2024-2025学年内蒙古包头市高二上学期期中考试数学检测（含解析）

2024-2025学年内蒙古包头市高二上学期期中考试数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（）A． B．C． D．3．已知两条直线，若与平行，则实数（

）A． B．3 C．或3 D．1或4．如图，在正方体中，，分别为棱和的中点，则和所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．5．与圆关于直线对称的圆的方程是（

）A． B．C． D．6．在四棱锥中，底面，底面是正方形，.则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．7．已知，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（

）A． B． C．5 D．108．已知球的表面积为，若球与正四面体的六条棱均相切，则此四面体的体积为（

）A． B． C． D．8二、多选题（本大题共3小题）9．已知椭圆的左、右焦点分别是、，点为椭圆上一点且，则下列关于椭圆的结论正确的有（

）A．离心率为 B．长轴长为8C．的周长为18 D．的面积为910．已知圆，直线，点P在直线l上运动，直线，分别切圆C于点A，B.则下列说法正确的是（

）A．四边形的面积最小值为B．M为圆C上一动点，则最小值为C．最短时，弦直线方程为D．最短时，弦长为11．已知圆和圆.设为平面上的点，满足：存在过点的无数对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，下列所有满足条件的点的坐标有（

）A． B．C． D．三、填空题（本大题共3小题）12．一动圆与圆：内切，且与圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是．13．在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示，已知直线的方程为，则点到直线的距离为.14．已知椭圆，点，，为其长轴上从左到右的3个四等分点，分别过这三点作斜率为的一组平行线，交椭圆于，，，，，，则6条直线，，，…的斜率乘积为.四、解答题（本大题共5小题）15．的三个顶点是，，，求：(1)边上的高所在直线的方程；(2)边的垂直平分线的方程；(3)外接圆的方程.16．已知圆，直线.(1)求证：直线恒过定点；(2)直线被圆截得的弦何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长；(3)在（2）的条件下，求以短弦长为直径的圆的方程.17．已知椭圆的上顶点为，两个焦点为、，半焦距为，原点到经过，两点的直线距离为.(1)求椭圆的离心率；(2)过且垂直于的直线与椭圆交于，两点，，求的周长.18．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段，的中点，在平面ABC内的射影为.(1)求证：平面BDE；(2)若点F为棱的中点，求点到平面BDE的距离；(3)若点F为线段上的动点（不包括端点），求平面FBD与平面BDE夹角的余弦值的取值范围.19．“曲线”：由半椭圆与半椭圆组成，其中，.如图，设点是相应椭圆的焦点，和分别是“曲线”与轴的交点，为线段的中点.(1)若等边三角形的重心坐标为，求“曲线”的方程；(2)设是“曲线”的半椭圆上任意的一点.求证：当取得最小值时，在点或处；(3)作垂直于轴的直线与“曲线”交于两点，求线段中点的轨迹方程.

答案1．【正确答案】D【详解】由直线得其斜率为，设直线的倾斜角为（），则，所以，所以直线的倾斜角为，故选：D2．【正确答案】B【详解】由题意，又，.故选：B3．【正确答案】A【详解】直线平行，则，所以.故选：A4．【正确答案】B【详解】分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，设正方体棱长为2，则，，，，，，所以和所成角的余弦值为，故选：B．

5．【正确答案】C【详解】解：设圆心关于直线对称的点的坐标为，所以，解得，故对称圆的圆心为，对称圆的半径和原来的圆一样，故对称圆的方程为；故选：C．6．【正确答案】A【详解】在四棱锥中，平面，且四边形为正方形，以为坐标原点，分别以AB，AD，为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系.

