高等数学（第三版）课件：级数

级数第一节无穷级数的概念与性质一、无穷级数的概念二、无穷级数的性质定义1

若有一个无穷数列

u1，u2，u3，

，un，

此无穷数列构成下列表达式

u1+u2+u3++un

+(1)称以上表达式为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数，记为其中第n项un叫作级数的一般项或通项.

一、无穷级数的概念级数(1)的前n项相加得到它的前n项和，记作Sn.即：

我们以级数的前n项和作为研究无穷多项和的基础.由级数(1)的前n项和，容易写出：定义2

如果级数部分和数列有极限s，即则称无穷级数收敛.s称为此级数的和.且有若无极限，则称无穷级数发散.注意:称为级数的余项，

为代替s所产生的误差

.

二、收敛级数的基本性质性质1

若级数收敛于和s，则它的各项同乘以一个常数k所得的级数也收敛，且其和为ks.性质2

如果级数、分别收敛于即性质3

在级数前面加上或去掉有限项，不影响级数的敛散性.性质4

如果级数收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变.注意：发散级数加括号后有可能收敛，即加括号后级数收敛，原级数未必收敛.推论：如果加括号以后所成的级数发散，则原级数也发散.性质5(收敛的必要条件)如果收敛，则它的一般项趋于零，即级数结论：由此我们可得注意:

级数收敛的必要条件常用于级数发散的判定.第二节正项级数及其敛散性一、正项级数及其收敛的充要条件二、正项级数收敛的比较判别法三、正项级数收敛的比值判别法

一、正项级数及其审敛法定义

设级数的每一项都是非负数,则称此级数是

显然,正项级数的部分和{sn}数列是单调增加的，即正项级数.定理1

正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列{sn}有界.证明:这是一个正项级数，其部分和为:故{sn}有界，所以原级数收敛.定理2(比较审敛法)设和都是正项级数，且若级数收敛，则级数收敛；反之，若级数发散，则级数也发散.

二、正项级数收敛的比较判别法则有：若发散，则也发散;且当时，有成立，则有：若收敛，则也收敛.推论设级数和是两个正项级数，且存在自然数N，使当时，有（k>0)成立，例2

判定p-级数的敛散性.常数p>0.由此可得结论，p级数当时发散，p>1时收敛.由比较判别法可知，所给级数也发散.而级数是发散的；定理４(达朗贝尔比值判别法)设为正项级数，如果(1)当时，级数收敛；(3)当时，级数可能收敛，可能发散.(2)当()时，级数发散.

三、正项级数收敛的比值判别法例7

判别级数解:由比值判别法可知所给级数发散.此时，比值判别法失效，用其他方法判定;第三节绝对收敛与条件收敛一、交错级数及其敛散性二、绝对收敛与条件收敛

一、交错级数及其审敛法定义正负项相间的级数，称为交错级数.定理1(莱布尼兹定理)

则级数收敛，且其和，并且其余项

的绝对值:(1)级数前项大于后项，即(2)级数的通项趋于零，即如果交错级数证明:先证明前2n项的和s2n的极限存在，为此将s2n写成两种形式:由(1)式可知{s2n}是单调增加的；由(2)式可知s2n<u1.由单调有界数列必有极限的准则，知：当n无限增大时，s2n趋于一个极限s，并且s不大于u1，即再证明前2n+1项的和s2n+1的极限也是s，有

二、绝对收敛与条件收敛任意项级数：一般的级数，它的各项为又有正数，又有负数的任意实数.定义(1)如果级数的各项绝对值所组成的级数收敛，则称原级数绝对收敛；(2)如果级数收敛，而它的各项绝对值所组成的级数发散，则称原级数条件收敛.定理2

如果任意项级数的各项绝对值组成的级数收敛，则原级数必定收敛.解因为而级数收敛，是绝对收敛还是条件收敛．例２判定级数所以也收敛，故绝对收敛．注意：(1)由于任意项级数各项的绝对值组成的级数是正项级数，一切判别正项级数敛散性的判别法，都可以用来判定任意项级数是否绝对收敛.

