第07讲 函数性质的综合应用（秋季讲义）（人教A版2019必修第一册）（含答案解析）VIP

第07讲函数性质的综合应用【人教A版2019】模块一模块一函数的单调性与最值1．函数单调性的判断(1)定义法；(2)图象法；(3)简单函数单调性；(4)单调性的四则运算：增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减；(5)复合函数：函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.2．函数单调性的应用函数单调性的主要应用有以下几个方面：(1)利用函数的单调性求参数；(2)利用函数的单调性比较大小；(3)利用函数的单调性解不等式.3．利用函数的单调性求参数的方法(1)已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.(2)借助常见函数(如一次函数、反比例函数、二次函数等)的单调性求解.需注意，若一个函数在区间[a,b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.4．利用函数的单调性比较大小的方法利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量的值转化到同一个单调区间上.

5．利用函数的单调性解不等式的方法解关于的不等式时，可利用函数的单调性脱去“f”，转化不等式，进行求解即可.6．求函数最值的三种基本方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.【题型1函数的单调性的综合应用】【例1.1】（23-24高一上·北京·期中）已知函数fx=−x2−ax−5,x≤1aA．−∞,−2 B．−∞,0 C．【解题思路】根据函数在各段单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值得到不等式组，解得即可.【解答过程】因为函数fx=−所以a<0−a2≥1−1−a−5≤a，解得−3≤a≤−2故选：D.【例1.2】（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）已知函数fx在3,+∞上单调递减，且fx的图象关于直线x=3对称，则a=f0.2，A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．b>a>c【解题思路】结合函数的对称性及单调性即可比较大小【解答过程】因为函数fx在3,+∞上单调递减，且fx的图象关于直线x=3对称，所以函数f因为0<0.2<2，所以f(0)<f(0.2)<f(2)，即c<a<b；故选：D.【变式1.1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数fx的定义域为R，对任意实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)−1，当x>0时，f(x)>1，且f(2)=5，则关于x的不等式f(x)+f(4−3x)<6的解集为（

A．1,+∞ B．2,+∞ C．−∞，【解题思路】根据题意利用定义证明函数在R上单调递增，继而转化不等式，求解即可.【解答过程】任取x1从而f(=f(x因为x2−x所以f(x则fx在R不等式f(x)+f(4−3x)<6等价于不等式f(x)+f(4−3x)−1<5，即f(x+4−3x)<f(2)．因为fx在R所以4−2x<2，解得x>1．故选：A.【变式1.2】（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）定义在0,+∞上的函数fx满足：对∀x1,x2∈0,+∞，且A．4,+∞ B．0,4 C．0,2 D．【解题思路】构造函数gx=fxx，由单调性的定义可判断得gx在【解答过程】令gx=fxx，因为对∀x1不妨设0<x1<x2，则x即gx1<gx2，所以gx在故fxx>12可化为g即不等式fxx>故选：A.【题型2函数的最值问题】【例2.1】（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知函数fx=x2−1,x≤1axA．112,+∞C．112,1【解题思路】先根据端点处的函数值，然后讨论a>0以及a<0,a=0，即可得出实数a的取值范围.【解答过程】由已知可得x≤1,fx=x2−1,显然f(x)所以f(x)在x=0处取得最小值，f0当x>1时，f(x)=ax2−x+2当a>0,12a>1，即0<a<12时，f(x)所以f(x)在x=12a处取得最小值f1当a>0,0<12a≤1，即a≥12时，f(x)=a所以f(x)在x=1处取得最小值，f1=a−1+2≥−1，解得当a<0时，f(x)=ax2−x+2开口向下，则f(x)在1,+当a=0时，f(x)=−x+2，易得f(4)=−2<−1，不满足题意；综上，a≥1故选：A.