通关练25错位相减法求和

通关练25错位相减法求和eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,关)eq\o\ac(○,练)一、单选题1．（2023秋·天津河北·高二天津外国语大学附属外国语学校校考期末）已知数列的通项公式为：，，则数列的前100项之和为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用错位相减法求和作答.【详解】令数列的前n项和为，因为，则，则有两式相减得：，因此，有，所以数列的前100项之和为.故选：B2．（2022秋·安徽合肥·高二统考期末）在数列中，若，且对任意的有，则使数列前n项和成立的n最大值为（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】B【分析】由题知数列是等比数列，公比为，首项为，进而得，再根据错位相减法得，进而将不等式转化为，令，再结合其单调性求解即可.【详解】解：因为对任意的有，所以，即数列是等比数列，公比为，首项为，所以，，所以，，所以，所以，所以即为，所以，令，则，即，所以为单调递减数列，因为当时，，满足，当时，，不满足，所以成立的n最大值为，所以，数列前n项和成立的n最大值为.故选：B3．（2023秋·山东青岛·高二山东省青岛第五十八中学校考期末）对于给定的正整数，设集合，，且∅．记为集合中的最大元素，当取遍的所有非空子集时，对应的所有的和记为，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据的定义，推出的表达式，再计算即可.【详解】根据题意知A为集合的非空子集，满足的集合只有1个，即；满足的集合有2个，即{2}，{1，2}；满足的集合有4个，即{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}；……；满足的集合有个，所以，则，两式相减得，所以，所以；故选：D.4．（2022秋·天津南开·高二天津市天津中学校考期末）若函数，则称f（x）为数列的“伴生函数”，已知数列的“伴生函数”为，，则数列的前n项和（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知可得数列为等比数列，其首项为，公比也为2，从而可求得，则，从而可表示出，令，利用错位相减法可求出，从而可求得结果【详解】依题意，可得，所以，即，故数列为等比数列，其首项为，公比也为2，所以，所以，所以，所以.令，则，两式相减，得，所以，所以.故选：C.二、多选题5．（2022秋·广东深圳·高二校联考期末）数列{an}的前n项和为Sn，，则有（

）A．{Sn}为等比数列 B．C． D．{nSn}的前n项和为【答案】ACD【分析】根据数列前n项和与第n项的关系，结合等比数列的定义和通项公式、错位相减法进行逐一判断即可.【详解】因为，所以{Sn}为等比数列，因此选项A正确；当时，，当时，，不适合上式，所以选项B不正确，选项C正确；设{nSn}的前n项和为，，，，得，，所以选项D正确，故选：ACD6．（2022秋·黑龙江七台河·高二勃利县高级中学校考期末）已知数列的首项为4，且满足，则（

）A．为等差数列B．为递增数列C．的前项和D．的前项和【答案】BD【分析】由得，所以可知数列是等比数列，从而可求出，可得数列为递增数列，利用错位相减法可求得的前项和，由于，从而利用等差数列的求和公式可求出数列的前项和.【详解】由得，所以是以为首项，2为公比的等比数列，故A错误；因为，所以，显然递增，故B正确；因为，，所以，故，故C错误；因为，所以的前项和，故D正确.故选：BD【点晴】本题考查等差数列、等比数列的综合应用，涉及到递推公式求通项，错位相减法求数列的和，等差数列前n项和等，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.7．（2022秋·湖南·高二校联考期末）设和分别为数列和的前n项和．已知，，则（

）A．是等比数列 B．是递减数列C． D．【答案】ABD【分析】利用及求得的递推关系式，确定数列性质得出通项公式，求出后，可得其单调性，计算，由错位相减求得后，利用的正负可得.，从而判断各选项．【详解】因为，所以当时，，即，又，所以，即，所以是首项为1，公比为的等比数列，所以．因为，所以，是递减数列．因为，所以．①，②，①－②得，所以，所以，所以．故选：ABD．8．（2023秋·吉林·高二吉林一中校考期末）已知数列满足，，，，是数列的前项和，则下列结论正确的有（

）.A． B．数列是等比数列C．数列是等比数列 D．【答案】ABD【分析】由可求得的值，可判断A选项；利用等比数列的定义可判断B选项；求出数列的通项公式，利用等差数列的定义可判断C选项；利用错位相减法可判断D选项.【详解】对于A选项，，即，可得，A对；对于B选项，由A选项可得，可得，且，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，B对；对于C选项，由A选项可知，，故，所以，，则，故数列为等差数列，C错；对于D选项，，①，②①②可得，因此，，D对.故选：ABD.9．（2022春·山东日照·高二校联考期末）若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质，对于正整数k，是不大于k的正整数中与k互质的数的个数，函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，.已知欧拉函数是积性函数，即如果m，n互质，那么，例如：，则（

