第14讲 三角函数的图象与性质（秋季讲义）（人教A版2019必修第一册）（含答案解析）

第14讲三角函数的图象与性质【人教A版2019】模块一模块一正弦函数、余弦函数1．正弦函数与余弦函数的图象(1)正弦函数的图象①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=,x∈[0,2π]的图象，如图所示.

②五点法观察图，在函数y=,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0)在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点，函数y=,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”.(2)余弦函数的图象

①图象变换法作余弦函数的图象

由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函数y=,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示.②五点法作余弦函数的图象

类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=在[0,2]上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=在[0,2]上的简图，再通过左右平移(每次移动2个单位长度)即可得到余弦函数y=,x∈R的图象.(3)正弦曲线、余弦曲线

正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.2．正弦函数与余弦函数的性质(1)周期函数①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.

②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.(2)正弦函数与余弦函数的性质正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表：函数y=sinxy=cosx图象定义域RR值域[-1,1][-1,1]周期性最小正周期：2π最小正周期：2π奇偶性奇函数偶函数单调性增区间减区间最值图象对称性对称中心：

对称轴方程：对称中心：

对称轴方程：3．正弦型函数及余弦型函数的性质函数和的性质函数定义域RR值域[-|A|,|A|][-|A|,|A|]单调性当A>0,ω>0时，将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cosx相应的单调区间求解；当A<0或ω<0时，注意单调区间的变化.奇偶性当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数，

当时为偶函数.当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数，

当时为奇函数.周期性图象

对称性将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cosx相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解.【题型1正、余弦函数图象及应用】【例1.1】（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）当x∈−3π,3π时，曲线y=cosA．4 B．5 C．6 D．7【解题思路】根据五点法作图，分别作出两函数图像，即可得解.【解答过程】令13x+π3=0令13x+π3=令13x+π3=令13x+π3=令13x+π3=2结合函数的周期性，作出两函数图像，如图所示，可知两函数共6个交点，故选：C.【例1.2】（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数fx的部分图象如图所示，则fx的解析式可能为（A．fx=2C．fx=2【解题思路】通过函数奇偶性的，再取图象上的特殊点进行排除即可.【解答过程】由图象可知fx为奇函数，且f对于A：fx=2对于C：fx=2对于D:fx=4对于B:fx=2且当x∈0,π时，2sin而ex+e−x≥2故选:B.【变式1.1】（23-24高一·上海·课堂例题）作出下列函数的大致图像：(1)y=sin(2)y=3sin【解题思路】（1）（2）根据五点作图法列表、描点、连线即可得到函数图象；【解答过程】（1）解：因为y=sinx−π5411x+0ππ32y010−10描点连线，可得函数图象如图示：（2）因为y=3sinxπ5π2π11π72x−0ππ32y030−30描点连线，可得函数图象如图示：【变式1.2】（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知函数fx(1)在下列网格纸中利用“五点作图法”作出函数fx(2)若方程fx=a在x∈0,【解题思路】（1）利用五点作图法即可得解；（2）将问题转化为fx与y=a的图象有两个交点，结合图象即可得解.【解答过程】（1）因为f则列表如下：x−2π5π8π1130ππ3π2f(x)020−20所以f(x)的图象如图，（2）因为x∈0,π，所以又sinπ6=12因为方程fx=a在所以fx与y=a的图象有两个交点，故1≤a<2或−2<a≤−【题型2正、余弦函数的定义域、值域与最值】【例2.1】（23-24高一上·安徽·期末）函数y=sin2x+π30≤x≤π2的值域为（

