1第一章空间向量与立体几何典型例题讲解（原卷版）

1第一章空间向量与立体几何典型例题讲解目录一、基本概念回归二、重点例题（高频考点）高频考点一：空间向量的基底高频考点二：用基底表示向量高频考点三：空间向量平行与垂直高频考点四：空间向量模的计算高频考点五：空间向量夹角的计算高频考点六：空间向量的投影高频考点七：利用空间向量求距离角度1：利用空间向量求点线距角度2：利用空间向量求点面距高频考点八：利用向量方法求角角度1：利用向量方法求两异面直线所成角角度2：利用向量方法求线面角角度3：利用向量方法求二面角高频考点九：利用空间向量解决探索性问题角度1：直线与平面所成角探索性问题角度2：平面与平面所成角探索性问题一、基本概念回归知识回顾1：空间向量的数乘运算1.1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．1.2：数乘向量与向量的关系的范围的方向的模与向量的方向相同，其方向是任意的知识回顾2：共线向量与共面向量2.1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为．2.2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使．2.3拓展：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中2.4、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．2.5共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使2.6拓展对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）．知识回顾3：空间向量的数量积定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.知识回顾4：两个向量的平行与垂直平行（）垂直（）（均非零向量）知识回顾5：向量长度的坐标计算公式若，则，即知识回顾6：两个向量夹角的坐标计算公式设，则知识回顾7：用向量法求空间角7.1、用向量运算求两条直线所成角已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则①②.7.2、用向量运算求直线与平面所成角设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有①②.（注意此公式中最后的形式是：）7.3、用向量运算求平面与平面的夹角如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若分别为面，的法向量①②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；若二面角为锐二面角（取正），则；若二面角为顿二面角（取负），则；二、重点例题（高频考点）高频考点一：空间向量的基底1．（2022·全国·高二课时练习）已知是空间的一组基底，则下列向量中能与，构成一组基底的是（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高二专题练习）已知，，是不共面的三个向量，下列能构成一组基的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，3．（多选）（2022·山东·聊城二中高二开学考试）已知是空间的一个基底，若，则错误的是（

）A．是空间的一组基底 B．是空间的一组基底C．是空间的一组基底 D．与中的任何一个都不能构成空间的一组基底4．（多选）（2022·全国·高二课时练习）若向量{，，}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A．，，2 B．，，C．，， D．2，，高频考点二：用基底表示向量1．（2022·辽宁营口·高二开学考试）如图，在四面体中，，，，为的重心，为的中点，则（

）A． B．C． D．2．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则等于（

）A． B．C． D．3．（2022·全国·高二课时练习）如图，在正方体，中，点是的中点，点在上，且，则（

）A． B．C． D．4．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在正三棱柱中，M为的重心，若，，，则______．（用、、表示）高频考点三：空间向量平行与垂直1．（2022·全国·高二课时练习）已知，，且，则（

）A．， B．，C．， D．，2．（2022·全国·高二专题练习）已知，，若，则m的值为（

）A．－2 B．2 C． D．3．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，，且与互相垂直，则的值是（

）A．－1 B． C． D．4．（2022·全国·高二课时练习）已知，，，则下列结论正确的是（

）A．， B．，C．， D．以上都不对5．（2022·山东省郓城第一中学高二开学考试）已知向量，若，则实数________．6．（2022·全国·高二课时练习）已知空间三点、、，设，．(1)若向量与互相垂直，求实数的值；(2)若向量与共线，求实数的值．7．（2022·全国·高二课时练习）已知，．(1)求的值；(2)当时，求实数k的值．高频考点四：空间向量模的计算1．（2022·全国·高二课时练习）已知向量，，则（

）A． B．40 C．6 D．362．（2022·福建泉州·高二期末）在棱长均为1的平行六面体中，，则（

）A． B．3 C． D．63．（2022·福建·泉州师范学院附属鹏峰中学高二阶段练习）向量，，，且，，则______.4．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习）如图，三棱锥各棱的棱长是1，点是棱的中点，点在棱上，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．15．（2022·湖北·武汉市第十九中学高二期末）已知、是空间内两个单位向量，且，如果空间向量满足，且，，则对于任意的实数、，的最小值为______．6．（2022·全国·高三专题练习）已知长方体，，，在上取一点M，在上取一点N，使得直线平面，则线段MN的最小值为________.高频考点五：空间向量夹角的计算1．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则（