【例2.2】（23-24高一上·重庆·期末）已知函数f(x)=x+4x(x>0)，记该函数在区间[t−1,t](t>1)上的最大值与最小值的差值为g(t)，则g(t)A．17−2 B．1 C．13 【解题思路】根据f(x)=x+4x(x>0)的单调区间，分1<t≤2、t≥3、2<t≤【解答过程】因为f(x)=x+4x(x>0)在0,2若t−1>0t≤2，即1<t≤2时，则f(x)在[t−1,t]所以g(t)=f(t−1)−f(t)=4t(t−1)−1若t−1≥2，即t≥3，则f(x)在[t−1,t]上单调递增，所以g(t)=f(t)−f(t−1)=1−4t(t−1)，此时g(t)的最小值为若t>2且f(t−1)≥f(t)，即2<t≤1+则f(x)在[t−1,2]上单调递减，在[2,t]上单调递增，所以g(t)=f(t−1)−f(2)=t−5+4t−1，此时g(t)的最小值为若t<3且f(t)≥f(t−1)，即1+172≤t<3，则f(x)在[2,t]上单调递增，所以g(t)=f(t)−f(2)=t+4t−4，此时g(t)综上，g(t)的最小值为17−4故选：D.【变式2.1】（2024高一上·浙江宁波·专题练习）已知函数fx=−2x2+bx+c(1)求实数b⋅c的值；(2)设0<m<n，若当m≤x≤n时，fx的最小值为1n，最大值为1m，求m【解题思路】（1）依题意可得b4=1f1=1（2）由（1）可得fx=−2x−12+1，即可得到m≥1，从而得到fm=1m且fn=1n【解答过程】（1）因为fx=−2x2+bx+c则b4=1f1=−2+b+c=1，解得b=4c=−1则fx≤1，又0<m<n，所以1m所以当m≤x≤n时fx所以fm=−2m−1所以m，n是关于x的方程−2x−1即x−12解方程得x1=1，x2又1≤m<n，所以m=1，n=1+【变式2.2】（23-24高一上·上海虹口·期末）已知f(x)是定义在R上的奇函数，且x≥0时有f(x)=x(1)写出函数f(x)的单调区间（不要证明）；(2)解不等式f(x)≥3；(3)求函数f(x)在[−m,m]上的最大值和最小值．【解题思路】（1）根据题意，由函数的解析式结合函数的奇偶性可得f(x)的单调区间；（2）根据题意，由函数的奇偶性可得函数f(x)的解析式，则有f(x)≥3⇒x2−4x≥3（3）由函数的解析式可得在区间(−∞,−2)上为增函数，在(−2,2)上为减函数，在(2,+∞【解答过程】（1）根据题意，f(x)是定义在R上的奇函数，且x≥0时有f(x)=x则f(x)的单调递增区间为(−∞,−2],[2,+∞)，递减区间为[−2（2）f(x)是定义在R上的奇函数，且x≥0时有f(x)=x设x<0，则−x>0，则f(−x)=(−x)则f(x)=−f(−x)=−x综合可得：f(x)=x若f(x)≥3⇒x2−4x≥3x≥0或−x2则不等式f(x)≥3的解集为[−3,−1]∪[2+7（3）由（2）的结论，f(x)=x2−4x,x≥0−x2−4x,x<0对于区间[−m，m]，必有m>−m，解可得m>0；故当0<m≤2时，f(x)max=f(−m)=−当2<m≤2+22，时，f(x)max=f(−2)=4，当m>2+22时，f(x)max模块模块二函数的奇偶性及其应用1．函数的奇偶性(1)定义：定义偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数.奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数.非奇非

偶函数既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数.定义域

特征定义域必须是关于原点对称的区间.等价

形式设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔x∈I，-x∈I，且

f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔x∈I，-x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立.(2)奇偶函数的图象特征（几何意义）①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.2．函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.(3)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．(4)复合函数的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇．(5)常见奇偶性函数模型奇函数：=1\*GB3①函数或函数．=2\*GB3②函数．=3\*GB3③函数或函数=4\*GB3④函数或函数．3．函数奇偶性的应用函数奇偶性的主要应用有三个方面：(1)利用函数的奇偶性求值、求解析式：根据题目条件，利用函数的奇偶性，进行转化求解；(2)利用函数的奇偶性求参数：①若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程；②一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(-x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值.(3)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.【题型3函数奇偶性的判断】【例3.1】（23-24高一上·北京·期中）下列函数中为偶函数的是（

）A．y=x B．C．y=x2+1【解题思路】利用偶函数的定义，逐项判断即得.【解答过程】对于A，函数y=x的定义域为[0,+∞)对于B，函数y=x的定义域为R，是奇函数，B不是；对于C，函数y=x2+1的定义域为R，(−x)2+1=x故选：C.【例3.2】（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）下列说法中错误的是（

）A．函数y=2B．函数y=xC．函数y=x2，D．函数y=(x−1)【解题思路】根据奇偶函数的定义进行判定即可.【解答过程】对于A，函数y=2x的定义域为又f−x=2−x，fx对于B，函数y=x2的定义域为又f−x=−x2=x2对于C，函数y=x2的定义域为所以函数y=x2，对于D，函数y=(x−1)2+4又f−x=(−x−1)2+4，f因此函数y=(x−1)所以选项中C的说法不正确，故选：C.【变式3.1】（2024·西藏·模拟预测）若函数fx=x−xA．fx+1−2 B．fx−1−2 C．【解题思路】变形得到fx=x+1+1【解答过程】因为fx所以fx−1由于gx=x+1又g−x=−x−1x=−gx其他选项均不合要求.故选：C．【变式3.2】（23-24高三上·山东济宁·期中）已知函数f(x)的定义域为R，满足f(x+y)−[f(x)+f(y)]=2023，则下列说法正确的是（

）A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数C．f(x)+2023是偶函数 D．f(x)+2023是奇函数【解题思路】通过对x,y的赋值，结合奇函数、偶函数的概念逐项判断额.【解答过程】由题意知，在函数f(x)中，f(x+y)−[f(x)+f(y)]=2023，当x=y=0时，f(0)−[f(0)+f(0)]=2023，解得f(0)=−2023，若函数f(x)是R上的奇函数，则该函数的图象必过原点，即有f(0)=0，故B错误.当y=−x时，f(0)−[f(x)+f(−x)]=2023，解得f(x)+f(−x)=−4046，无法得到f(x)=f(−x)，故A错误.在函数f(x)+2023中，f(0)+2023=0,f(x)+2023+f(−x)+2023=0，所以f(x)+2023是奇函数，故C错误，D正确.故选：D.【题型4函数的奇偶性的综合应用】【例4.1】（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知函数f(x+2)是偶函数，定义域为R，且满足f(x)+f(8−x)=2，其中f(5)=−1，则f(2025)=（

）A．3 B．−3 C．1 D．−1【解题思路】由题意根据函数满足的条件等式，推出函数的一个周期，可得f2025=f(1)，再利用赋值法求出f3，进而求出f【解答过程】由题意知定为域为R的函数fx满足f(x+2)即f(x+2)=f(−x+2)，所以fx的图象关于直线x=2又因为f(x)+f(8−x)=2，所以fx的图象关于点4,1所以函数fx的一个周期为8故f2025=f253×8+1=f(1)，因为则f(3)=3，又f(1+2)=f(−1+2)，即f(3)=f(1)，所以f(2025)=3.故选：A.【例4.2】（23-24高二下·福建福州·期末）已知fx=2x+m,x>0nx+1,x<0为奇函数，则A．1 B．2 C．0 D．−1【解题思路】利用奇函数的性质建立方程，求解参数，再求值即可.【解答过程】因为fx=2x+m,x>0所以2+m−n+1=0，而f2=−f−2解得m=−1,n=2，经验证符合题意，所以m+n=1，故A正确.故选：A.【变式4.1】（23-24高一上·辽宁大连·期末）函数fx=xA． B．C． D．【解题思路】求函数定义域，研究其奇偶性及f(1【解答过程】因为f(x)=x2x2−2定义域为{x|x≠−1所以f(x)为奇函数，则f(x)图象关于原点对称，故排除B项、D项，又f(1故选：A.