）A．[0,1] B．【解题思路】根据0≤x≤π2，可得【解答过程】由0≤x≤π2，得则y=sin故选：C.【例2.2】（23-24高一下·山东日照·期中）函数y=2sinx−1A．π3,5π6 B．π3【解题思路】由题意可得sinx≥12【解答过程】由题意可得2sinx−1≥0，即又0≤x≤2π，故x∈π6故选：C.【变式2.1】（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知函数f(x)=2cos(2ωx+π(1)求ω的值，并求f(x)的单调递减区间；(2)求f(x)的对称轴；(3)求f(x)在[0,π【解题思路】（1）根据余弦型函数周期公式及余弦型函数单调性求解即可.（2）利用余弦函数的对称性求出对称轴.（3）根据自变量范围，利用整体替换思想结合余弦函数性质求解.【解答过程】（1）由函数f(x)=2cos(2ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π即f(x)=2cos(2x+π3)所以f(x)的单调减区间为[−π（2）由2x+π3=k所以f(x)图象的对称轴为x=−π（3）由0≤x≤π2，得π3≤2x+π3≤4π3，则−1≤【变式2.2】（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知函数f(x)=2sinωx−π(1)求f(x)的对称轴方程．(2)求f(x)在0,π2上的最值及其对应的【解题思路】（1）由最小正周期可得ω=2，以2x−π（2）以2x−π【解答过程】（1）因为函数f(x)的最小正周期是π，且ω>0，则ω=2ππ令2x−π6=k所以f(x)的对称轴方程为x=k（2）由（1）可知：f(x)=2sin因为x∈0,π2可得sin2x−π当2x−π6=−π6，即x=0当2x−π6=π2【题型3正、余弦函数的图象与性质】【例3.1】（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数fx(1)求fx(2)当x∈0,5π【解题思路】（1）利用余弦型函数的性质，解不等式2kπ−π（2）由x∈0,5π8【解答过程】（1）令2kπ−π≤2x+π4≤2kπ（2）令t=2x+π4，则由x∈0所以当t=π，即x=3π当t=π4时，即x=0时，即当x=3π8时，函数fx取最小值−6；x=0【例3.2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数f(x)=sin2x+a(1)当a=1时，求函数f(x)的最小值；(2)若f(x)的最大值为1，求实数a的值；【解题思路】（1）代入a=1后配方，结合二次函数的性质和余弦函数的值域求解即可；（2）配方后再根据对称轴的情况分类讨论即可；【解答过程】（1）当a=1时，f(x)=sin因为−1≤cos所以当cosx=−1时，函数有最小值，最小值为f（2）因为f(x)=sin当−1≤a2≤1则当cosx=a2解得a=1+7>2（舍去），或当a2>1即a>2时，则当cosx=1时，函数有最大值，即1=−1+a−当a2<−1时，即a<−2时，则当即1=−1−a−a+12，解得综上，a=1−7【变式3.1】（24-25高一上·上海·单元测试）已知函数f(x)=2sin(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的严格减区间；(3)若x∈0,π2时，f(x)【解题思路】（1）直接利用周期公式求解；（2）对函数变形后，由2kπ（3）由x∈0,π2求出2x+【解答过程】（1）函数f(x)的最小正周期为T=2（2）f(x)=2sin由2kπ+π得kπ−π所以f(x)的严格减区间为kπ−π（3）由0≤x≤π2，得所以sin3π所以−1≤sin所以−2+a≤2sin所以f(x)的最小值为−2+a=−2，所以a=0.【变式3.2】（23-24高一下·广东中山·阶段练习）已知fx(1)求函数fx(2)求函数fx的单调减区间；(3)x∈−3【解题思路】（1）由图象可知A=2,T2=3π8−−π（2）由π2（3）由x∈−3π【解答过程】（1）由图象可知A=2,T2=所以2πω=所以fx因为fx的图象过点−所以2sin−π得φ=3π因为φ<π，所以所以fx（2）由π2−π所以−π所以fx的递减区间为k（3）由x∈−3π所以2x+3所以sin5π4所以−2所以fx的值域为−2,2.