专题09和倍问题（解析）

20222023学年小学四年级思维拓展举一反三精编讲义专题09和倍问题知识精讲知识精讲专题简析：已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数是多少的应用题，叫做和倍问题。解答和倍应用题的基本数量关系是：和÷（倍数＋1）=小数小数×倍数=大数（和－小数=大数）典例分析典例分析【典例分析01】学校有科技书和故事书共480本，科技书的本数是故事书的3倍。两种书各有多少本？分析与解答：为了便于理解题意，我们画图来分析：由图可知，如果把故事书的本数看作一份，那么科技书的本数就是这样的3份，两种书的总本数就是这样的1＋3=4份。把480本书平均分成4份，1份是故事书的本数，3份是科技书的本数。480÷（1＋3）=120（本）120×3=360（本）【典例分析02】果园里有梨树、桃树和苹果树共1200棵，其中梨树的棵数是苹果树的3倍，桃树的棵数是苹果树的4倍。求梨树、桃树和苹果树各有多少棵？分析与解答：如果把苹果树的棵数看作1份，三种树的总棵数是这样的1+3+4=8份。所以，苹果树有1200÷8=150（棵），梨树有150×3=450（棵），桃树有150×4=600（棵）【典例分析03】有三个书橱共放了330本书，第二个书橱里的书是第一个的2倍，第三个书橱里的书是第二个的4倍。每个书橱里各放了多少本书？分析与解答：把第一个书橱里的本数看作1份，那么第二个书橱里的本数是这样的2份，第三个就是这样的2×4=8份，三个书橱里的总本数就是这样的1+2+8=11份。所以，第一个书橱里放了330÷11=30（本），第二个书橱里放了30×2=60（本），第三个书橱里放了60×4=240（本）。【典例分析04】少先队员种柳树和杨树共216棵，杨树的棵数比柳树的3倍多20棵，两种树各种了多少棵？分析与解答：如果杨树少种20棵，那么柳树和杨树的总棵数是216－20=196（棵），这里杨树的棵数恰好是柳树的3倍。所以，柳树的棵数是196÷（1＋3）=49（棵），杨树的棵数是216－49=167（棵）。【典例分析05】三个筑路队共筑路1360米，甲队筑的米数是乙队的2倍，乙队比丙队多240米。三个队各筑多少米？分析与解答：把乙队的米数看作1份，甲队筑的米数是这样的2份。假设丙队多筑240米，那么三个队共筑了1360＋240=1600米，正好是乙队的2＋1＋1=4倍。所以，乙队筑了1600÷4=400米，甲队筑了400×2=800米，丙队筑了400－240=160米。真题百分练真题百分练一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）1．（2分）（2018春•朝阳区校级期末）鸡、鸭、鹅、狗各一只，一共重28千克，鸡和鸭一样重，鹅重是鸭的3倍，狗重是鹅的3倍，鹅重（）A．2千克 B．8千克 C．6千克 D．18千克【思路引导】由题意知：把鸭的重量看作1份，则鸡的重量也是1份，鹅的重量就是3份，狗的重量是鹅的重量的3倍，即是3×3＝9（份），又因为四种动物的重量是28千克，就把28千克平均分成（1+1+3+9）份，求出每一份的重量，再乘3就是鹅的重量．【规范解答】解：28÷（1+1+3+9），＝28÷14，＝2（千克），鹅的重量为：2×3＝6（千克）；答：鹅重6千克．故选：C．【考点评析】解决本题把鸡或鸭的重量看作1份，则表示出鹅的重量和狗的重量，求出一份的重量，再乘3即可求出鹅的重量．2．（2分）（2020春•沾益区期末）鸡、鸭、鹅、狗各一只，一共重28千克，鸡和鸭一样重，鹅重是鸭的3倍，狗重是鹅的3倍。鹅重（）A．4千克 B．8千克 C．6千克 D．10千克【思路引导】根据题意可知：把鸭的重量看作一份，则鸡的重量也是1份，鹅的重量就是3份，狗的重量就是3×3＝9（份），总份数是1+1+3+9＝14（份），又因为4种动物的总重量是28千克，把28平均分成14份，其中的一份就是鸡和鸭的重量，即：28÷14＝2（千克），鹅的重量是2×3＝6（千克），狗的重量是9×2＝18（千克），据此解答。【规范解答】解：1×3＝3（份）3×3＝9（份）1+1+3+9＝14（份）28÷14＝2（千克）鹅：2×3＝6（千克）答：鹅重6千克。