72复数的四则运算透课堂-2021-2022学年高一数学满分计划（人教A版2019）

20212022学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第二册)7.2复数的四则运算【知识导学】知识点一复数加法与减法的运算法则1.设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.2.对任意z1，z2，z3∈C，有(1)z1＋z2＝z2＋z1； (2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).知识点二复数加减法的几何意义如图，设复数z1，z2对应向量分别为eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量eq\o(OZ,\s\up6(→))与复数z1＋z2对应，向量eq\o(Z2Z1,\s\up6(→))与复数z1－z2对应.知识点三复数乘法的运算法则和运算律1.复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2.复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3∈C，有交换律z1z2＝z2z1结合律(z1z2)z3＝z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3知识点四复数除法的法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数，则eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0).【考题透析】透析题组一：复数的加减法的代数运算1．（2022·全国·高一）复数等于（

）A． B． C． D．2．（2021·安徽·宣城市励志中学高一阶段练习）计算：（1）；（2）已知，，求，．3．（2021·上海·高一课时练习）已知复数满足.（1）求；（2）若，求.透析题组二：复数加减法的几何意义4．（2020·全国·高一专题练习）已知，，，，求.5．（2020·全国·高一）如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0，3＋2i，－2＋4i．求：（1）向量对应的复数；（2）向量对应的复数；（3）向量对应的复数．6．（2021·全国·高一课时练习）已知四边形是复平面内的平行四边形，是原点，点分别表示复数，是，的交点，如图所示，求点表示的复数.透析题组三：复数代数形式的乘法运算7．（2022·湖南·高一课时练习）计算：(1)； (2)；(3)； (4)．8．（2021·全国·高一课时练习）计算：(1) (2) (3) (4)9．（2021·全国·高一课时练习）计算：(1)； (2)； (3)； (4)．透析题组四：复数范围内解方程10．（2021·江苏如东·高一期中）方程的一个根为，其中为虚数单位，则实数的值为（

）A．10 B．10 C．6 D．811．（2021·江苏·无锡市堰桥高级中学高一期中）已知是关于的方程的根，则实数（

）A． B．4 C． D．412．（2021·全国·高一专题练习）已知是一元二次方程的根（，，为虚数单位），则（

）A．8 B．7 C．4 D．透析题组五：复数代数形式的除法运算13．（2022·湖南·高一课时练习）计算：(1)； (2)； (3)； (4)．14．（2022·全国·高一）已知复数，是实数.(1)求复数z；(2)若复数在复平面内所表示的点在第二象限，求实数m的取值范围.15．（2021·湖北·高一期末）已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位．(1)求的值；(2)记复数，求复数的模．透析题型六：共轭复数的计算16．（2021·湖北·高一期末）已知复数（为虚数单位），设是的共轭复数，则的虚部是（

）A． B． C． D．17．（2021·广东·肇庆市高要区第二中学高一阶段练习）已知复数在复平面内对应点在射线上，且，则复数的虚部为（

）A． B． C． D．18．（2021·广东海丰·高一阶段练习）已知，是虚数单位，复数是的共轭复数，则（

）A． B． C． D．3透析题型六：复数的综合运算19．（2021·全国·高一课时练习）已知是虚数单位，则复数对应的点所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限20．（2021·全国·高一单元测试）已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数（是的共轭复数）．（1）设复数，求；（2）设复数，且复数所对应的点在第一象限，求实数的取值范围．21．（2021·江苏张家港·高一期中）(1)已知复数是关于x的方程的一个根，求的值；(2)已知复数，，，求．【考点同练】一、单选题22．（2022·四川·眉山市彭山区第一中学模拟预测（文））已知复数z满足，则z=（

）A． B．C． D．2－i23．（2022·河南安阳·二模（文））（

）A． B． C． D．24．（2022·黑龙江·铁力市第一中学校高三开学考试（理））若复数z满足（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限25．（2022·广东高州·二模）设（i是虚数单位，，），则（

）A． B． C．2 D．26．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（理））已知复数为z的共轭复数，则（

）A． B． C． D．27．（2022·江苏南通·一模）已知复数与都是纯虚数，则（

）A． B． C． D．28．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知复数，则下列结论正确的是（