【题型4【例4.1】（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）已知函数f(x)=sinωx+π6(ω>0)在区间0,A．23,+∞ B．23,4【解题思路】由条件求出ωx+π【解答过程】因为0≤x<π2，所以π6由已知，3ω+1π所以ω>8所以ω的取值范围是83故选：C.【例4.2】（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2，x=−π4A．18 B．17 C．14 D．13【解题思路】由已知可得T=2π2k+1k∈Z，结合T=2πω，得到ω=2k+1（k∈Z），再由π9,π【解答过程】由题意，得14+k又T=2πω，∴ω=2k+1∵π9,π6是fx的一个单调区间，∴∵T=2π2k+1，∴2k+1≤18①当k=8，即ω=17时，−174π+φ=kπ，k∈∵|φ|<π2，∴φ=π4，此时∴ω=17不符合题意；②当k=7，即ω=15时，−154π+φ=kπ，k∈∵|φ|<π2，∴φ=−π4，此时∴ω=15不符合题意；③当k=6，即ω=13时，−134π+φ=kπ，k∈∵|φ|<π2，∴φ=π4，此时∴ω=13符合题意，故选：D.【变式4.1】（24-25高三上·山东德州·阶段练习）设函数fx=sinωx+π6（ω>0）在区间A．1315,16C．715,2【解题思路】首先求出函数fx【解答过程】由函数fx=sin令ωx+π6=因为fx=sinωx+π显然当k=0时，x=π3ω为故π3ω+2即ω的取值范围是715故选：C.【变式4.2】（2024·安徽·模拟预测）已知函数fx=cosωx−π6(ω>0)A．0,23 B．0,53 C．【解题思路】先求出ωπ2+π3<ωx+π【解答过程】函数fx=cos当x∈π2,由题设可得存在整数k，使得ωπ解得−2而ω>0，故k≥0且k≤43，故当k=0时，−23≤ω≤23结合ω>0可得ω的取值范围为0,2故选：D．模块模块二正切函数1．正切函数的性质与图象(1)正切函数的图象及性质定义域周期性由诱导公式可知，正切函数是周期函数，周期是π.奇偶性由诱导公式可知，正切函数是奇函数.图象单调性正切函数在每一个区间上都单调递增值域正切函数的值域是实数集R对称中心(2)三点两线法作正切曲线的简图类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点(-,-1),(0,0),(,1);“两线”是指直线x=-和x=.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间(-,)上的简图.【题型5正切函数的定义域、值域与最值】【例5.1】（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）函数fx=−3tanA．xx≠π4C．xx≠2kπ+【解题思路】根据正切函数特征，得到不等式，求出定义域.【解答过程】由正切函数的定义域，令x2+π所以函数fx=−3tan故选：C.【例5.2】（23-24高一下·江西·阶段练习）函数fx=3tan2x+πA．33,33 B．33,3【解题思路】先求出2x+π6的范围，再由正切函数的性质求出【解答过程】∵x∈[0,故选：C.【变式5.1】（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数y=tan2x−tanx+1tan2【解答过程】解：令u=tanx（x≠kπ+π当u=0时，y=1；当u>0时，u+1u≥2，当且仅当u=所以y=1−2u+1u+1当u<0时，所以−u>0，u+1u=−即u=−1时，所以y=1−2u+1u+1所以，y的最小值为13，此时x=kπ+π4，k∈Z；y所以当tanx=0时，y=1当tanx=1时，函数取得最小值，自变量x的集合为x当tanx=−1时，函数取得最大值，自变量x的集合为x【变式5.2】（23-24高一下·上海·课后作业）求下列函数的值域：（1）y=1+（2）y=tan【解题思路】（1）由定义域可得tanx∈−∞,0，令t=tanx则（2）利用换元法将函数转化为二次函数，根据二次函数的性质计算可得；【解答过程】解：（1）因为y=1+tan令t=tanx所以y=因为t∈−∞,0，所以t−1∈−∞,−1，1t−1−1+−2t−1（2）因为y=所以tanx∈−3,1所以y=f所以fm在−32f−32=−所以f即函数的值域为−13【题型6正切函数的图象与性质】【例6.1】（24-25高三上·黑龙江绥化·阶段练习）已知函数fx=tan①f0②fx在5③2π3,0为④fx最小正周期为A．