称点是；④点关于坐标原点的对称点为．其中错误的叙述个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】点关于横轴的对称点，故①错；对于②，点关于坐标平面的对称点为，故②错；对于③，点关于纵轴的对称点是，故③错；④正确．∴BE⊥PM，即PM⊥BE.【总结提升】1.求向量的数量积的方法：①设向量a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ；②若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.根据已知条件，准确选择上述两种方法，可简化计算．2.求向量模的方法：①|a|＝eq\r(a2)；②若a＝(x，y，z)，则|a|＝eq\r(x2＋y2＋z2).【变式探究】点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1DA．[-1,-14]B．[-12【答案】D【解析】以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以DD1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示；

则点A（1，0，0），C1∴PA⋅PC1=-x（1-x）-y（1-y）+0=x2-x+y2-y=(x-12)2+(y-故选D．【学科素养提升】转化与化归思想在解决具体问题时，常把复杂的、生蔬的、抽象的、困难的、未知的问题化成简单的、熟悉的、具体的、容易的、已知的问题来解决，这种数学思想叫转化与化归的思想．(1)“化曲为直”是解决立体几何问题最基本和最常用的方法，解决的关键是在空间图形展开后，弄清几何体中的有关点、线在展开图中的相应位置关系．几何体表面上两点间的最小距离问题常常转化为求其展开图中的直线段长．(