【变式4.2】（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）若定义在R上的奇函数fx在−∞,0上单调递减，且f2=0，则满足xfA．−1,1∪3,+∞C．−1,0∪0,+∞【解题思路】根据题意，得到函数fx的单调性及f【解答过程】由题意，定义在R上的奇函数fx在−∞,0则fx在0,+∞上单调递减，且f−2所以当x∈−∞,−2当x∈−2,0∪2,+所以由xfx−1x<0−2≤x−1≤0或x−1≥2或x>0解得−1≤x<0或1≤x≤3或x=0，即−1≤x≤0或1≤x≤3，所以满足xfx−1≥0的x的取值范围是故选：D.模块模块三函数的周期性与对称性1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；(4)若f(x+a)=，则T=2a；(5)若f(x+a)=，则T=2a；(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);2．对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称.【题型5函数的对称性的应用】【例5.1】（23-24高二下·浙江丽水·期末）已知函数fx的定义域为R，fx的图象关于1,0中心对称，f2x+2A．f0=0 B．f12=0【解题思路】根据对称性定义，再加赋值可解.【解答过程】fx的图象关于1,0中心对称，则ff2x+2是偶函数，则f则fx的图象关于x=2轴对称，则f令x=1代入（∗）得，f1=−f1，解得f故选：D.【例5.2】（2024·四川·三模）定义在R上的函数y=fx与y=gx的图象关于直线x=1对称，且函数y=g2x−1+1为奇函数，则函数A．−1,−1 B．−1,1 C．3,1 D．3,−1【解题思路】先根据条件得到gx的对称中心，再根据对称得到y=f【解答过程】因为y=g2x−1+1为奇函数，所以即g−2x−1故gx的对称中心为−2x−1+2x−12,−1由于函数y=fx与y=gx的图象关于直线且−1,−1关于x=1的对称点为3,−1，故y=fx的对称中心为3,−1故选：D.【变式5.1】（2024高二上·安徽阜阳·竞赛）已知函数fx在定义域R上单调递减，且函数y=fx−1的图象关于点A1,0对称．若实数t满足ft2A．12,+∞ B．−∞,1【解题思路】根据函数的对称性、单调性、奇偶性得到ft2−2t【解答过程】解：∵y=f(x−1)的图象关于点A(1,0)对称，∴y=f(x)的图象关于原点对称，∴f(x)为奇函数．∵ft∴ft∵f(x)在R上是减函数，∴t∴−1<t<3，∵y=t−1t−3=1+2故选：B.【变式5.2】（23-24高一下·湖北·开学考试）已知fx是定义在R上的函数在0,+∞上单调递减，且f2=0，函数y=fx+2的图象关于点−2,0A．−∞,−1∪C．−1,1∪3,+∞【解题思路】先根据函数的性质作出简图，结合函数图象可得不等式的解集.【解答过程】由函数y=fx+2的图象关于−2,0对称可得fx图象关于所以fx为R上的奇函数，则f要解x+1f1−x≥0，即x+1当x+1≥0时，即x≥−1时，fx−1≤0，所以−2≤x−1≤0或者x−1≥2，解得−1≤x≤1或当x+1<0时，即x<−1时，fx−1≥0，所以x−1≤−2综上可得不等式x+1f1−x≥0故选：D.【题型6对称性与周期性的综合应用】【例6.1】（24-25高三上·辽宁·开学考试）已知定义在R上的函数fx，对∀x∈R，都有fx+4=−fx+4，若函数fx−1的图象关于直线A．−2 B．−1 C．2 D．1【解题思路】先由函数图象平移的性质得到f(x)为偶函数，再利用函数周期性的判定得到f(x)为周期函数，进而利用赋值法即可得解.【解答过程】因为函数f(x−1)的图象关于直线x=1对称，又f(x)的图象由f(x−1)的图象向左平移一个单位长度得到，所以f(x)的图象关于直线x=0对称，故f(x)为偶函数，因为f(x+4)=−f(x)+4，所以f(x+8)=−f(x+4)+4=−[−f(x)+4]+4=f(x)，所以f(x)是以8为一个周期的偶函数，所以f(4050)=f(8×506+2)=f(2)，由f(2)=f(−2+4)=−f(−2)+4=−f(2)+4，得f(2)=2，则f(4050)=2.故选：C.【例6.2】（24-25高三上·重庆·开学考试）已知函数fx的定义域为R，且f2x−1的图象关于直线x=1对称，f3x+2A．f72 B．f2024 C．f【解题思路】运用已知条件得到fx关于x=1对称，也关于(2,0)对称，进而得到周期4.再用赋值法，得到f(0)=f(2)=f(4)=0.进而得到f【解答过程】f2x−1的图象关于直线x=1对称，则f即f2x−1=f2(−x+2)−1=f(−(2x−1)+2)，令则fx也关于x=1f3x+2是奇函数，则f3x+2+f(−3x+2)=0令t=3x+2，则ft+f(−t+4)=0，则fx也关于(2,0)对称.