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】直接求函数值判断命题①；由正切函数的单调区间、对称轴公式、周期公式进行求解分别判断命题②③④.【解答过程】命题①，已知函数fx=tan命题②，−π2+kπ<2x−π3当k=1时，5π12<x<11π命题③，把x=2π3带代入f则2π3,0命题④，函数fx=tan正确命题有2个.故选：C.【例6.2】（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知函数fx=tanA．π2是函数fx的一个周期 B．函数fxC．函数fx的图像关于点2024π,0对称 【解题思路】先利用诱导公式进行化简，然后结合正切函数的性质检验各选项即可判断.【解答过程】由题可得：fx=tan根据正切函数的性质可知，fx=−tan根据正切函数的性质可知，fx=−tanx的图像关于点kπ2,0对称(k∈fx故选：C.【变式6.1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数fx(1)求fx(2)试比较fπ与f【解题思路】（1）先应用诱导公式化简再应用正切函数的单调性求解；（2）先求函数值再结合函数的单调性比较大小.【解答过程】（1）fx由kπ−π因为y=3tanx4所以fx=−3tan故原函数的单调递减区间为4kπ（2）fπ=3tanf3π2因为0<π12<5π24<π2，且【变式6.2】（24-25高一上·上海·课堂例题）设函数f(x)=tan(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期和单调区间；(2)求不等式−1≤f(x)≤3(3)作出函数y=f(x)在一个周期内的简图.【解题思路】（1）由整体代换即可求出正切函数的定义域，由周期公式可得最小正周期，由单调性解不等式可得单调增区间.（2）由（1）中的单调性解不等式，可得其解集.（3）利用五点作图法即可得一个周期内的简图.【解答过程】（1）由x2得x≠5π3∴fx的定义域是x∵ω=1∴最小正周期T=π由−π2+kπ<x2∴函数fx的单调增区间是−π3所以函数fx定义域是xx≠5π3+2kπ,k∈Z（2）由−1≤tanx2−π解得π6+2kπ∴不等式−1≤fx≤3（3）令x2−π令x2−π令x2−π3=−π2，则x=−π3.∴函数f从而得函数y=fx在一个周期−【题型7正切函数的含参问题】【例7.1】（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）若函数fx=1−tanωx−π4ω≠0A．−π2,0C．0,π4 【解题思路】根据正切函数的图象与性质，得到−ω>0，且−ω+π【解答过程】由函数fx=1+tan根据正切函数的性质，可得−ω>0，当x∈0,1时，可得−ωx+π4∈π故选：D.【例7.2】（23-24高一上·广东·期末）若函数y=tan(x−φ)(φ≥0)的图象与直线x=π没有交点，则φA．0 B．π4 C．π2 【解题思路】根据正切函数的性质，代入求值.【解答过程】函数y=tanx的图象与直线若函数y=tan(x−φ)(φ≥0)的图象与直线x=π没有交点，则π−φ=π2+k则φ的最小值为π2故选：C.【变式7.1】（2024·安徽马鞍山·一模）已知函数fx=tanωx+φ（ω>0，φ<π2）的图象经过点0,3，若函数A．23,5C．53,8【解题思路】首先求φ，再根据x∈0,π,求ωx+π【解答过程】由条件可知f0=tanφ=3fx=tanωx+π若函数在区间0,π上恰有2个零点，则2解得53故选：D.【变式7.2】（23-24高三上·河南南阳·期末）已知−14,m,14,m,3A．π B．2π C．π2 【解题思路】由题意可得y=|tanωx|ω>0的最小正周期为1，根据y=|【解答过程】作出函数y=|tan不妨设A−1可知y=|tanωx|ω>0y=|tanωx|ω>0所以πω=1，解得故选:A.【题型8三角函数的零点问题】【例8.1】（24-25高二上·浙江·开学考试）设函数fx=2sinωx+φ−1(ω>0)，若对于任意实数φ,fxA．83,5 B．4,5 C．4,20【解题思路】原问题转化为y=sint在区间π4ω+φ,3π4ω+φ上至少2个，至多有3个t【解答过程】令fx=0，则sinωx+φ=2则原问题转化为y=sint在区间π4ω+φ,3π4ω+φ作出y=sint与