第四节幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数及其敛散性三、幂级数的运算

一、函数项级数的概念定义在区间I上的函数列则由这函数列构成的表达式称为定义在区间I上的(函数)无穷级数，简称(函数项)级数.

对于每一个确定的值，函数项级数(1)成为常数项级数定义

形如的级数，称为(x−x0)的幂级数，均是常数，称为幂级数的系数.称为x的幂级数，它的每一项都是x的幂函数.我们主要讨论这种类型的幂级数.当x0=0时，(1)式变为：

二、幂级数及其敛散性定理2

如果幂级数的系数满足条件：例2

求幂数的收敛半径与收敛区间.对于端点x=1，级数成为交错级数,收敛.对于端点x=1，级数成为：

三、幂级数的运算

如果幂级数的收敛半径分别为R1>0和R2>0，则收敛半径R等于R1和R2中较小的一个.性质1

如果幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上连续.性质2如果幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式即幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，并且积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质3

幂级数的和函数s(x)在其收敛区间(R,+R)内可导，且有逐项求导公式即幂级数在其收敛区间内可以逐项求导，并且求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.第五节函数展开成幂级数一、泰勒级数二、函数展开成幂级数

一、泰勒级数定义如果f(x)在点x0的某邻域内具有任意阶导数，则称幂级数为f(x)在x0的泰勒级数.当x0=0时，泰勒级数为:称之为f(x)的麦克劳林级数.定理1(泰勒中值定理)如果函数f(x)在含点x0的区间(a,b)内，有一阶直到n阶的连续导数，则当x取区间(a,b)内的任何值时，f(x)可以按(x−x0)的方幂展开为：其中：公式(3)称为函数f(x)的泰勒公式，余项(4)称为拉格朗日余项.定理2

设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数，则f(x)在该邻域内可展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式余项Rn(x)当时的极限为零，即：

二、函数展开成幂级数

将函数展开成x的幂级数(也称麦克劳林展开式)的基本法，其一般步骤为：间接展开法利用一些已知的函数展开式、幂级数运算(如四则运算、逐项求导、逐项积分)以及变量代换等，将所给函数展开成幂级数.分别令q=−x、−x2有：将(9)、(10)式分别从0到x逐项积分，得：一、三角函数系的正交性二、函数展开成傅立叶级数第六节傅立叶级数

一、三角函数系的正交性2、三角函数系为1、三角级数三角级数,3、三角函数系的正交性

三角函数系在上正交,是指三角函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间上的积分等于零.即注意:

在三角函数系中,两个相同函数的乘积在区间上的积分不等于零，即:

二、函数展开成傅立叶级数1、函数展开成傅立叶级数的含义:并设三角级数可逐项积分.则此式称为函数f(x)的傅立叶级数，傅立叶系数.将代入三角级数的右端，得：即：类似可得：3、收敛定理(狄里克雷充分条件)设

f(x)是周期为的周期函数，如果它满足：(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；

(2)在一个周期内至多只有有限个极值点.当x是f(x)的连续点时，级数收敛于f(x);当x是f(x)的间断点时，级数收敛于则f(x)的傅立叶级数收敛，并且：狄里克雷充分条件的解释:(1)即函数f(x)在上不作无限次振动，函数的傅立叶级数在连续点处就收敛于该点的函数值f(x);(2)在间断点，则收敛于该点的左极限与右极限的算术平均值.通常把间断点分成两类：如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限f(x0-)及f(x0+)都存在，那么x0称为函数的第一类间断点.不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点.将f(x)展开成傅立叶级数.(3)傅立叶展开式为：4、周期延拓:

若f(x)不是周期为的周期函数，只在上有定义，并满足狄利克雷条件，可在或外补充函数