故选：C。【考点评析】解决本题的关键是把鸡和鸭的重量看作1份，则表示出鹅的重量和狗的重量，求出一份的重量，再乘3即可求出鹅的重量。3．（2分）（2022春•南通期末）已知〇＝★+★+★+★，〇+★＝70，那么〇＝（）A．9 B．36 C．14 D．56【思路引导】根据图意〇与★的和是70，并且〇是★的4倍，然后根据和倍问题的计算公式：和÷（倍数+1）＝1份数，可以计算出★所代表的数，再用★所代表的数乘4，计算出〇所代表的数。【规范解答】解：70÷（4+1）＝70÷5＝1470﹣14＝56所以〇＝56。故选：D。【考点评析】本题考查和倍问题，即已知大、小两个数的和与它们的倍数关系，求大、小两个数的问题。小数＝和÷（倍数+1），大数＝小数×倍数＝和﹣小数4．（2分）（2022春•碑林区期末）一套衣服560元，上衣的价钱是裤子的2倍。下面等量关系式中正确的是（）A．裤子的价钱+裤子的价钱×2＝560 B．上衣的价钱+裤子的价钱×2＝560 C．裤子的价钱+上衣的价钱×2＝560 D．裤子的价钱+上衣的价钱÷2＝560【思路引导】根据“一套衣服560元”，可以提炼出这句话的等量关系是：裤子的价钱+上衣的价钱＝560，再根据“上衣的价钱是裤子的2倍”，可以把上衣的价钱换成裤子的价钱，所以可以提炼出这道题的等量关系是：裤子的价钱+裤子的价钱×2＝560，据此解答。【规范解答】解：一套衣服560元，上衣的价钱是裤子的2倍。下面等量关系式中正确的是：裤子的价钱+裤子的价钱×2＝560。故选：A。【考点评析】本题解题关键是根据题意，正确提炼等量关系。5．（2分）三只小猫去钓鱼，它们共钓上36条鱼，其中黑猫和花猫钓到的鱼的条数是白猫钓到的鱼的条数的5倍，花猫钓到的鱼比另外两只猫钓到的鱼的条数的2倍少9条．黑猫钓上（）条鱼．A．8 B．9 C．10【思路引导】由“黑猫和花猫钓到的鱼的条数是白猫钓到的鱼的条数的5倍，”可求得白猫钓到36÷（5+1）＝6条，花猫和黑猫共钓到36﹣6＝30条，又知花猫钓到的鱼比另外两只猫钓到的鱼的条数的2倍少9条，那么就比黑猫钓到的2倍多3条，则黑猫钓到（30﹣3）÷3＝9条；据此解答【规范解答】解：白猫钓到36÷（5+1）＝6条，花猫和黑猫共钓到36﹣6＝30条，因为花猫钓到的鱼比另外两只猫钓到的鱼的条数的2倍少9条，那么就比黑猫钓到的2倍多9﹣6＝3条，黑猫钓到（30﹣3）÷3＝9条，答：黑猫钓上9条鱼．故选：B．【考点评析】解答此题关键是明确：花猫和黑猫共钓30条，花猫钓到的鱼比另外两只猫钓到的鱼的条数的2倍少9条，那么就比黑猫钓到的2倍多3条．二．填空题（共8小题，满分18分）6．（2分）（2020春•东台市校级期中）亮亮和丁丁两人共有200张画片，亮亮的张数是丁丁的4倍。亮亮有160张画片，丁丁有40张画片。【思路引导】把丁丁的份数看作“1”，则亮亮的份数为4，两人总份数为5，已知两人共有200张画片，用200除以5即可求出1份数，即丁丁的张数，然后用总数减去丁丁的张数就是亮亮的张数。【规范解答】解：200÷（1+4）＝200÷5＝40（张）200﹣40＝160（张）答：丁丁有40张画片，亮亮有160张画片。故答案为：160、40。【考点评析】本题考查了：已知一个数的几倍是多少，求这个数用除法计算。7．（2分）（2022春•祥符区期末）已知甲÷乙＝丙，甲是乙的15倍，甲是丙的27倍，甲是405．【思路引导】因为除法中存在如下关系：被除数÷除数＝商；除数×商＝被除数．根据题意甲÷乙＝15，甲是乙的15倍，甲是丙的27倍，可以分别的得到甲和乙的关系和甲和丙的关系，从而可以得到乙和丙的值，进而求得甲的值．【规范解答】解：因为甲÷乙＝丙，所以甲＝乙×丙，因为甲是乙的15倍，甲是丙的27倍，所以甲＝15×乙，甲＝27×丙，所以15×乙＝乙×丙，27×丙＝乙×丙，所以丙＝15，乙＝27，所以甲＝27×15＝405，故答案为：405．【考点评析】本题主要考查整数除法及应用，明确题意，计算正确是解答本题的关键．8．（2分）（2020春•嵩县期末）一大盒和一小盒水彩笔共20支，大盒里的支数是小盒的4倍．大盒装水彩笔16支，小盒装水彩笔4支．