由图知，满足条件的最短区间长度为9π4−π∴2π≤3π故选：B．【例8.2】（24-25高三上·浙江·阶段练习）函数fx=sinx−cosA．π B．2π C．3π D．4【解题思路】根据函数零点个数与其对应方程的根、函数图象的交点个数之间的关系，作出函数y=cos【解答过程】由f(x)=0得sinxcosx函数fx的零点即方程tan作出函数y=cos5x2由图可知两个图均关于π2,0中心对称且在故函数fx在区间−π,2故选：B．【变式8.1】（23-24高一下·陕西西安·期末）已知函数fx(1)求函数fx(2)求函数fx在区间0,2π【解题思路】（1）根据复合函数单调性及三角函数的单调性即可求解（2）将函数的零点转化成f(x)=0方程的根，解方程得根即可求解．【解答过程】（1）解：由−π解得−2π∴函数fx的单调递增区间为−（2）解：由fx=sin则x+π6=∴x=2kπk∈Z又x∈0,2π，∴x=0或x=2π3或x=2π.即函数fx在区间0,2π上的所有零点为0，故零点之和为0+2π【变式8.2】（23-24高一下·山东日照·期中）已知函数fx=−2sin(1)当t=23，x∈π2,(2)设函数fx在−π,−①求t的取值范围；②证明：m+n>−3【解题思路】（1）将t代入后可得fx，结合x（2）①借助换元法，结合二次函数的性质计算即可得；②由韦达定理可得cosm+cosn=−1，cosm⋅cosn=3t−2【解答过程】（1）由t=23，则当x∈π2,3π故cosx=−1或cosx=0（舍），故（2）①令k=cosx，因为x∈−π,−则fx由y=cosx在故关于k的方程2k2+2k+3t−2=0即有3t−2>02×解得23<t<56，即②令k1=cos则k1，k2为关于k的方程则有k1+k所以cosm+cosn=−1，cosm⋅即cos2即有cos2m−sin2故cos2m<sin2n由于−π<n<−π2，则又y=cosx在−π即m+n>−3【题型9与三角函数相关的复合函数】【例9.1】（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的最大值和最小值，并指出使其取得最大值和最小值时x的集合：(1)y=3cos2x(2)y=cosx−sin【解题思路】（1）先根据三角函数求最值，再结合复合函数单调性求解自变量；（2）先应用同角三角函数关系换元，结合二次函数性质求出最值.【解答过程】（1）因为y=3cos又因为−1≤cos2x≤1,所以当t=cos2x=1,即x=kπ,当t=cos2x=−1,即x=π（2）因为y=cos令cosy=t2+t−1,t∈当t=−12=cosx当t=1=cosx，即x=2kπ,【例9.2】（23-24高一上·浙江衢州·期末）已知函数f(x)=sin2x+a(1)当a=1时，求函数f(x)的最小值；(2)若f(x)的最大值为1，求实数a的值；(3)对于任意x∈0,π3，不等式f(x)≥【解题思路】（1）代入a=1后配方，结合二次函数的性质和余弦函数的值域求解即可；（2）配方后再根据对称轴的情况分类讨论即可；（3）令t=cos【解答过程】（1）当a=1时，f(x)=sin因为−1≤cos所以当cosx=−1时，函数有最小值，最小值为f（2）因为f(x)=sin当−1≤a2≤1则当cosx=a2解得a=1+7>2（舍去），或当a2>1即a>2时，则当cosx=1时，函数有最大值，即1=−1+a−当a2<−1时，即a<−2时，则当即1=−1−a−a+12，解得综上，a=1−7（3）因为fx令t=cosx，由x∈0,则ft因为f(x)≥1所以f(t)≥1所以−t2+at−姐a≥t+1t在设gt=t+1t，由对勾函数的性质易知函数所以gt所以a≥5【变式9.1】（24-25高一上·上海·单元测试）求下列函数的值域.(1)f(x)=tan(2)f(x)=|sinx|+2cos(3)f(x)=sin【解题思路】（1）令t=tanx，用换元法得到（2）将原式化为fx=−2sin（3）令sinx+cosx=t【解答过程】（1）设t=tanx，则y=t当t=−2时，y取最小值−5，无最大值，（2）fx=sinx+2由f−x=fx当x∈0,π2令t=sinx∈0,1当t=14时，y取最大值为当t=1时，y取最小值为−2+1+1=0.故值域为0,9（3）令sinx+cosx=t因为函数的定义域为1+sinx+cos所以t∈−2,−1∪−1,2由t∈−2,−1所以函数值域为−2【变式9.2】（24-25高二上·山东日照·开学考试）设a为常数，函数f(x)=−2sin(1)当a=1时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在区间(0,π)上有两个不同的零点，求实数(3)当−1≤a≤1时，设n为正整数，f(x)在区间(0,nπ)上恰有2024个零点，求所有可能的正整数【解题思路】（1）利用换元法结合三角函数值域，由二次函数性质即可得出函数f(x)的值域；（2）根据零点个数可得函数g(t)=−2t2−at+1在0,1（3）由二次函数根的个数及其符号并对参数a的取值范围分类讨论，利用三角函数图象性质可得不同区间内的零点个数，即可得出结果.【解答过程】（1）由题意f(x)=−2sin令t=sinx,t∈[−1,1]，则当a=1时，g(t)=−2t所以当t=−14时，g(t)取最大值当t=1时，g(t)取最小值−2，所以f(x)的值域为−2,9（2）由题意函数f(x)在区间(0,π即函数g(t)=−2t2−at+1在0,1由零点存在性定理，只需g(1)=−a−1<0，得a>−1；所以实数a的取值范围为−1,+∞（3）因为Δ=a2+8>0，所以g(t)=−2又t1⋅当a=1时，得t1=−1,t2=由三角函数图象性质可知f(x)在(0,2kπ)（k为正整数）内零点个数为3k，在(0,(2k+1)π)内零点个数为3k+2，因为当a=−1时，t1=−12,t2在(0,(2k+1)π)内零点个数为3k+1，若3k+1=2024，此时不存在当−1<a<1时，则−1<t1<0,0<t2<1，f(x)在因为2024=2×1012，所以n=k=1012；综上n的所有可能值为1012，1349．一、单选题1．（24-25高三上·安徽·阶段练习）当x∈0,2π时，曲线y=cosx与A．3 B．4 C．5 D．6【解题思路】作出函数y=cosx与【解答过程】作出函数y=cosx与观察在0,2π故选：C.2．（24-25高三上·上海·开学考试）函数y=tan(−3x+πA．[kπ−π3,kπ+π3C．[kπ3−π9,kπ【解题思路】由正切函数的诱导公式变形后结合单调性即可求出；【解答过程】y=tan令kπ−12π<3x−所以函数y=tan(−3x+π6)故选：D.3．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）函数fx=AcosA．fx=2cosC．fx=2cos【解题思路】结合图象可知f0【解答过程】结合题意以及各选项可知A可为2，结合图象可知f0则对于B，f0对于C，f0对于D，f−对于A，由于T4>π由2cosφ=−1，则φ=±2π3此时fx故选：A.4．（24-25高三上·山西·阶段练习）已知x∈−π2,π4，则函数fx=13tanx的值域是（

