单服务台排队模型

顾客源队列服务机构排队系统顾客服务完离开复习：排队规则服务规则排队系统的三个基本组成部分.

输入过程

（有限、无限；单个、成批；确定型、随机型。相继到达时间间隔顾客到达1排队规则

等待制、损失制、混合制服务机构1、机构形式：单列、多列、服务台的数量2、服务方式：单个、成批3.服务时间：确定型、随机型顾客２５３３１2排队系统运行情况的分析，就是在给定输入与服务条件下，通过求解系统状态为n(有n个顾客)的概率Pn，再进行计算其主要的运行指标:①系统中顾客数(队长)L；②排队等待的顾客数(排队长)Lq；③顾客在系统中全部时间(逗留时间)W；④顾客排队等待时间Wq。3排队模型的符号定义为:A/B/C/m/NA—顾客到达间隔时间概率分布;B—服务时间的概率分布;C—服务台数；m—顾客源总数N—系统内顾客的容量4排队系统的常见分布1.泊松分布设N(Δt)表示在时间区间[t,t+Δt)内到达的顾客数，是随机变量。当N(Δt)满足下列三个条件时，我们说顾客的到达符合泊松分布。这三个条件是：(1)平稳性在时间区间[t,t+Δt)内到达的顾客数N(Δt)，只与区间长度Δt有关而与时间起点t无关。(2)无后效性在时间区间[t,t+Δt)内到达的顾客数N(Δt)，与t以前到达的顾客数独立。5(3)普通性在充分短的时间区间Δt内,到达两个或两个以上顾客的概率极小,可以忽略不计,即其中λ表示单位时间平均到达的顾客数,即为到达率。在长为t的时间内到达n个顾客的概率为:67当t=1时,表示单位时间内到达n个顾客的概率。容易计算Poisson分布的总体均数与总体方差相等,均为λ。82.负指数分布当顾客到达符合泊松分布时,顾客相继到达的间隔时间T必服从负指数分布。顾客服务时间常用概率分布也是负指数分布其中μ表示单位时间内完成服务的顾客数,也称平均服务率。910例8-1某医院外科手术室任意抽查了100个工作小时,每小时患者到达数n的出现次数如表,问每小时患者的到达数是否服从泊松分布。到达数n0123456≧7出现次数fn1028291610610患者在单位时间内到达数的频数分布111.原理

判断样本观察频数（A）与理论(期望)频数（T

）之差是否由抽样误差所引起。注意：理论频数Ti不宜过小（如不小于5），否则需要合并组段！122.计算公式为参数的个数132.计算公式14卡方分布下的检验水准及其临界值接受假设,即患者到达数的经验分布适合λ=2.1的泊松分布。15第二节单服务台M/M/1排队模型第八章排队论16M/M/1/∞/∞模型1.模型条件（1）输入过程――顾客源是无限的,单个到来,到达过程服从泊松分布,即顾客到达间隔时间服从负指数分布；（2）排队规则――单队,且队长没有限制,先到先服务；（3）服务机构――单服务台,服务时间的长短是随机的,服从相同的负指数分布。17排队系统的状态n随时间变化的过程称为生灭过程，设平均到达率为λ,平均服务率为μ,负指数分布排队系统（M/M/1/∞/∞）的生灭过程可用下面的状态转移图表示:01n-1nn+1...λλλλλλ

μμμμμμ1819类似可得由概率性质可知,20对于M／M／1/∞/∞模型有如下公式:

21例8-2设某医院药房只有一名药剂员,取药的患者按泊松分布到达,平均每小时20人,药剂员配药时间服从指数分布,平均每人为2.5分钟。试分析该药房排队系统的状态概率和运行指标。解:这是一个M/M/1/∞/∞系统，单列，FCFS规则根据题意已知,22（1）药剂员空闲率（2）队长若按每天8小时工作时间计算,该药剂员每天的空闲时间约有8×0.1667=1.33小时。23（3）等待队长（4）平均等待时间24（5）平均逗留时间（6）系统内有n个患者取药的概率25如果医院希望有足够的座位给取药的病人坐，或者说病人来取药没有座位的概率不超过5%，试问至少应为病人准备多少座位？即至少为病人准备15个座位（正在取药的人除外）。26例8-3某医院欲购一台X光机,现有四种可供选择的机型。已知就诊者按泊松分布到达,到达率每小时4人。四种机型的服务时间均服从指数分布,其不同机型的固定费用C1,操作费C2,服务率µ见表。若每位就诊者在系统中逗留所造成的损失费为每小时15元,试确定选购哪一类机型可使综合费（固定费+操作费+逗留损失费）最低。2728第三节多服务台M/M/Ｃ排队模型第八章排队论29一、M/M/C/∞/∞模型1.模型条件（1）输入过程――顾客源是无限的,单个到来,到达过程服从泊松分布,即顾客到达间隔时间服从负指数分布；（2）排队规则――单队,且队长没有限制,先到先服务；（3）服务机构――多服务台且相互独立,服务时间的长短是随机的,平均服务率相同,服从相同的负指数分布。30311.状态概率110kk011C1k1-úúûùêêëéøöççèæøöççèæåCCPmlrml－！＋！＝－＝ïïîïïíì³øöççèæ£<øöççèæCPCOPPn!C

1Cnn10nCn0nnmlml－！＝322.主要运行指标

33例8-6某医院康复科有4台超短波理疗仪，患者的到达服从泊松分布。平均每小时到达12人，每人理疗时间服从指数分布，每台每小时平均服务4人，患者到达后排成一列，一次就诊。求:①4台一起同时空闲的概率②计算系统的数量指标；③患者到达后必须等待的概率。34二、M/M/C模型与C个M/M/1模型的比较35例某医院挂号室有三个窗口，就诊者的到达服从泊松分布，平均到达率为每分钟0.9人，挂号员服务时间服从指数分布，平均服务率每分钟0.4人，现假设就诊者到达后排成一队，依次向空闲的窗口挂号，显然系统的容量和顾客源是不限的，属于M/M/C型的排队服务模型。求:该系统的运行指标。

363738如果在上例中，就诊者到达后在每个挂号窗口各自排成一队，即排成3队，且进入队列后不离开，各列间也互不串换，这就形成3个队列，而前例中的其它条件不变。假设每个队列平均到达率相等且为:

λ1＝λ2＝λ3＝0.9/3＝0.3（人/分钟）

这样，原来的M/M/3系统就变成了3个M/M/1型的子系统。

现按M/M/1型计算主要运行指标，并与上面的例子进行对比分析，结果见表39（1）挂号间空闲的概率（2）就诊者必须等待的概率40（3）每个系统的平均等待队长（4）每个系统的平均队长41（5）每个系统的平均逗留时间（6）每个系统的平均等待时间42

两个模型的比较指标（1）M/M/3型（2）M/M/1型挂号间空闲的概率0.07480.25（各子系统）就诊者必须等待的概率P(N>3)=0.570.75平均队列长1.7（人）2.25（人）（各子系统）平均队长3.95（人）3（人）（各子系