【思路引导】已知大盒里的支数是小盒的4倍，所以一大盒和一小盒水彩笔共20支是一小盒水彩笔的4+1＝5倍，用除法即可得小盒装水彩笔的支数，再求大盒装水彩笔的支数即可．【规范解答】解：20÷（4+1）＝20÷5＝4（支），4×4＝16（支），答：大盒装水彩笔16支，小盒装水彩笔4支．故答案为：16，4．【考点评析】本题考查了和倍问题，关键是得出一大盒和一小盒水彩笔共20支是一小盒水彩笔的4+1＝5倍．9．（2分）有一个两位数，在它的某一位数字的前面加上一个小数点，再和这个两位数相加，得数是20.9．这个两位数是19．【思路引导】由题意可知，是在它的个位数字的前面加上一个小数点，这样加出来的数大小是原来的0.1倍．所以20.9除以1.1就得到原来的数了．【规范解答】解：20.9÷（1+0.1）＝20.9÷1.1＝19；答：这个两位数是19．故答案为：19．【考点评析】此题主要考查小数点数位的变化规律以及和倍问题，关键是得出和是原数的1.1倍．10．（3分）（2020春•盂县期中）在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于240，而减数是差的3倍，那么差是30，被减数是120，减数是90。【思路引导】根据被减数＝减数+差，用240除以2，可以计算出减数有差的和是多少，再把差看作1份，根据和倍问题的计算公式：和÷（倍数+1）＝1份数，求出差是多少，再用差乘3，计算出减数是多少，最后再计算出被减数是多少。【规范解答】解：240÷2÷（3+1）＝120÷4＝3030×3＝9090+30＝120答：差是30，被减数是120，减数是90。故答案为：30；120；90。【考点评析】本题考查和倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量和以及数量和所对应的份数关系各是多少，然后根据和倍问题的计算公式：和÷（倍数+1）＝1份数，列式计算。11．（3分）（2013春•江南区月考）某小学图书馆内，科技书的本数是故事书的3倍，连环画的本数是科技书的4倍，已知三种书共有2400册，那么科技书有450册，故事书有150册，连环画有1800册．【思路引导】根据题意，科技书的本数是故事书的3倍，连环画的本数是科技书的4倍，那么连环画的本数是故事书的4×3＝12倍，然后再根据和倍公式进一步解答即可．【规范解答】解：连环画的本数是故事书的：4×3＝12；由和倍公式可得：故事书有：2400÷（3+12+1）＝150（册）；科技树有：150×3＝450（册）；连环画有：450×4＝1800（册）．答：科技书有450册，故事书有150册，连环画有1800册．故答案为：450，150，1800．【考点评析】根据题意，求出另外两个数与第三个数的倍数的关系，然后再根据和倍公式进一步解答即可．12．（2分）姐姐有邮票75枚，妹妹有105枚，姐姐要给妹妹15枚，才能使妹妹的邮票是姐姐的2倍．【思路引导】要使妹妹的邮票枚数是姐姐的2倍，那么可以把姐姐与妹妹的枚数之和平均分成3份，则姐姐的枚数就是其中1份，由此即可解答．【规范解答】解：（75+105）÷（2+1）＝180÷3＝60（枚）75﹣60＝15（枚）答：姐姐要给妹妹15枚，才能使妹妹的邮票是姐姐的2倍．故答案为：15．【考点评析】此题的关键是求出妹妹的枚数是姐姐的2倍时姐姐的邮票枚数．13．（2分）三只小猫去钓鱼，它们共钓上36条鱼，其中黑猫和花猫钓到的鱼的条数是白猫钓到的鱼的条数的5倍，白猫钓上6条鱼．花猫钓到的鱼比另外两只猫钓到的鱼的条数的2倍少9条．花猫钓上21条鱼．【思路引导】（1）由“黑猫和花猫钓到的鱼的条数是白猫钓到的鱼的条数的5倍”可知，三只小猫共钓的36条鱼就是白猫钓到的鱼的条数的（5+1）倍，根据和倍问题的计算公式可得白猫钓到的鱼的条数是36÷（5+1）＝6；（2）由“花猫钓到的鱼比另外两只猫钓到的鱼的条数的2倍少9条”可知，如果花猫钓到的鱼加上9条就是另外两只猫钓到的鱼的条数的2倍，这样，总数（36+9）就是另外两只猫钓到的鱼的条数的（2+1）倍，根据和倍问题的计算公式可得另外两只猫钓到的鱼的条数是（36+9）÷（2+1）＝45÷3＝15，那么花猫钓上了36﹣15＝21（条）鱼．