）A． B．数列是等比数列C．数列不是递增数列 D．数列的前n项和小于【答案】ABD【分析】根据欧拉函数定义可判断A；小于的正整数中所有不是2的倍数的整数都与互质，然后可判断B；由B中方法可得，然后由性质可判断C；由错位相减法可判断D.【详解】，，∴，A对；∵2为质数，∴在不超过的正整数中，所有偶数的个数为，∴为等比数列，B对；∵与互质的数为1，2，4，5，7，8，10，11，…，，.共有个，∴，又∵，∴是递增数列，故C错误；，的前n项和为设，则，所以，，所以，所以数列的前n项和小于，故D正确.故选：ABD.三、填空题10．（2022秋·湖北荆州·高二荆州中学校考期末）已知数列的通项公式为，则数列的前项和_______.【答案】【分析】利用错位相减法求数列的前项和即可.【详解】由数列的通项公式为，所以数列的前项和为：，①则：，②①②：，即，即，即，即，即，即，所以，故答案为：.11．（2023秋·江苏淮安·高二统考期末）小张计划连续十年向某公司投放资金，第一年年初投资10万元，以后每年投资金额比前一年增加2万元，该公司承诺按复利计算，且年利率为10%，第十年年底小张一次性将本金和利息取回，则小张共可以取得______万元．（结果用数字作答）．参考数据：，，．【答案】305【分析】根据给定信息，构建数列，再利用错位相减法求和作答.【详解】依题意，小张每年向公司投资金额构成以10为首项，2为公差的等差数列，，因此每年的投资到第十年年底的本金和利息和为，10次投资到第十年年底本金和利息总和为，则，于是得，两式相减得，则有，所以小张共可以取得305万元.故答案为：305四、解答题12．（2023秋·广东江门·高二统考期末）已知数列为递增的等比数列，，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据已知条件及等比数列的通项公式即可求解；（2）利用（1）的结论及数列求和中的错位相减法即可求解.【详解】（1）设等比数列的公比为q，，则因为，且，所以，解得或（舍去），所以数列的通项公式为.（2）由（1）可得，所以，所以