则B1,0,0，D0,1,0，P0,0,1从而，PD=0,1,−1，，设平面的法向量为n=x,y,z，则，令，则，设直线与平面所成的角为，则.故选：A7．【正确答案】C【详解】直线过定点，直线，即过定点，又，即直线与直线垂直，因此，则，当且仅当时取等号，所以的最大值为5.故选：C8．【正确答案】B【详解】由球的表面积为，得，球半径，以正四面体的棱为正方体的面对角线，将该正四面体放到正方体中，则正方体的内切球即与正四面体的六条棱均相切，正方体的棱长为，所以此四面体的体积为.故选：B9．【正确答案】ACD【详解】由椭圆方程可知：，所以，所以：离心率，所以选项A正确；长轴，所以选项B错误；由椭圆的定义可知：，所以的周长为，所以选项C正确；设，所以，因为，所以由勾股定理可得：，即：，化简得：，解之得：或，即：或，所以的面积为：，故选项D正确.故选：ACD.10．【正确答案】ACD【分析】根据已知，结合图形，利用直角三角形、圆的性质、直线方程以及点到直线的距离公式、勾股定理计算求解.【详解】对于A，由切线长定理可得，又因为，所以，所以四边形的面积，因为，当时，取最小值，且，所以四边形的面积的最小值为，故A正确；对于B，因为，所以最小值为，故B错误；对于C，由题意可知点，，在以为直径的圆上，设，其圆的方程为：，化简为，与方程相减可得：，则直线的方程为，当最短时，，则，解得，故直线的方程为，故C正确；对于D，当最短时，圆心C到直线的距离，所以弦长为，故D正确.故选：ACD.

难点点睛：解答本题的难点在于C的判断，解答时要注意结合圆的公共弦方程的求解，求出直线AB方程，然后利用垂径定理求出弦长.11．【正确答案】AB【详解】设点坐标为，由存在过点P的无数对互相垂直的直线和，得一定有无数对直线和的斜率存在，设直线的方程分别为，即：，由直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，又两圆半径相等，得圆心到直线与圆心到直线的距离相等，，化简得，或，关于的方程有无穷多解，则或，解得或，所以点坐标为或.故选：AB12．【正确答案】由圆与圆的位置关系可得，再由椭圆的定义即可得解.【详解】由题意，圆：的圆心为，半径为，圆：的圆心为，半径为，设动圆的圆心，半径为，动圆与圆：内切，与圆：外切，所以，，所以，所以的轨迹是以原点为中心，焦点在轴上的椭圆，且，，所以，椭圆的方程为.故．13．【正确答案】【分析】由题设直线经过点，且为一个方向向量，易得，应用点线距离的向量求法求点到直线的距离.【详解】由题设，直线为，经过点，且为一个方向向量，所以，故到直线的距离为.故214．【正确答案】【详解】不妨设左右顶点的坐标分别为，，，为其长轴上从左到右的3个四等分点，故与原点重合，设椭圆上任意一点坐标为Px0,y0，且P则，所以，则，由对称性可知，，故，同理可得，所以6条直线，，，…的斜率乘积为.故答案为.15．【正确答案】(1)；(2)；(3).【详解】（1）直线的斜率，所以边上的高所在直线的方程，即.（2）直线的斜率，线段的中点，所以边的垂直平分线的方程为，即.（3）线段的中点，则边的垂直平分线的方程为，即，由，解得，因此外接圆的圆心为，半径，所以外接圆的方程为.16．【正确答案】(1)证明见解析；(2)当的方程为时最短；，最短弦长为；(3)【详解】（1）直线的方程可化为，由，解得，所以直线恒过定点.（2）圆的圆心，半径，令点，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，直线的斜率为，由得直线的斜率为，解得此时的方程为，即，圆心到直线的距离为，最短弦长为所以当的方程为时最短；，最短弦长为.（3）由（2）知，以短弦长为直径的圆的圆心为，半径为，所以以短弦长为直径的圆的方程.17．【正确答案】(1)；(2)13.【详解】（1）依题意，不妨令，，则，又是直角三角形，于是，解得，所以椭圆的离心率.（2）由（1）知，，，椭圆的方程为，如图所示，，，即为正三角形，又过且垂直于的直线与C交于D，E两点，则为线段的垂直平分线，直线的斜率为，直线的方程：，由消去并整理得：，，，解得，得，由垂直平分线段，得，因此的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.18．【正确答案】(1)证明过程见解析(2)(3)【详解】（1）连接，因为在平面ABC内的射影为，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，⊥，因为为边长为2的等边三角形，D是线段的中点，所以⊥，因为，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，因为，四边形为平行四边形，所以平行四边形为菱形，故⊥，因为D，E分别是线段，的中点，所以，故⊥，因为，平面，所以⊥平面；（2）由（1）知，两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，因为⊥，D是线段的中点，所以由三线合一可得，又，故为等边三角形，，由（1）知，⊥平面；故平面的一个法向量为，点到平面BDE的距离；（3）点F为线段上的动点（不包括端点），设，，则，故，故，设平面的法向量为，则，解得，令，则，故，又平面的一个法向量为，故，令