且令t=2由前面知道ft=f(−t+2)=−f(−t+4)，且令t=0，则且f(−t+2)=−f(−t+4)=−(−f(−t+6))=f(−t+6)，令m=−t+2，则f(m)=f(m+4)，故fx周期为4.则f2024=f(0)=0.f故选：B.【变式6.1】（23-24高二下·云南玉溪·期中）已知定义在R上的函数fx满足fx−2=−fx，且函数A．fxB．fxC．fxD．fx的图象关于点2025,0【解题思路】对于A，根据函数周期性的定义分析判断，对于BC，根据函数奇偶性的定义结合题意分析判断，对于D，根据函数的周期性、偶函数和对称性分析判断即可.【解答过程】对于A，因为定义在R上的函数fx满足f所以f(x)=−f(x+2)，所以f(x+2)=−f(x+4)，所以f(x)=f(x+4)，所以fx对于BC，因为fx−2=−fx因为函数y=f2x−1为奇函数，所以f(2x−1)=−f(−2x−1)所以f(x−1)=−f(−x−1)，所以fx的图象关于点(−1,0)所以f(−x−2)=−f(x)，所以f(−x)=f(x)，所以fx对于D，因为fx为偶函数，fx的图象关于点所以fx的图象关于点(1,0)因为fx的一个周期是4，所以fx的图象关于点即fx的图象关于点2025,0故选：D.【变式6.2】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知定义在R上的函数fx满足f2x+6=f−2x，且①f(2024)=1；②fx的图象关于直线x=−3③fx④k=12025其中结论正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据所给等式，结合赋值法推导出函数的对称轴及周期，再逐项分析即可.【解答过程】因为fx−1所以fx+1所以fx−1=fx+3所以fx令x=−1，得f−2则f0=0，从而因为f2x+6所以fx+6所以f−x所以fx的图象关于直线x=−3易得fx的周期为4，且其图象关于直线x=−3及x=3则直线x=−3+4n及x=3+4nn∈Z均为f从而f−2令x=32，得即f1则f1故k=1=1−2−3+4故选：C.【题型7抽象函数的性质】【例7.1】（23-24高一下·贵州遵义·期末）已知函数fx的定义域为R，fx+y=fA．f0=0 B．函数C．若f2=2，则f2024=−2 D．函数【解题思路】对A，赋值法令x=y=0求解；对B，赋值法结合奇函数的定义判断；对C，令y=2求得函数的周期求解；对D，利用单调性定义结合赋值法求解判断.【解答过程】对于A，令x=y=0，可得f0=f0对于B，令y=−x，可得f0=fx则f−x−2=−fx对于C，令y=2，得fx+2=fx+f2对于D，令x=x1，y=x2−即fx2−fx1故选：B.【例7.2】（2024·广西玉林·三模）函数fx对任意x，y∈R总有fx+y=fx+fy，当x<0A．fx是偶函数 B．fC．fx在−6,6上的最小值为−2 D．若fx+fx−3【解题思路】利用赋值法，结合函数奇偶性的定义，即可判断A；根据函数单调性的定义，结合条件，即可判断B；根据函数的单调性，和奇偶性，以及条件，即可判断C；不等式转化为f2x−3【解答过程】解：取x=0，y=0，则f0=f0+f0则f0=fx+f−x令x1，x2∈R，且x1<x2，则则fx1−f函数fx因为函数fx是R上的增函数，所以函数fx在−6,6上的最小值为f−6=f−3+f−3故f−6=−2，fxfx+fx−3因为函数fx是R上的增函数，所以2x−3≥−3，所以x≥0所以实数x的取值范围为0,+∞故选：C．【变式7.1】（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知fx定义域为R，对任意x,y∈R都有fx+y=fx+fy(1)试判断fx在R(2)解不等式：f【解题思路】（1）由单调性的定义结合已知条件证明即可（2）结合条件将所求不等式化为f2【解答过程】（1）函数fx在R任取x,y∈R，且x可得f=1−fx因为x2−x1>0所以fx所以f即fx所以fx在R（2）令y=x，得f2x∴2fx∴f∴f2又fx在R上的单调递减且∴f2∴2x2∴−1即不等式解集为x−【变式7.2】（23-24高一上·河北保定·阶段练习）已知函数f(x)定义域为−1,1，若对任意的x,y∈−1,1，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x>0时，f(x)<0（1）判断f(x)的奇偶性；（2）讨论f(x)的区间−1,1上的单调性；（3）设f(1)=−4，若f(x)<m2−2am+1，对所有x∈[−1,1]，a∈[−1,1]恒成立，求实数m的取值范围.