第01讲 集合综合（秋季讲义）（人教A版2019必修第一册）

第01讲集合综合【人教A版2019】模块一模块一集合的概念与表示一、集合的概念1．集合概念(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．2．集合中元素的特性(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．3．元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换.4．常见数集数学中的一些常用的数集及其记法：5．集合的分类集合的分类：有限集、无限集．特殊集合：空集，记为∅.二、集合的表示方法列举法、描述法、图示法、区间法.【题型1集合中元素的互异性】【例1.1】（23-24高三下·山东青岛·开学考试）已知x∈1,2,x2，则xA．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2【例1.2】（23-24高一上·广东江门·阶段练习）已知集合A=12,a2+4a,a−2，−3∈A，则A．−1 B．−3或1 C．3 D．−3【变式1.1】（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知集合A=0,2a+1,a2−2，若A．1 B．-1 C．0 D．±1【变式1.2】（23-24高一·全国·课后作业）由a2,2−a，4组成一个集合A，且A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（A．1 B．−2 C．−1 D．2【题型2元素与集合关系求参】【例2.1】（24-25高一上·全国·单元测试）已知集合A=0,m,m2−3m+2，且2∈A，则实数A．2 B．3 C．0 D．−2【例2.2】（2024高三·全国·专题练习）已知集合A=0,m,m2−3m+2，且2∈A，则实数A．2 B．3 C．0或3 D．0,2,3【变式2.1】（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合A={x|2mx−3>0,m∈R}，其中2∈A且1∉A，则实数m的取值范围是（A．34,32 B．34,【变式2.2】（2024高一上·全国·专题练习）已知集合A=x∈Rax2+2x+1=0，其中a∈R.若1是集合AA．−3 B．1 C．−13,1模块二模块二集合间的基本关系一、集合间的基本关系1．子集定义一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集记法

与读法记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)图示或结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即；

(2)对于集合A,B,C，若，且，则2．真子集定义如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集记法记作(或)图示结论(1)且，则；

(2)，且，则3．集合相等如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B.4．空集的概念(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.(2)规定：空集是任何集合的子集.【题型3集合关系的判断】【例3.1】（24-25高三上·湖北荆门·阶段练习）如果集合S=x|x=3n+1,n∈Z，T=x|x=3k−2,k∈A．S⊆T B．T⊆S C．S=T D．S∈T【例3.2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合M=x|x=m+16,m∈Z，N=x|x=n2−13,n∈ZA．M=N⊂P B．M⊂N=PC．M⊂N⊂P D．N⊂P⊂M【变式3.1】（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）若A={x|x=k6+1,k∈Z}A．A⊆B⊆C B．A⊆C⊆BC．C⊆B⊆A D．C⊆A⊆B【变式3.2】（23-24高三·全国·对口高考）下面有四个命题：①3⊆②若a=22,B=x∈③若−a不属于N∗，则a属于N④若A=xy=其中真命题的个数为（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【题型4已知集合间关系求参】【例4.1】（23-24高一上·河北沧州·期中）已知集合A=2,6(1)若集合B=a+1，a(2)若集合C=xax2−x+6=0，且A【例4.2】（23-24高一上·全国·课后作业）已知A=x|(1)若A⊆B，求a的值；(2)若B⊆A，求实数a的取值范围.【变式4.1】（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）已知集合A=x|(1)若集合A至多有1个元素，求实数m的取值范围；(2)若A⊆(−∞,0)，求实数【变式4.2】（23-24高一上·安徽滁州·阶段练习）已知集合A=x|4−2k<x<2k−8，B=x|−k<x<k，(1)若A⊆B，求实数(2)若B⫋A，求实数k的取值范围.模块模块三集合的基本运算一、集合的基本运算1．并集的概念及表示自然语言符号语言图形语言由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)A∪B={x|x∈A,或x∈B}2．交集的概念及表示自然语言符号语言图形语言由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作"A交B")A∩B={x|x∈A,且x∈B}3．补集定义文字

语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合

A的所有元素组成的集合称为集合A相

对全集U的补集，简称为集合A的补集，

记作∁UA符号

语言∁UA={x|x∈U,且x∉A}图形

语言性质(1)

(2)4．集合关系的转化(1)；(2).5．Venn图表达集合的关系和运算如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示.【题型5交、并、补集混合运算】【例5.1】（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）若集合A=x|1<x≤6，B=x|1x−7<0A．{x|x≤1或6≤x≤7} B．{x|x≤1或6<x<7}C．{x|x<1或6≤x<7} D．{x|x≤1或6<x≤7}【例5.2】（2023·全国·高考真题）设集合U=R，集合M=xx<1，N=x−1<x<2，则xx≥2=（

C．∁UM∩N 【变式5.1】（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）设全集U=−2,−1,0,1,2，集合A=−2,1，B=xx2A．−2,1,0 B．−2C．1 D．−2,−1,1,2【变式5.2】（2024高三·全国·专题练习）已知全集U，集合M，N满足M⊆N⊆U，则下列结论正确的是（

）A．M∪N=U B．∁C．M∩(∁UN)=∅【题型6由集合运算结果求参】【例6.1】（23-24高一上·四川成都·期中）已知集合M=x1<x<4，集合(1)求M∩N和M∪∁(2)设A=xa≤x≤a+3，若A∪∁【例6.2】（23-24高二下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知集合A=x|x<−3或x>7，B=(1)若∁RA∪B=(2)若∁RA∩B=x|a≤x≤b，且【变式6.1】（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）已知集合A={(x,y)|y2−x−1=0}，(1)若k=b=1，求A∩C；(2)是否存在自然数k，b，使得(A∪B)∩C=∅？若存在，求出k，b的值；若不存在，说明理由．【变式6.2】（23-24高一上·江苏无锡·期中）在①A∩B=A，②A∩∁RB已知集合A=xa−1<x<2a+3，(1)当a=2时，求A∪B；(2)若___________，求实数a的取值范围．【题型7Venn图表达集合的关系和运算】【例7.1】（2024·广东·模拟预测）已知全集U=R，集合A={xx≥4或x≤0}，B={xx>4