【解题思路】根据正切函数的单调性确定tanx∈−∞【解答过程】令t=tanx，则因为t=tanx在x∈−π2又y=13t在−∞,1即fx的值域是1故选：C.5．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数fx=2cosA．ω=2B．函数fx的图象关于直线x=C．函数fx的图象关于点πD．函数fx的单调递减区间为【解题思路】选项A，根据图象可得T=π，可得ω=2，即可判断选项A的正误；利用y=cosx【解答过程】对于选项A，由图知34T=π3−−5π12=3π4，得到T=2πω对于选项C，由2x+π3=π2+kπ对于选项D，由2kπ≤2x+π所以fx的单调递减区间为k故选：D.6．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数f(x)=sin3ωx+π6(ω>0)的最小正周期为2π3A．−32 B．−12 【解题思路】先根据f(x)的最小正周期为2π3，求出【解答过程】因为f(x)=sin3ωx+所以f(x)的最小正周期T=2π3ω所以f(x)=sinx∈−π所以sin3x+当x=−π18时，取所以f(x)在−π18,故选：C.7．（24-25高一上·河北衡水·期中）设函数fx=cosωx−π3ω>0A．176,23C．173,23【解题思路】求出ωx−π【解答过程】∵x∈0,π,∴ωx−π3∈∴7π故选：B.8．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知fx=sinωx+πA．φ=B．若gx的最小正周期为3πC．若gx在区间0,π上有且仅有3个最值点，则ωD．若gπ4=【解题思路】先根据fx是偶函数求φ【解答过程】fx则π3若gx的最小正周期为3π，由g(x)=sin(ωx+φ)∵x∈(0,π),ωx+π6∈(则5π若∵g(x)=sin(ωx+π则ωπ4+π6则ω=23+8k又因为ω>0，则ω的最小值为23故选:D.二、多选题9．（2024高一上·全国·专题练习）函数y=sinx,x∈π3,2π与直线y=t（t为常数）公共点个数可能是（