【解题思路】（1）首先令x=y=0得到f(0)=0，再令y=−x得到f(−x)=−f(x)（2）首先设任意−1≤x1<（3）根据题意得到f(x)的最大值为f(−1)=4，再根据m2【解答过程】（1）因为有f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=y=0，得f(0)=f(0)+f(0)，所以f(0)=0，令y=−x可得：f(0)=f(x)+f(−x)=0，所以f(−x)=−f(x)，所以f(x)为奇函数.（2）由题意设−1≤x因为f(x)是定义在[−1,1]上的奇函数，则f(因为x>0时，有f(x)<0，所以f(x2−所以f(x)是在[−1,1]上为单调递减函数；（3）因为f(x)在[−1,1]上为单调递减函数，所以f(x)在[−1,1]上的最大值为f(−1)=−f(1)=4，所以要使fx<m只要m2−2am+1>4，即令g(a)=由g(−1)>0g(1)>0得2m+所以m<−3或m>3.【题型8函数性质的综合应用】【例8.1】（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数fx(1)求f3(2)当a>0时，试运用函数单调性的定义判定fx(3)设gx=fx−2，若gx≥2【解题思路】（1）直接代入求解即可.（2）利用单调性定义法证明即可.（3）根据a>0与a<0时的单调性，求解不等式在定区间上有解问题即可.【解答过程】（1）因为fx所以f3（2）当a>0时，设x1<xfx显然，x1当x1,x2有一个值为0时，因为当x1<x2<0当x1<0<x2时，当0<x1<x2综上，当x1<x当a>0时，fx在R（3）由上知当a>0时，ft在R同理可证明：当a<0时，ft在R令x−2=t，所以x=t+2，可得，fx−2≥2在−2≤x≤5时有解，等价于ft当a>0时，由ft的单调性知ftmax=f3当a<0时，由ft的单调性知ftmax=f−4当a=0时，无解；综上，a的取值范围这a≥103或【例8.2】（23-24高一上·山东青岛·期中）已知函数fx=ax+b(1)求实数b的值；(2)当a>0时，用单调性定义判断函数fx在区间1,+(3)当a=1时，设gx=mx2−2x+2−m，若对任意的x1∈【解题思路】（1）利用奇函数性质求解参数并检验；（2）利用单调性的定义按照步骤证明即可；（3）由题意函数fx+12在1,3上的值域为函数gx【解答过程】（1）因为函数fx=ax+b1+x经检验fx=ax（2）由（1）可得fx=ax1+x证明：任取x2fx再根据x2>x1>1，可得1+x1又a>0，所以fx1−f所以函数fx在区间1,+（3）若对任意的x1∈1,3，总存在x则函数fx+12在1,3上的值域为函数因为函数fx在1,3上单调递减，则当x∈1,3时，fx所以，记函数fx+12在区间当m=0时，gx=−2x+2在则gxmax=g0=2，gxmin因为A⊆B，所以对任意的x1∈1,3，总存在x当m<0时，gx为开口向下的二次函数，对称轴x=所以gx在0,1上单调递减，则gxmax所以gx在区间0,1内的值域为B=因为A⊆B，所以2−m≥1，所以m≤1，所以m<0，当m>0时，（i）当0<m≤1时，1m≥1，gx在0,1则gxmax=g0=2−m，gxmin=g因为A⊆B，所以对任意的x1∈1,3，总存在x（ii）当1<m≤2时，12≤1m<1，g则gxmax=g得gx在区间0,1内的值域为B=所以−1（iii）当m>2时，0<1m<12，g则gxmax=g得gx在区间0,1内的值域为B=综上，实数m的取值范围为m≤1.【变式8.1】（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数fx=x+bx(1)求函数fx(2)判断函数fx(3)设gx=fx−1+2，当∃x【解题思路】（1）利用题给条件列出关于a、b的方程，解之即可求得a、b的值，进而得到函数fx（2）利用函数单调性定义去证明函数fx在−1,1（3）利用函数fx在12,1上为增函数，构造关于实数m【解答过程】（1）由fx在−1,1所以f0=ba由f1=11+a=（2）函数fx在−1,1上增函数，证明如下：设∀∈x1则fx又x1<x2，所以x1所以x1−x故函数fx在−1,1（3）∃x1,即∃x1,即fm∵fx2min使得fm∃x1∈即∃x1∈12即m>−x1当x1∈12即m>2且1≤m≤5，解得：2<m≤5.【变式8.2】（23-24高一上·辽宁大连·期末）若函数f(x)在定义域R上满足f(x)+f(y)=f(x+y)，且x>0时f(x)>0,定义域为−2,2的(1)求证：函数f(x)在定义域上单调递增.