）A． B． C．0 D．12．（2022·全国·高二专题练习）若向量，且与的夹角余弦值为，则实数等于（

）A．0 B．－ C．0或－ D．0或3．（2022·河北石家庄·一模）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.在《九章算术》，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知在“堑堵”中，，，动点在“堑堵”的侧面上运动，且，则的最大值为（

）.A． B． C． D．4．（2022·全国·高二单元测试）已知，，且与的夹角为钝角，则实数x的取值范围是______．5．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））若向量若与的夹角为锐角，则的范围为_________.6．（2022·全国·高二课时练习）已知O为坐标原点，，，若与的夹角为120°，则实数______．7．（2022·福建宁德·高二期中）已知空间三点，，，则与的夹角的大小是______．高频考点六：空间向量的投影1．（2022·全国·高二课时练习）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是______．2．（2023·全国·高三专题练习）已知点，，，，则向量在向量方向上的投影向量为______．3．（2022·湖北十堰·高一阶段练习）已知点，与同向单位向量为，则向量在方向上的投影向量为___________.4．（2022·全国·高二课时练习）已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为_________.5．（2022·全国·高三专题练习）已知空间三点A(1，1，1)，B(1，2，2)，C(2，1，1)，则在上的投影向量的模是______.6．（2022·辽宁营口·高二开学考试）已知，，.(1)求；(2)求在上投影的数量.高频考点七：利用空间向量求距离角度1：利用空间向量求点线距1．（2022·河南·中牟县第三高级中学高二阶段练习）在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为________．2．（2022·全国·高二专题练习）为矩形所在平面外一点，平面，若已知，，，则点到的距离为__．3．（2022·全国·高二专题练习）已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为_______.4．（2022·全国·高二课时练习）在空间直角坐标系中，点，则到直线的距离为__________．5．（2022·全国·高二单元测试）如图，在长方体中，，，若为的中点，则点到平面的距离为______．6．（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）已知平面的一个法向量为，点为内一点，则点到平面的距离为__________.角度2：利用空间向量求点面距1．（2022·湖南怀化·高二开学考试）在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高二课时练习）正方体的棱长为1，E､F分别为､CD的中点，求点F到平面的距离.3．（2022·全国·高二课时练习）已知正方形ABCD的边长为1，平面ABCD，且，E、F分别为AB、BC的中点，求点D到平面PEF的距离．高频考点八：利用向量方法求角角度1：利用向量方法求两异面直线所成角1．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱锥中，，，，则异面直线OB与AC所成的角是（

）A．30° B．60° C．90° D．120°2．（2022·福建省福州第一中学高一期末）如图，三棱锥中，，，，分别是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值等于（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在正四棱柱中，若，，则异面直线与所成角的余弦值为______．4．（2022·全国·高二课时练习）如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与MN所成角的正弦值的最小值为________．5．（2022·全国·高二专题练习）已知空间四边形各边及对角线长都相等，分别为的中点，求与夹角余弦值．6．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱柱中，平面ABC，，，D为的中点．(1)求证平面；(2)若E为的中点，求AE与所成的角．7．（2022·河北·青龙满族自治县实验中学高三开学考试）如图，正四棱锥中，，，为棱上的动点．(1)若为棱的中点，求证：平面；(2)若满足，求异面直线与所成角的余弦值．8．（2022·全国·高二课时练习）已知正方体的棱长为1，O为中点．(1)证明：平面；(2)求异面直线与OD所成角的大小．角度2：利用向量方法求线面角1．（2022·全国·高二课时练习）若正三棱柱的所有棱长都相等，D是的中点，则直线AD与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．2．（2022·四川·成都七中高二期中（理））如图，在正方体中，直线和平面所成角的正弦值是____；3．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，平面，若，，为的中点，则与平面所成角的正弦值为______．4．（2022·江苏·马坝高中高二期中）在正方体中，点为线段的中点.设点在线段（不与重合）上，直线与平面所成的角为，则的最大值是__________.5．（2022·福建·三明市第二中学高二开学考试）如图所示，在棱长为1的正方体中，P，Q分别是线段，上的点，满足平面，则与平面所成角的范围是__________．6．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）如图，在四棱锥中，底面正方形，平面底面，平面底面，，分别是的中点，为的中点．(1)证明：平面；(2)求与平面所成角的正弦值．7．（2022·吉林省实验中学模拟预测（理））如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点E．(1)求证；(2)若平面平面，，，求直线与平面所成角的正弦值．8．（2022·湖北武汉·高三开学考试）如图，在图1的等腰直角三角形中，，边上的点满足，将三角形沿翻折至三角形处，得到图2中的四棱锥，且二面角的大小为.(1)证明：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.9．（2022·福建省福州第一中学高三开学考试）如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，且，，沿将四边形折成四边形，使点在平面上的射影H在直线上．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．10．（2022·安徽·合肥市第十中学模拟预测）如图，三棱柱的侧棱与底面垂直，，点是的中点.(1)求证：；(2)求与平面所成角的正弦值.角度3：利用向量方法求二面角1．（2022·全国·高三专题练习）如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AD，E为侧棱DD1上一点，若直线BD1平面AEC，则二面角EACB的正切值为（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高二课时练习）已知正三棱柱的棱长均为，是侧棱的中点，则平面与平面的夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．3．（2022·江苏·高二课时练习）在正方体中，二面角的正切值为（