）A．的虚部为i B．C．的共轭复数 D．为纯虚数29．（2022·广东·模拟预测）18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义．例如，，即复数的模的几何意义为在复平面内对应的点到原点的距离．在复平面内，若复数对应的点为，为曲线上的动点，则与之间的最小距离为（

）A．3 B．4 C．5 D．6二、多选题30．（2022·湖北武汉·高三阶段练习）已知两个复数满足，且，则下面说法正确的是（

）A． B．C． D．31．（2022·江苏镇江·高三期末）关于复数(i为虚数单位)，下列说法正确的是（

）A．|z|＝1 B．z＋z2＝－1 C．z3＝－1 D．(z＋1)3＝i32．（2022·全国·高三专题练习）设是复数，则下列命题中的真命题是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则三、填空题33．（2022·湖南·高一课时练习）若复数，，则的虚部为___________．34．（2022·浙江·模拟预测）若关于的复系数一元二次方程的一个根为，则另一个根________．35．（2022·江西南昌·高二期末（理））已知复数对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙三人对复数的陈述如下为虚数单位：甲：；乙：；丙：，在甲、乙、丙三人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数______．36．（2021·上海市徐汇中学高二期末）设，复数，，若是纯虚数，则a=______【答案精讲】1．A【解析】【分析】按照复数的加法和减法法则进行求解.【详解】故选：A.2．（1）（2）【解析】【分析】（1）根据复数的加减法法则，实部与实部对应加减，虚部与虚部对应加减，即可运算得到结果；（2）根据复数的加法、减法法则运算即可.【详解】（1）；（2），，，3．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设复数，利用复数的乘法运算以及复数相等即可求解.（2）利用共轭复数的概念以及复数的加法运算求出，然后再利用复数模的求法即可求解.【详解】（1）设复数，则由复数相等得，解得（2）由（1）得∴∵∴∴.【点睛】本题考查了复数的乘法运算、复数相等、共轭复数的概念、复数模的求法，属于基础题.4．【解析】利用向量的几何意义画出图形，数形结合即可解答.【详解】解：如图，设对应的复数为，对应的复数为，由知，以，为邻边的平行四边形是菱形，向量表示的复数为,,则为等边三角形,,则,,表示的复数为,.【点睛】本题考查复数几何意义的应用，属于基础题.5．（1）－3－2i；（2）5－2i；（3）1＋6i．【解析】【分析】结合复数的几何意义和向量的线性运算即可求解.【详解】（1）因为，所以向量对应的复数为－3－2i；（2）因为＝－，所以向量对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i；（3）因为＝＋，所以向量对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i．【点睛】本题考复数的几何意义，向量的线性运算，属于基础题6．，【解析】利用求得点表示的复数,利用求得点表示的复数【详解】因为,分别表示复数,,所以表示的复数为,即点表示的复数为,又,所以表示的复数为,即点表示的复数为【点睛】本题考查复数的几何意义,属于基础题7．(1)(2)(3)(4)【解析】【分析】利用复数的运算法则，直接计算求解即可(1)(2)(3)(4)8．(1)(2)(3)(4)【解析】【分析】（1）利用复数的乘方运算即可求解.（2）利用复数的乘法运算即可求解.（3）利用复数的乘法运算即可求解.（4）利用复数的乘方以及乘法运算即可求解.(1)(2)(3)(4)9．(1)(2)(3)5(4)【解析】【分析】根据复数的乘法运算法则即可得到答案.(1).(2).(3).(4).10．B【解析】【分析】结合实系数的一元二次方程在复数范围内的两根的关系求出另外一根，进而结合韦达定理以及复数的乘法运算即可求出结果.