A．−2,0 B．−2,0C．−2,0∪4 【例7.2】（2024·湖北·模拟预测）已知全集是实数集R，集合A=xx>2，B=xA．xx>2 B．C．xx≤2 D．{x|x<−2或x>2}【变式7.1】（23-24高一上·青海西宁·期末）已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＝m+1，m∈A(1)求图中阴影部分表示的集合C；(2)若非空集合D＝{x|4﹣a＜x＜a}，且D⊆（A∪B），求实数a的取值范围．【变式7.2】（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知A=x−1<x<2，

(1)求A∪B和∁R(2)若记符号A−B=xx∈A且x∉B，在图中把表示“集合A−B”的部分用阴影涂黑，并求出【题型8集合的新定义问题】【例8.1】（23-24高三上·山东济南·阶段练习）对于集合M,N，定义M−N=x|x∈M,x∉N，M⊕N=M−N∪N−M，设A=x|x≥−94A．−94,C．−∞,−9【例8.2】（23-24高一上·上海·期中）设集合S为实数集R的非空子集，若对任意x∈S，y∈S，都有x+y∈S，x−y∈S，xy∈S，则称集合①若S为“完美集合”，则一定有0∈S；②“完美集合”一定是无限集；③集合A=x④若S为“完美集合”，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是“完美集合”.其中真命题是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【变式8.1】（23-24高一下·北京丰台·期末）设n为正整数，集合A=α|α=(t1,t2,⋯,tn(1)当n=3时，若α=(1,−1,0)，β=(0, 1, 1)，求(2)当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素α,  β，当α,  β相同时，M(α, β)是奇数；当(3)给定不小于2的n，从集合A中任取n+2个两两互不相同的元素α1, α2【变式8.2】（23-24高二下·北京丰台·期末）已知集合M=1,2,⋅⋅⋅,n（n∈N*，且n≥4）．若集合A，B同时满足下列两个条件，则称集合A，B条件（1）：A∩B=∅，A∪B=M，且A，B都至少含有两个元素；条件（2）：对任意不相等的a1，a2∈A，都有a1+a2(1)当n=5时，若集合A，B具有性质P，且集合A中恰有三个元素，试写出所有的集合B；(2)若集合A，B具有性质P，且2∈B，3∈B，求证：n<14；(3)若存在集合A，B具有性质P，求n的最大值．一、单选题1．（24-25高一上·河北廊坊·开学考试）下列各组对象能构成集合的是（

）A．2023年参加“两会”的代表B．北京冬奥会上受欢迎的运动项目C．π的近似值D．我校跑步速度快的学生2．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若集合A=x|mx2+2x+m=0,m∈R中有且只有一个元素，则A．−1 B．0 C．−1,1 D．−1,0,13．（24-25高三上·广西·阶段练习）设集合A=1,2a+1，B=3,a−1,3a−2，若A⊆B，则a=（A．−2 B．1 C．2 D．34．（2024高一·全国·专题练习）已知集合A=1,2,3，B=x,yx∈A,y∈A,x+y∈A，则集合BA．4 B．8 C．16 D．325．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知集合A={x∣x<2},B=−1,0,1,3,5，则A∩B=A．0,1 B．0,1,3 C．0,1,3,5 D．−1,0,1,3,56．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）如图，已知矩形U表示全集，A、B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（

）A．∁U(A∪B) C．(∁UB)∩A7．（2024高一·全国·专题练习）已知集合A=xx≤−2或x>1，B=x2a−3<x<a+1.若A∪B=RA．aa≤12 B．a0<a≤18．（23-24高一上·湖北恩施·阶段练习）定义集合运算：A⊕B=(x,y)x2∈A,2y∈B.若集合A=B=A．∅ B．4,1 C．1,32 二、多选题9．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知不超过5的实数组成的集合为M，a=2+3A．a∈M B．a+1∉MC．1a∈M 10．（2024·湖北·模拟预测）已知集合A=1,2，B=0,1,2,3,4，集合C满足A⫋C⊆B，则（A．1∈C，2∈C B．集合C可以为1,2C．集合C的个数为7 D．集合C的个数为811．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知集合A=x|x2−2x−3<0，集合A．A∩B=x|−1<x<2 B．C．A∪(∁RB)=三、填空题12．（23-24高一下·全国·课堂例题）若集合A由0,m,m2−2m+1三个元素组成，且1∈A，则m=13．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知集合A={x|x≥1或x≤−2}，B=x|x≥a，若B⫋A，则实数a的取值范围是14．（2024高一·全国·专题练习）已知集合A=xx≤3,x∈N，B=2m−1,m,m2，C=3,m,3m−2，若四、解答题15．（2024高一·全国·专题练习）设A是非空实数集，满足若a∈A，则11−a∈A，且(1)若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素；(2)集合A是否可能只含有一个元素？如果能，请举出实例；如果不能，请说明理由.16．（23-24高三上·山东潍坊·期末）已知集合x|ax(1)若集合A是空集，求a的取值范围；(2)若集合A中只有一个元素，求a的取值范围；(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．17．（23-24高一下·上海杨浦·期中）