由，得，所以.13．（2023秋·山西晋城·高二统考期末）已知数列的前n项和为Sn，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和Tn.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据计算即可；（2）根据（1）的结论得出：，则数列的前项和可用错位相减法求得．【详解】（1）当，，解得，当时，，，两式相减得，化简得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以；（2）由（1）可得：，①，②，由①②得，所以.14．（2023秋·山东泰安·高二校考期末）已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)记bn＝的前n项和为Tn，求Tn．【答案】(1)an＝3n－2(2)【分析】（1）利用等差数列的性质以及S3＝12可求出a2＝4，再利用2a1，a2，a3＋1成等比数列求出公差d，进而可求得{an}的通项公式；（2）结合（1）可得bn的通项公式，再利用错位相减求和即可．【详解】（1）设正项等差数列{an}的公差为d，则d＞0．∵S3＝12，即a1＋a2＋a3＝12，∴3a2＝12，∴a2＝4，又2a1，a2，a3＋1成等比数列，∴，即42＝2(4－d)·(4＋d＋1)，解得d＝3或d＝－4(舍去)，∴a1＝a2－d＝1，故an＝3n－2．（2）结合（1）得，∴①，得②，①－②得，，∴．15．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期末）已知数列的前项和为，．(1)求数列的通项公式；(2)若，数列前项和为，是否存在实数，使得对任意，恒成立，若存在，求出实数的所有取值；若处存在，说明理由．【答案】(1)；(2)存在，0.【分析】（1）根据给定的递推公式，探讨数列的性质，再求出其通项公式作答.（2）由（1）求出，利用错位相减法求出，再结合数列不等式恒成立求解作答.【详解】（1）数列的前项和为，，当时，，两式相减得：，即有，而，即，因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以数列的通项公式是.（2）由（1）知，，，则，两式相减得：，于是得，显然，，假设存在实数，使得对任意，恒成立，则存在实数，使得对任意恒成立，即，成立，当为正偶数时，，当为正奇数时，，从而，所以存在实数，使得对任意，恒成立，的值为0.16．（2023秋·湖南怀化·高二统考期末）已知数列的首项，且满足．(1)求证：数列为等比数列；(2)若，数列前项的和为，求．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）将条件两边同时取倒数，然后两边同时减1，可证明等比数列.（2）利用错位相减法求和即可.【详解】（1）由，得，即，即，所以数列为等比数列，首项，公比（2）由（1）得，①②①②，得17．（2023秋·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考期末）在数列中，.(1)证明：是等比数列；(2)若数列的前项和，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据已知可得，进而可证明为等比，（2）根据的关系可求解，由（1）知，进而可得，由错位相减法即可求解.【详解】（1）证明：因为，所以，又，所以，所以.所以是首项为1，公比为的等比数列.（2）由（1）知，因为数列的前项和，所以当时，，当时，，满足上式，所以.所以.，①由①，得，②①②相减得所以.18．（2023秋·河南信阳·高二统考期末）已知数列前n项和为，，.(1)证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.【答案】(1)证明见解析，；(2).【分析】（1）根据数列前n项和与第n项的关系，结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可；（2）运用错位相减法进行求解即可.【详解】（1）由题知，即，即，∵，∴，∴数列是首项为4，公比为2的等比数列，∴，∴；（2），∴，①∴，②①－②得，，∴.19．（2023秋·广东广州·高二华南师大附中校考期末）已知数列满足且．(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，求的前n项和为．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可知，为等比数列，已知首项和公比，利用等比数列通项公式求解.（2）求出的通项，错位相减法求．【详解】（1）数列满足且，∴是首项为，公比为的等比数列，∴（2）由，得，，，两式相减得，.20．（2023秋·广东深圳·高二深圳大学附属中学校考期末）已知各项均为正数的数列的前项和为，，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，且数列的前项和为，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用退一相减法可得数列为等差数列，进而可得其通项公式；（2）利用错位相减法可得，再根据的单调性可得取值范围.【详解】（1）由，得①，所以当时，②.由①减②，得.因为数列为各项均为正数的数列，所以，又由，，得所以，所以故数列是首项为，公差为的等差数列，所以；（2）由（1），得，所以数列的前项和.所以，两式作差可得：，所以由于，，则数列在上单调递增，于是.21．（2023秋·广东广州·高二统考期末）已知，且在直线上，其中是数列中的第项.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，求出直线的方程，再代入求解作答.（2）由（1）求出，再利用错位相减法求和作答.【详解】（1）因为，则直线的斜率为，直线的方程为：，即，又因为在直线上，则有，所以数列的通项公式是.（2）由（1）知，，则，于是得，两式相减得：，所以数列的前项和.22．（2023秋·山西晋中·高二山西省平遥中学校校考期末）在数列中，，且．(1)证明：是等差数列；(2)求的前项和．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用构造法证明该数列为等差数列；（2）利用错位相减法与分组求和法可得.【详解】（1）由，得，等式左右同除，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列；（2）由（1）得，故，设，其前项和为，则，，故，即，故.23．（2023秋·河南商丘·高二校联考期末）已知数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)若时，，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】(1)根据数列的递推公式可得：数列是首项为2，公比为2的等比数列，进而求解即可；(2)结合（1）的结论得出：，利用错位相减法即可求解.【详解】（1）当时，，得.①，当时，②，①①可得，即，即.由题易知.又，数列是首项为2，公比为2的等比数列，，即.（2）由（1）可知，，又，数列是等差数列，其首项为1，公差为1.，即.，，，.24．（2023秋·广东广州·高二校考期末）数列的前n项和为，又知正项数列满足，．(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）作差法结合与关系式得出可知为等比数列，再由可求的通项公式.由，根据等差数列求出的通项公式，进而得到的通项公式；（2）由（1）知，.，写出和的表达式，作差整理即可得出.【详解】（1）解：当时，，所以.当时，有，，两式相减，得，所以，所以，所以数列是首项为1，公比的等比数列.所以.由，，可得，数列是首项为1，公差为1的等差数列.所以，所以.（2）解：由（1）知，.所以，，两式相减可得，，所以.25．（2023秋·吉林·高二吉林市田家炳高级中学校考期末）已知等差数列的前项和为，且.数列的前项和满足,且.(1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)，(2).【分析】（1）设等差数列的公差为d，根据题意列出方程组，求得，可得；利用可得，相减可得，说明数列为等比数列，即可求得；（2）利用（1）的结论求得的表达式，利用错位相减法即可求得数列的前n项和.【详解】（1）设等差数列的公差为d，∵，则，解得，∴；数列的前项和满足,且,故，则，由可得，可知，故，而适合该式，故为等比数列，则；（2）由（1）得，故，则,两式相减得，故．26．（2023秋·浙江温州·高二统考期末）已知数列满足：，（）(1)写出，，并求的通项公式；(2)若数列（），求数列的前n项和．【答案】(1)，，的通项公式为：；(2).【分析】（1）由递推公式求出，；根据递推公式求出；（2）利用错位相减法求和.【详解】（1）因为，，所以，解得：；解得：.当时，由，得，所以为常数列.又，得，所以.综上，，，的通项公式为：.（2）由，得，两边同乘以得：两式相减得：整理得：.27．（2023秋·吉林长春·高二校考期末）设等差数列的前项和为，且，．数列满足，，(1)求数列的通项公式；(2)求证：数列是等比数列；(3)求数列（为正实数）的前项和【答案】(1)(2)证明见解析(3)时，；当时，.【分析】（1）由等差数列基本量的计算，列方程组求出首项和公差，可得数列的通项公式；（2）由题意解出数列的通项，由等比数列的定义证明数列是等比数列；（3）分类讨论