【详解】因为方程的一个根为，故方程的一个根为，结合韦达定理可得，即，故选：B.11．B【解析】【分析】由方程根的意义，把代入方程计算整理，借助复数为0的条件列式求解即得.【详解】因是关于的方程的根，则有，即，而，于是得，解得，所以实数.故选：B12．C【解析】【分析】将代入到方程，根据复数相等可求出，由此求出结论．【详解】解：∵是一元二次方程的根，∴，即，∴，解得，∴，故选：C．13．(1)，(2)，(3)，(4).【解析】【分析】这四个小问都是同一个问题，就是分母实数化，运用复数除法法则进行计算求解结果.(1)；(2)；(3)；(4)；故答案为：，，，.14．(1)(2)【解析】【分析】（1）先将代入化简，再由其虚部为零可求出的值，从而可求出复数，（2）先对化简，再由题意可得从而可求得结果(1)因为，所以，因为是实数，所以，解得.故.(2)因为，所以.因为复数所表示的点在第二象限，所以解得，即实数m的取值范围是.15．(1)(2)【解析】【分析】（1）由题知，即，再根据复数相等求解即可；（2）由（1）得，故，再求模即可.(1)解：知是关于的方程的一个根，所以，即，所以，解得.所以(2)解：由（1）得复数，所以所以复数的模为16．B【解析】【分析】先求出共轭复数，从而可求出其虚部【详解】由，得，所以的虚部是，故选：B17．A【解析】【分析】不妨设，由复数的模长公式求出的值，利用共轭复数的定义可求得复数的虚部.【详解】不妨设，则，可得，，因此，复数的虚部为.故选：A.18．D【解析】【分析】按照复数的除法法则对其进行运算，根据共轭复数的概念列出关于的方程组，解出即可.【详解】∵复数，复数为其共轭复数，∴解得∴，故选：D.19．D【解析】【分析】先化简，再利用复数的除法化简得解.【详解】.所以复数对应的点在第四象限，故选：D【点睛】结论点睛：复数对应的点为，点在第几象限，复数对应的点就在第几象限.20．（1）；（2）【解析】【分析】(1)先根据条件得到，进而得到，由复数的模的求法得到结果；（2）由第一问得到，根据复数对应的点在第一象限得到不等式，进而求解.【详解】∵，∴.∴.又∵为纯虚数，∴，解得．∴.（1），∴；（2）∵，∴，又∵复数所对应的点在第一象限，∴，解得：．【点睛】如果是复平面内表示复数的点，则①当，时，点位于第一象限；当，时，点位于第二象限；当，时，点位于第三象限；当，时，点位于第四象限;②当时，点位于实轴上方的半平面内；当时，点位于实轴下方的半平面内．21．(1)12；(2).【解析】【分析】(1)把代换中的x，化简，再由复数相等解得；(2)把z1，z2代入式中，利用复数运算计算出z而得解.【详解】(1)因为是方程的一个根，∴∴，而∴∴，∴(2)∵，，∴，∴22．C【解析】【分析】利用复数的除法运算求解即可.【详解】，故答案为：C．23．C【解析】【分析】直接利用复数的除法运算和模的公式化简求值.【详解】解：原式=.故选：C24．D【解析】【分析】利用复数的除法求出复数z即可判断作答.【详解】依题意，，复数z在复平面内对应的点为，所以复数z在复平面内对应的点在第四象限.故选：D25．B【解析】【分析】利用复数的乘法求出x、y，即可求出.【详解】因为，所以，所以.故选：B26．A【解析】【分析】利用共轭复数、复数除法运算等知识求得正确答案.【详解】，.故选：A27．C【解析】【分析】根据题意设，根据复数的四则运算可得出关于的等式与不等式，求出的值，即可得解.【详解】因为为纯虚数，设，则，由题意可得，解得，因此，.故选：C.28．D【解析】【分析】根据复数的除法运算法则，结合复数模的定义、共轭复数的定义，结合复数虚部的定义、纯虚数的定义逐一判断即可.【详解】解：∵，∴z的虚部为1，为纯虚数，，∴正确的结论是D．故选：D．29．B【解析】【分析】化简，得到，再根据的几何意义和圆的性质，即可求解.【详解】因为，所以，又因为曲线表示以为圆心，1为半径的圆，所以，故与之间的最小距离为.故选：B.30．ABD【解析】【分析】根据复数的乘法运算和相等复数的概念求出，进而结合复数的几何意义和共轭复数的概念依次判断选项即可.【详解】由题意知，设为实数)，则，即，所以，解得，所以，故A正确；，