即可解决问题．【规范解答】解：（1）36÷（5+1）＝36÷6＝6（条）答：白猫钓上6条鱼．（2）（36+9）÷（2+1）＝45÷3＝15（条）36﹣15＝21（条）答：花猫钓上21条鱼．故答案为：6，21．【考点评析】此题属于和倍问题，运用关系式：和÷（倍数+1）＝小数，小数×倍数＝大数，或和﹣小数＝大数．三．应用题（共15小题，满分72分）14．（4分）（2022秋•陕州区期末）果园里桃树和杏树一共有180棵，杏树的棵数是桃树的3倍，桃树和杏树各有多少棵？（列方程解）【思路引导】根据题干分析可得，此题等量关系是：“桃树的棵数+杏树的棵数＝总棵数180棵”，由此设桃树x棵，则杏树就是3x棵，根据等量关系列出方程即可解答问题．【规范解答】解：设桃树x棵，则杏树就是3x棵，根据题意可得方程：x+3x＝180，4x＝180，x＝45，则杏树有：45×3＝135（棵），答：桃树45棵，杏树135棵．【考点评析】此题也可以利用和倍公式解答：把总棵数看做4份，则桃树占其中的1份，杏树占其中的3份，则根据除法的意义求出1份就是桃树的棵数，再乘3就是杏树的棵数：180÷4＝45（棵），45×3＝135（棵），答：桃树45棵，杏树135棵．15．（4分）（2019•亳州模拟）两箱茶叶共196千克，从甲箱取出32千克放乙箱，乙箱的千克数就是甲箱的3倍．甲箱原有茶叶多少千克？【思路引导】两箱茶叶的总重量不变，所以当乙箱的重量是甲箱的3倍时，如果把总重量平均分成4份，则甲箱的重量就是其中的1份，由此即可求出甲箱此时的重量，所以加上32千克就是甲箱原来的重量．【规范解答】解：196÷（3+1）+32＝196÷4+32＝49+32＝81（千克）答：甲箱原有茶叶81千克．【考点评析】根据变化后甲乙两箱的重量倍数关系，根据和倍公式进行解答．16．（4分）在一个书架上摆放着三层书，共275本，第三层比第二层的书的3倍多2本，第一层比第二层书的2倍少3本。每各层各摆放着多少本书？【思路引导】根据题意，这道题的等量关系是：第一层的本数+第二层的本数+第三层的本数＝275本，根据这个等量关系，列方程解答。【规范解答】解：设第二层摆放x本。2x﹣3+x+3x+2＝2756x﹣1＝2756x﹣1+1＝275+16x＝276x＝4646×2﹣3＝92﹣3＝89（本）46×3+2＝138+2＝140（本）答：第一层摆放89本，第二层摆放46本，第三层摆放140本。【考点评析】本题考查和倍问题的解题方法，用方程解答比较简便，解题关键是利用这道题的等量关系：第一层的本数+第二层的本数+第三层的本数＝275本，列方程解答。17．（5分）芳芳的父亲每月工资8700元，母亲每月工资6300元。全家每月生活支出的钱数是储蓄钱数的5倍，求每月能储蓄多少钱？【思路引导】先计算出芳芳的父亲和母亲每月的工资总和，再把储蓄钱数看作1份，然后根据和倍问题的计算公式：和÷（倍数+1）＝1份数，可以计算出每月能储蓄多少钱。【规范解答】解：（8700+6300）÷（5+1）＝15000÷6＝2500（元）答：每月能储蓄2500元。【考点评析】本题考查和倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量和以及数量和所对应的份数关系各是多少，然后根据和倍问题的计算公式：和÷（倍数+1）＝1份数，列式计算。18．（5分）学校兴趣小组中，合唱组的人数是科技组的3倍，两个小组一共104人．两个小组各有多少人？（先画图表示出条件和问题，再解答）【思路引导】因为合唱组的人数是科技组的3倍，所以两个小组一共104人是科技组的3+1＝4倍，用除法即可得科技组的人数，再求合唱组的人数即可．【规范解答】解：如图：104÷（3+1）＝104÷4＝26（人），104﹣26＝78（人），答：合唱组有78人，科技组有26人．【考点评析】本题考查了和倍问题，关键是得出两个小组一共104人是科技组的3+1＝4倍．19．（5分）（2022春•元氏县期中）学校有故事书85本，科技书比故事书的2倍还多13本，两种书一共有多少本？【思路引导】用故事书的本数乘2再加上13，可以计算出科技书的本数，再用故事书的本数加上科技书的本数，计算出两种书一共有多少本。