第09讲 对数与对数函数（秋季讲义）（人教A版2019必修第一册）

第09讲对数与对数函数【人教A版2019】模块一模块一对数1．对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有：运算数学表达式自然语言描述积的对数正因数积的对数等于同一底数的各因数的对数的和商的对数两个正数的商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数幂的对数正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂的底数的对数2．对数的换底公式及其推论(1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=.(2)换底公式的推论：①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)；

②(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)；

③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R).3．对数运算的常用技巧(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.(3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【题型1对数运算法则】【例1.1】（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知x，y为正实数，则（

）A．3lnx+lnC．3lnx⋅ln【例1.2】（23-24高二下·陕西榆林·期末）生物丰富度指数d=S−1lnN是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为A．N25=N12 B．2【变式1.1】（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式的值：(1)log2(2)log21(3)log5(4)3log(5)3log【变式1.2】（23-24高二下·湖南娄底·期末）计算下列各式的值：(1)32(2)lg8+【题型2换底公式的应用】【例2.1】（24-25高一上·全国·课后作业）计算log89×logA．4 B．53 C．14 【例2.2】（24-25高一上·全国·课后作业）设lg2=a，lg3=b，则A．b−a+1a+2b B．b+a+1a+2b C．b−a+1a−2b【变式2.1】（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式的值：(1)log4(2)log2(3)3log(4)log4【变式2.2】（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式logaN=b⇔ab=N证明换底公式：（3）利用（1）中的换底公式证明：loga模块模块二对数函数1．对数函数的定义(1)对数函数的定义：一般地，函数y=(a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+).(2)判断一个函数是对数函数的依据：

①形如y=；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+).

例如:y=是对数函数，而y=(x+1)，y=都不是对数函数.2．对数函数的图象与性质对数函数y=(a>0,且a≠1,x>0)的图象和性质如下表所示：图象性质定义域过定点函数值的变化范围当0<x<1时，y>0当0<x<1时，y<0当x=1时，y=0当x=1时，y=0当x>1时，y<0当x>1时，y>03．对数函数图象的识别及应用(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.【题型3对数函数图象的识别及应用】【例3.1】（23-24高二下·陕西宝鸡·期中）函数f(x)=log2(2x)A． B． C． D．【例3.2】（23-24高一下·浙江·期中）在同一直角坐标系中，函数y=a−x,y=logaA． B． C． D．【变式3.1】（2024高三上·全国·专题练习）已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数，其中a>0,a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是（A．a>1,c>1 B．a>1,0<c<1C．0<a<1,c>1 D．0<a<1,0<c<1【变式3.2】（23-24高一下·安徽阜阳·期末）如图，图象①②③④所对应的函数不属于y=2x−A．① B．② C．③ D．④【题型4对数函数单调性的应用——比较大小】【例4.1】（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）设a=log32，b=log5A．a>c>b B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>b【例4.2】（2024·全国·模拟预测）已知a=logA．b<a<c B．a<b<cC．a<c<b D．c<a<b【变式4.1】（24-25高三上·江苏南通·开学考试）我们知道当0<x<2或x>4时，2x>x2.若A．a>b>c B．b>a>cC．b>c>a D．c>b>a【变式4.2】（2024·江苏南京·三模）已知ea=lg3，b=lgln3，c=ln1A．c<b<a B．a<c<b C．c<a<b D．b<c<a【题型5对数函数单调性的应用——解不等式】【例5.1】（24-25高三上·北京·开学考试）设是奇函数f(x)=ln(21−x+a)，则使f(x)<0A．(−1,0) B．(0,1)C．(−∞,0) 【例5.2】（23-24高一上·北京海淀·期末）已知函数fx=log2x+1A．−∞,1 B．−1,1 C．0,1 【变式5.1】（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数fx(1)求fx(2)求关于x的不等式fx【变式5.2】（24-25高三上·陕西汉中·开学考试）已知函数f(x)=loga(3x+1)，g(x)=loga(1)求F(x)=f(x)−g(x)的定义域，并判断函数F(x)的奇偶性；(2)若f(x)−g(x)>0，求x的取值范围．模块模块三对数型复合函数1．对数型复合函数求解对数型复合函数时，先分析该复合函数的复合型式，再借助对数函数的图象和性质来研究对数型复合函数的性质，然后结合具体问题，进行求解即可.2．对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.【题型6对数型复合函数的应用】【例6.1】（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数fx=log(1)若a>1，求函数fx(2)若函数fx的最小值为−12【例6.2】（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数fx=logax+1(1)判断fx(2)若a>1，判断fx(3)当fx的定义域为1,a时，fx的值域为1,+∞【变式6.1】（23-24高一下·广东江门·期中）已知函数f(x)=log(1)求函数fx(2)判断并证明函数fx(3)求不等式fx【变式6.2】（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数fx=log3x2+ax+1a∈(2)若fx的值域为R，求a(3)设a>0，若对任意t∈0,+∞，函数fx在区间t,t+1【题型7指数、对数函数综合】【例7.1】（23-24高二下·山西吕梁·期末）已知函数fx=log(1)若a=−10，求函数fx(2)当x∈1,+∞时，fx【例7.2】（23-24高二下·浙江·期中）已知函数fx(1)求m的值；(2)若fx=log4g(3)若fx≥log4a⋅【变式7.1】（23-24高二下·辽宁辽阳·期末）已知函数fx=a(1)当a=4时，求fx在1(2)求关于x的不等式fx(3)若函数gx=8−ax,x<1f【变式7.2】（23-24高一下·浙江·期中）已知函数fx=ln(1)若fx12(2)若存在实数x，使得g4−x=−g(3)若a=0，对任意的x1，x2∈0,+∞一、单选题1．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知ax=4，loga3=y，则A．5 B．6 C．7 D．122．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知x>0，y>0，lg2x+lg4A．2 B．22 C．233．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若函数fx=log0.668−ax在区间2,4A．0,2 B．0,4 C．0,2 D．2,44．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L=L0DGG0，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（

）（参考数据：lg5．（2025·江苏南通·一模）设a=2π，b=log2πA．c>b>a B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c6．（24-25高三上·甘肃酒泉·阶段练习）已知偶函数fx满足fx−2=fx+2且在0,2上的解析式为f(x)=xA．0 B．1 C．2 D．37．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间0,+∞单调递减，若a∈R+，且满足flog3A．19,9 B．−∞,198．（2024·山西·模拟预测）记maxa,b表示a，b二者中较大的一个，函数f(x)=−x2−7x−5，g(x)=max31−x,log3(x+2)，若A．[−5,−2] B．[−4,−3] C．−92,−二、多选题9．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知a=log510，b=log2A．a+b>4 B．4C．ab+1>3+2210．（24-25高三上·江苏盐城·开学考试）已知函数fx=logA．∃a∈R，使得fB．若fx的定义域为R，则C．若fx在区间−∞，1上单调递增，则D．若fx的值域是−∞，11．（24-25高三上·山西大同·开学考试）已知函数f(x)=loga(x+1)A．f(x)的图象恒过某个定点B．f(x)在(−1,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增C．f(x)图象上存在两个不同的点关于D．若对任意x∈−12,2，f(x)<1三、填空题12．（24-25高三上·北京·阶段练习）计算ln1+lg2−lg13．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=log2x，则f(−4)=14．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数fx是定义在R上的偶函数，且在区间−∞,0上单调递减，若实数a满足flog2a+f四、解答题15．（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）对下列式子求值：(1)27(2)log16．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数f(x)=log(1)求实数a的值；(2)若函数g(x)=22x+2−2x17．（24-25高一上·上海·随堂练习）有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵．科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v=12log