）A． B．2 C． D．4．（2022·浙江·高三专题练习）如图，点､､分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，，，设二面角的大小为，则（

）A． B． C． D．5．（2022·全国·高二）如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为__________．6．（2022·福建省漳州第一中学模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，，，.记平面与平面的交线为.(1)证明：；(2)求平面与平面所成的角的正弦值.7．（2022·辽宁朝阳·高三阶段练习）如图，在多面体中，平面，四边形是平行四边形.为的中点.(1)证明:平面.(2)若是棱上一点，且，求二面角的余弦值.8．（2022·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试（理））如图，三棱柱中，，交于点O，AO⊥平面.(1)求证：；(2)若，且直线AB与平面所成角为60°，求二面角的余弦值.9．（2022·河北·元氏县第四中学高二期末）如图，四棱锥中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，，E为PC中点．(1)求证：DE⊥平面PCB；(2)求二面角的余弦值．高频考点九：利用空间向量解决探索性问题角度1：直线与平面所成角探索性问题1．（2022·全国·高二课时练习）如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（

）．A． B． C． D．2．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（理））在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2022·江苏·高二课时练习）在正方体中，点O为线段的中点.设点P在线段（P不与B重合）上，直线与平面所成的角为，则的最大值是（

）A． B． C． D．4．（2022·全国·高二课时练习）如图，在五面体ABCDE中，正三角形ABC的边长为1，平面，，且．设CE与平面ABE所成的角为，，若，则k的最大值为（

）A． B．1 C． D．5．（2022·湖南怀化·高二开学考试）如图，在几何体中，平面平面，.四边形为矩形.在四边形中，，，.(1)点在线段上，且，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.(2)点在线段上，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.6．（2022·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥中，平面，∠∠，，，，分别为线段，上的点(不在端点)．当为中点时，是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的长，若不存在，说明理由．7．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）图1是直角梯形，四边形是边长为2的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2.(1)求证：平面平面；(2)在棱上是否存在点，使得到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值.8．（2022·河北衡水·高三阶段练习）如图，已知四棱锥，底面ABCD为直角梯形，，，，E为AD的中点，过BE作平面，分别交侧棱PC，PD于M，N两点，且.(1)求证：平面平面ABCD.(2)若，是否存在平面，使得直线PB与平面所成角的正弦值为？请说明理由.角度2：平面与平面所成角探索性问题1．（2022·全国·高三专题练习）如图，在长方体中，，，，点是的中点，点为棱上的动点，则平面与平面所成的锐二面角正切的最小值是（

）A． B．C． D．2．（2022·全国·高二单元测试）如图所示，三棱锥的侧棱长都相等，底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，为线段的中点，为直线上的动点，若平面与平面所成锐二面角的平面角为，则的最大值为_________.3．（2022·山西·高三阶段练习）四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，平面平面．(1)证明：；(2