）A．0 B．1【解题思路】结合正弦函数图象分析求解.【解答过程】作出y=sin所以函数y=sinx,x∈π3,2故选：ABC.10．（24-25高二上·湖北荆州·阶段练习）已知函数fx=cosx，A．函数mx=fxB．函数mx=fC．函数nx=fD．函数nx=f【解题思路】根据三角恒等变换、三角函数的单调性、周期性、值域、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【解答过程】A选项，当x∈π2,π时，此时2x∈π,2π，而y=B选项，函数mx+2而m=1所以mx的最小正周期为2C选项，当x∈2kπ,2ksinx+π4∈当x∈2kπ+cosx+所以nx综上，函数nx=fxD选项，因为12×−n3π4=cos故选：BC.11．（24-25高三上·山西·阶段练习）已知函数fx=2sinωx+φω>0,A．若fx的最小正周期是π，则B．若fx的图象关于直线x=πC．若fx在0,π2上单调递增，则D．若23≤ω<53，则【解题思路】先根据函数fx的图象经过点0,3求出【解答过程】因为fx的图象经过点0,3，所以f0又φ<π2，所以φ=对于A，因为fx的最小正周期是π，所以T=2π对于B，因为fx的图象关于直线x=π6又ω>0，所以ω=1+6kk∈N对于C，由x∈0,π2因为fx在0,π2上单调递增，所以π3,π2ω+π3对于D，因为x∈0,π，所以因为23≤ω<5所以fx在0,故选：ACD.三、填空题12．（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数y=2sin2x+π6的单调增区间为【解题思路】以2x+π【解答过程】令2kπ−π所以函数y=2sin2x+π故答案为：kπ13．（23-24高一下·吉林长春·阶段练习）已知函数y=sin(2x−π6)−m在[0,π2【解题思路】根据给定条件，探讨函