【规范解答】解：85×2+13+85＝183+85＝268（本）答：两种书一共有268本。【考点评析】本题解题关键是先用故事书的本数乘2再加上13，计算出科技书的本数，再用加法计算出两种书一共有多少本。20．（5分）（2022春•肥城市期末）书法社团共有40人，其中女生的人数是男生的1.5倍，书法社团的男生、女生各有多少人？【思路引导】把男生人数看作1份，则女生人数是1.5份，然后根据和倍问题的计算公式：和÷（倍数+1）＝1份数，计算出男生人数，再用总人数减去男生人数，计算出女生人数。【规范解答】解：40÷（1.5+1）＝40÷2.5＝16（人）40﹣16＝24（人）答：书法社团的男生有16人，女生有24人。【考点评析】本题考查和倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量和以及数量和所对应的份数关系各是多少，然后根据和倍问题的计算公式：和÷（倍数+1）＝1份数，列式计算。21．（5分）（2022春•湛江期中）一辆小货车的载重量是2.4吨，解放牌汽车的载重量是小货车的3.2倍，两种车5次一共运货多少吨？【思路引导】根据题意，一辆小货车的载重量是2.4吨，解放牌汽车的载重量是小货车的3.2倍，那么解放牌汽车的载重量是2.4×3.2＝7.68吨，两种车一次运2.4+7.68＝10.8吨，再乘上5就是5次一共运的．【规范解答】解：2.4×3.2＝7.68（吨）；2.4+7.68＝10.08（吨）；10.08×5＝50.4（吨）．答：两种车5次一共运货50.4吨．【考点评析】关键是求出解放牌汽车的载重量，继而可以求出两种车一共运的，然后再进一步解答．22．（5分）（2017秋•金牛区期末）某粮店上月运进大米和白面共有24000吨，已知运进大米比白面多2倍，运进大米和白面各多少吨？【思路引导】运进大米比白面多2倍，则运进大米是白面的2+1＝3倍，运进大米和白面共有24000吨，是白面的3+1＝4倍，用除法即可得白面的吨数，再求大米的吨数．【规范解答】解：24000÷（2+1+1）＝24000÷4＝6000（吨），24000﹣6000＝18000（吨），答：运进大米18000吨，白面6000吨．【考点评析】本题考查了和倍问题，关键是得出运进大米和白面共有24000吨，是白面的3+1＝4倍．23．（5分）（2018•贺州模拟）某村原有水田213公顷，旱地92公顷，现在计划把部分旱地改造为水田，使水田面积是旱地的4倍，需要改造旱地多少公顷？【思路引导】根据题意，改造前和改造后，水田与旱田的面积和是不变的，即213+92＝305公顷，根据水田面积是旱地的4倍，由和倍公式求出改造后旱田的面积，然后用原来的减去现在的即可．【规范解答】解：水田与旱田的面积和是：213+92＝305（公顷）；改造后旱田的面积：305÷（4+1）＝61（公顷）；需要改造旱地的面积：92﹣61＝31（公顷）．答：需要改造旱地31公顷．【考点评析】根据题意，改造前和改造后，水田与旱田的面积和是不变的，由和倍公式求出改造后的，然后再进一步解答即可．24．（5分）（2017秋•亭湖区校级期中）一个长方形的周长是108厘米，长是宽的2倍，求这个长方形的长和宽各是多少厘米？【思路引导】由长方形的周长先求出一条长与一条宽的和是：108÷2＝54厘米，“长是宽的2倍”则把长与宽的和平均分成3份，则宽是其中1份，长是其中的2份，由此即可解答．【规范解答】解：宽是：108÷2÷（2+1）＝54÷3＝18（厘米）长是：18×2＝36（厘米）答：长方形的长是18厘米，宽是36厘米．【考点评析】根据周长先求出长与宽的和，再利用长与宽的倍数关系即可解答．25．（5分）（2021春•青羊区期末）甲、乙、丙三个数的和是592，乙数除以丙数的商是5（没有余数），甲数是乙数的2倍。求甲、乙、丙三个数各是多少？（试试画图来帮助理解数量关系）【思路引导】丙是1份，乙是5份，甲是5×2＝10（份），它们的和是592，用和倍问题公式“一倍数＝和÷倍数和”求出丙，再分别计算出乙和甲。【规范解答】解：592÷（1+5+5×2）＝592÷16＝3737×5＝185185×2＝370答：甲是370，乙是185，丙是37