421等差数列的概念（精讲）-2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性）

4.2.1等差数列的概念（精讲）一、知识导图：二、常见考点：1、等差数列的概念一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示．2、等差数列的四种判断方法(1)定义法（或者）(是常数)是等差数列．(2)等差中项法：()是等差数列．(3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数）(4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项）提醒;证明一个数列是等差数列,只能用方法(1)(2)3、若等差数列的公差为d,则时递增；时递减；时是常数数列.4、对于任意数列，为递增数列；（时，数列严格递增）为递减数列；（时，数列严格递减）考法一:等差数列及其通项公式1．2000是等差数列4，6，8，…的（）A．第998项 B．第999项 C．第1001项 D．第1000项【答案】B数列4，6，8，…的通项公式为，.则2n＋2＝2000.解得n＝999.故选：B.2．若数列满足，则数列（）A．是公差为1的等差数列 B．是公差为的等差数列C．是公差为的等差数列 D．不是等差数列【答案】B由，得，即，所以数列是公差为的等差数列．故选：B.3．已知数列中，，，则等于（）A．12 B．12 C．16 D．16【答案】A解：数列中，，，即，所以数列为等差数列，公差为，所以，所以．故选：A．4．在数列中，，，则的值为（）A．52 B．51 C．50 D．49【答案】A由题意，数列满足，即，又由，所以数列为首项为2，公差为的等差数列，所以.故选：A．5．已知等差数列{}，，则公差d的值是（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A在等差数列{}中，公差故选：A6．数列{}的前4项依次是20，11，2，7，{}的一个通项公式是（）A． B． C． D．【答案】B由已知可看出数列{}为等差数列，首项为20，公差为9，由等差数列的通项公式可得.故选：B7．若数列满足，，则当时，的值是（）A．679 B．680 C．681 D．690【答案】C∵，，∴是以19为首项，为公差的等差数列，则．则，解得．故选：C.8．已知数列中，且，则（）A． B． C．1 D．2【答案】A由，得，则数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以，则．故选：A.考法二:等差中项一、单选题1．已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（）A．8 B．6 C． D．3【答案】D∵，，∴，∴，∴和的等差中项是．故选：D.2．与的等差中项是（）A． B．C． D．【答案】B解：设2与8的等差中项是，则，解得．故选：B．3．在等差数列中，已知，则（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】D由得，所以，所以.故选：D4．在等差数列的中，若，则等于（）A．25 B．11 C．10 D．9【答案】D因为，，故选：D．5．若成等比数列，是的等差中项，是的等差中项，则________【答案】2由题意可知，，，所以，.故答案为：26．在数列中，，且，，（1）求的通项公式【答案】（1）；（1）因为，所以，所以数列为等差数列，设首项为，公差为，则，解得，所以；考法三:等差数列的性质1．在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝58，a2＋a5＋a8＝44，则a3＋a6＋a9的值为（）A．30 B．27 C．24 D．21【答案】A设b1＝a1＋a4＋a7＝58，b2＝a2＋a5＋a8＝44，b3＝a3＋a6＋a9.因为{an}是等差数列，所以b1，b2，b3也是等差数列，得b1＋b3＝2b2，所以b3＝2b2－b1＝2×44－58＝30，即a3＋a6＋a9＝30.故选：A2．在等差数列{an}中，a3＋a5＝10，则a1＋a7等于（）A．5 B．8 C．10 D．14【答案】Ca1＋a7＝a3＋a5＝10.故选：C3．在等差数列中，已知，则该数列第项（）A． B． C． D．【答案】B因为数列是等差数列，由等差数列的性质得，所以.故选：B4．在中，角，，成等差数列，则等于（）A． B． C． D．【答案】C因为角，，成等差数列，所以，所以，，所以．故选：C．5．给定81个数排成数阵如下图所示，若每一行，每一列都构成等差数列，且正中间一个数a55＝5，则此数阵中所有数之和为__________．【答案】依题意：，，……所以.故答案为：6．已知等差数列{𝑎𝑛}，若，则__________________.【答案】7∵，∴，.故答案为：77．在等差数列{an}中，若a2＋a3＋a4＋a5＝34，且a2·a5＝52．求数列{an}的通项公式an．【答案】an＝3n－2或an＝－3n＋19．详解：∵数列{an}是等差数列，∴a2＋a3＋a4＋a5＝2(a2＋a5)＝34，∴或，∴an＝3n－2或an＝－3n＋19．考法四：等差数列单调性1．命题：①若等差数列的公差，则；②若等比数列的首项，公比，则.则下列判断正确的是（）A．①真，②假 B．①假，②真 C．都真 D．都假【答案】A解：①：等差数列的公差，则所以①是真命题.②：等比数列的首项，公比，数列为递减数列，，所以②为假命题.故选：A.2．设是等差数列，则“”是“数列是递增数列”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C在是等差数列，若，可得，所以数列是递增数列，即充分性成立；若数列是递增数列，则必有，即必要性成立，所以“”是“数列是递增数列”的充分必要条件.故选：C.3．在数列中，，对任意的正整数，都有恒成立，求实数的取值范围.【答案】由题,对任意的正整数,都有恒成立,,即恒成立,对任意的正整数恒成立,,即考法五：等差数列中最大（小）项1．在数列中，，则的最大值为A． B． C． D．【答案】A，当或时，最大，所以，故本题选A.2．在首项为