(2)若在区间−1,1上，f(x)+g(x)=−x2+x+1；g(x)（i）求函数f(x)和函数g(x)在区间−2,（ii）若关于x的不等式g(x1)−g(x2)af(x1)−af(x【解题思路】（1）令x1>x（2）（i）由题设函数f(x)为奇函数，且−f(x)+g(x)=−x2−x+1，即可求x∈[−1,1]上f(x),g(x)，再应用奇偶性、对称性求区间−2,2上的解析式；（ii）根据题设可得ℎ(x)=g(x)−af(x)在−2≤x<t上单调递减，写出ℎ(x)的分段形式，结合二次函数性质，讨论0<a≤2、2<a<4【解答过程】（1）任取x1,xf(x因为x1>x2，所以x所以函数f(x)在定义域上单调递增.（2）（i）令f(x)+f(y)=f(x+y)中x=y=0，则2f(0)=f(0)，f(0)=0.令y=−x，f(x)+f(−x)=f(0)，即f(−x)=−f(x)且函数f(x)定义域为R，所以函数f(x)为奇函数.由f(x)+g(x)=−x2+x+1联立两式，可得f(x)=x,g(x)=−x所以g(x)=−x2+1，且x∈[−1,1]令1<x≤2，则0≤2−x<1，故g(x)=−g(2−x)=(2−x)令−2≤x<−1，则1<−x≤2，故g(x)=g(−x)=(2+x)综上，g(x)=(x+2)对f(x)在−2,−1)∪1,2的部分，存在则f(x)=a+b=f(a+b)，所以f(x)=x对x∈−2（ii）g(x1)−g(则ℎ(x)=g(x)−af(x)在−2≤x<t上单调递减，ℎ(x)=x若−2≤−4−a2<−1，即0<a≤2，此时ℎ(x)在−2≤x≤−若−1≤−4−a2<0，即2<a<4，此时−a即ℎ(x)在定义域x∈−2,2综上所述，t=a−4一、单选题1．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）函数y=x33A． B．C． D．【解题思路】根据函数式可确定函数奇偶性，可排除C选项，再根据，x=12，x=2时【解答过程】由题意知fx=y=x则f−x=−x又因当x=12时，则当x=2时，则f2故选：A.2．（24-25高三上·山东青岛·开学考试）设fx=x+a2,x≤0x+1x+a,x>0A．−1,0 B．−1,2 C．−2,−1 D．−2,0【解题思路】根据分段函数的最值，结合二次函数和基本不等式，二次不等式求解.【解答过程】由于fx=x+a2,x≤0x+1x+a,x>0则(−∞,0]为减区间，即有a≤0，则a2≤x+1x+a,x>0恒成立.由x+综上，a的取值范围为−1,0.故选：A.3．（23-24高三下·安徽黄山·阶段练习）设函数f(x)的定义域为R，且f(x+2)为奇函数，f(2x+1)为偶函数，则（

）A．f(−1)=0 B．f(−12)=0 C．f(1)=0【解题思路】由f(x+2)为奇函数可得fx+2=−f−x+2，即可得f2=0，由f(2x+1)为偶函数，则有f【解答过程】由f(x+2)为奇函数，则有fx+2则f2=−f2由f(2x+1)为偶函数，则有f2x+1=f−2x+1则fx+2=f−x即f0A、B、C都不能得到，故A、B、C错误.故选：D.4．（24-25高三上·四川泸州·开学考试）已知分段函数fx=x2−2x，x≥0A．−∞,0 C．−1,0 D．−【解题思路】通过分段函数的单调性，结合区间，转化求解m的取值范围即可.【解答过程】分段函数fx

函数的单调增区间为：−∞,0，所以分段函数fx=x2−2x，x≥0−x2+2x，故选：D.5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数fx是定义域为−∞,+∞的奇函数，满足f2−x=f2+xA．－2 B．0 C．2 D．4【解题思路】根据函数为奇函数及函数图象关于x=2轴对称可得函数周期为8，再求出一个周期内函数值的和，即可得解.【解答过程】因为fx是奇函数，f2−x=f2+x，所以所以fx+4故fx+8=fx+4+4由奇函数知f0=0，f4=f2+2f6=f2+4=f2−4所以f1由于2024=253×8，所以f1故选：B.6．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）定义在(0,+∞)上的函数y=f(x)满足：∀x1,x2∈(0,+∞A．(12,+∞) B．(0,12) C．(0,4) 【解题思路】令g(x)=f(x)x，根据单调性的定义得到g(x)=f(x)x在【解答过程】因为对任意的x1,x2∈即对任意两个不相等的正实数x1,x2，不妨设所以有fx1x则函数g(x)=f(x)x在(0,+∞当x>0时，不等式f(x)>3x等价于f(x)x>3，即g(x)>g(4)，解得0<x<4，所以不等式f(x)>3x的解集为故选：C.7．（23-24高二下·吉林长春·期末）已知fx，gx是定义域为R的函数，且fx是奇函数，gx是偶函数，满足fx+gx=axA．0,+∞C．−34,【解题思路】根据奇偶函数构造方程组求出gx的解析式，再根据题意得到ℎx=a【解答过程】由题意可得f−x因为fx是奇函数，g所以−fx联立fx+gx又因为对于任意的1<x1<所以gx所以gx构造ℎx所以由上述过程可得ℎx=ax（1）若a<0，则对称轴x0=−3（2）若a=0，则ℎx=3x+2在（3）若a>0，则对称轴x0综上，a∈−故选：D.8．（24-25高二上·江苏·开学考试）若函数fx是定义域为R的奇函数，且fx+2=−fx，A．f3=−1B．fxC．fx的图象关于直线x=1D．f【解题思路】对于A：根据fx+2=−fx，赋值令x=1，即可得结果；对于C：根据fx+2=−fx结合奇函数定义可得【解答过程】因为fx+2=−fx对于选项A：令x=1，可得f3对于选项C：因为函数fx是定义域为R的奇函数，则f则fx+2=−fx=f−x对于选项B：因为fx+2=f−x则fx+2即fx+2+f−x+2=0，所以对于选项D：因为fx+2令x=0，可得2f2令x=1，可得f3又因为fx+2=−fx可知4为fx的周期，可得f2+f因为2024=4×506，所以f1故选：D.二、多选题9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数fx=x+axa>0在2,4A．4 B．12 C．6−42 D．【解题思路】根据对勾函数的单调性，对a进行分类讨论，从而得到a的可能取值.【解答过程】依题意可得fx=x+axa>0当a≤2，即0<a≤4时fx在2,4上单调递增，所以fxmin=f2=2+a当a≥4，即a≥16时，fx在2,4上单调递减，所以fx所以fxmax−f当2<a<4，即4<a<16时fx在2,所以fxmin=f若4+a4>2+a2且4<a<16所以fxmax−fxmin若4+a4≤2+a2且4<a<16所以fxmax−fxmin综上可得a=6+42或a=4故选：AD.10．（23-24高二下·山东威海·期末）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，当x>0时，f(x)>0，f(2)=4，则（

）A．f(5)=10 B．f(x)为奇函数C．f(x)在R上单调递减 D．当x<−1时，f(x)−2>f(2x)【解题思路】A选项，赋值法得到f1=2，f(4)=f(2)+f(2)=8，f(5)=10；B选项，先赋值得到f0=0，令y=−x得f(x)+f(−x)=0，故B正确；C选项，令x=x1,y=x2−x1，且x2>x【解答过程】A选项，f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=y=1得，f(2)=f(1)+f(1)，又f(2)=4，故f1令f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=y=2得f(4)=f(2)+f(2)=8，令x=4,y=1得f(4+1)=f(4)+f(1)=8+2=10，即f(5)=10，A正确；B选项，f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=y=0得f(0)=f(0)+f(0)，解得f0f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=−x得f(x)+f(−x)=f0=0，故C选项，f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=x1,y=故f(x1+当x>0时，f(x)>0，故f(x即f(x2)>f(D选项，f1=2，又x<−1，故x−1>2x，又f(x)在R上单调递增，所以f(x)−2>f(2x)，D正确.故选：ABD.11．（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）若定义在R上的函数fx，gx满足f1+x+f1−x=0，A．fx是偶函数 B．gC．f1+f2【解题思路】利用fx+3+gx=2与fx+g1−x=2得到fx+3=f1−x，然后利用f1+x+f1−x=0，得到fx的周期性，然后得到【解答过程】因为fx+g1−x又因为fx+3+gx又f1+x+f1−x即fx+2=−fx，所以f因为fx+3+gx因为f1+x+f1−x=0，则所以f−x=fx因为fx+2=−fx，令x=1，得f令x=2，得f4=−f2故f1由gx=2−fx+3=8−f所以n=120故选：ABC．三、填空题12．（23-24高一下·全国·课后作业）已知定义在a−2,a2上的函数y=fx是奇函数，则实数a的值为−2或【解题思路】根据奇函数的定义域关于原点对称的性质列方程求a即可．【解答过程】因为y=fx，x∈又奇函数的定义域关于原点对称，所以a2+a−2=0，解得a=−2或a=1，故答案为：−2或1．13．（23-24高二下·福建三明·期末）已知fx是定义域为R的函数，fx−1的图象关于点1,0对称，且fx−1=fx+3，当x∈−2,0时，f【解题思路】由平移变换确定函数fx为奇函数，进而结合周期求出f【解答过程】因为