新人教A版高中数学必修一课件：3.1.2函数的表示法

3.1.2函数的表示法高中数学必修一课程标准(1)掌握函数的三种表示法:解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点．(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(3)通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．(4)会求函数的解析式．教材要点要点一函数的三种表示方法要点二分段函数在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数❹.表示法定义解析法❶用____________表示两个变量之间的对应关系图象法❷用________表示两个变量之间的对应关系列表法❸列出________来表示两个变量之间的对应关系数学表达式图象表格助学批注批注❶便于用解析式来研究函数的性质.批注❷能直观形象地表示出函数的变化情况.批注❸不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值.批注❹分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)所有的函数都能用解析法表示.()(2)函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线.()(3)函数f(x)＝_x001A__x001A_x+1，x≤1_x001B_−x+4，x≥2_x001B__x001B_，是分段函数.()(4)分段函数的图象不一定是连续的.()××√√2.已知f(x)是反比例函数，且f(－3)＝－1，则f(x)的解析式为()A.f(x)＝－_x001A_3_x001B_x_x001B_B.f(x)＝_x001A_3_x001B_x_x001B_C.f(x)＝3xD.f(x)＝－3x答案:B解析:设f(x)＝_x001A_k_x001B_x_x001B_(k≠0)，∵f(－3)＝_x001A_k_x001B_−3_x001B_＝－1，∴k＝3，∴f(x)＝_x001A_3_x001B_x_x001B_.3.已知函数f(x)＝_x001A__x001A__x001A_x_x001B_2_x001B_+1，x≥0_x001B_x，x<0_x001B__x001B_，则f(－1)的值为()A.－1B.0C.1D.2答案:A解析:因为－1<0，所以f(－1)＝－1.4.已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出.则f(g(1))的值为________.当g(f(x))＝2时，x＝________.x123f(x)211x123g(x)32111解析:由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.题型探究·课堂解透题型1与函数图象有关的问题例1作出下列函数的图象.(1)y＝_x001A_2_x001B_x_x001B_，x∈[2，＋∞);

解析:列表:x2345…y1…画图象，当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝_x001A_2_x001B_x_x001B_的一部分(图1).题型1与函数图象有关的问题例1作出下列函数的图象.(2)y＝x2＋2x，x∈[－2，2].

解析:列表:x－2－1012y0－1038画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分(图2).方法归纳作函数图象的一般步骤巩固训练1画出下列函数的图象:(1)y＝x＋1(x≤0);(2)y＝x2－2x(x>1或x<－1)．解析:(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图①.(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图②.题型2求函数的解析式例2(1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))＝16x－25,求f(x)；解析:设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，∴_x001A__x001A__x001A_k_x001B_2_x001B_=16，_x001B_kb+b=−25，_x001B__x001B_∴_x001A__x001A_k=4，_x001B_b=−5_x001B__x001B_或_x001A__x001A_k=−4，_x001B_b=_x001A_25_x001B_3_x001B__x001B__x001B_∴f(x)＝4x－5或f(x)＝－4x＋_x001A_25_x001B_3_x001B_.题型2求函数的解析式例2(2)已知函数f(_x001A__x001B_x_x001B_＋1)＝x＋2_x001A__x001B_x_x001B_＋1,求f(x)的解析式；解析:(配凑法)∵f(_x001A__x001B_x_x001B_＋1)＝x＋2_x001A__x001B_x_x001B_＋1＝(_x001A__x001B_x_x001B_＋1)2，∴f(x)＝x2.又_x001A__x001B_x_x001B_＋1≥1，∴f(x)＝x2(x≥1)．(换元法)令t＝_x001A__x001B_x_x001B_＋1，则x＝(t－1)2.由于x≥0，所以t≥1.代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＋1＝t2，所以f(x)＝x2(x≥1)．题型2求函数的解析式例2(3)已知函数f(x)满足f(x)＋2f_x001A__x001A_1_x001B_x_x001B__x001B_＝x，求函数f(x)的解析式.解析:在已知等式中，将x换成_x001A_1_x001B_x_x001B_，得f_x001A__x001A_1_x001B_x_x001B__x001B_＋2f(x)＝_x001A_1_x001B_x_x001B_，由_x001A__x001A_f_x001A_x_x001B_+2f_x001A__x001A_1_x001B_x_x001B__x001B_=x_x001B_f_x001A__x001A_1_x001B_x_x001B__x001B_+2f_x001A_x_x001B_=_x001A_1_x001B_x_x001B__x001B__x001B_消去f_x001A__x001A_1_x001B_x_x001B__x001B_得f(x)＝－_x001A_x_x001B_3_x001B_+_x001A_2_x001B_3x_x001B_.方法归纳求函数解析式的方法巩固训练2(1)已知f(x)是二次函数且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，则函数f(x)的解析式为______________.f(x)＝x2－x＋1解析:设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1得c＝1，则f(x)＝ax2＋bx＋1，f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1]－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b＝2x.故得_x001A__x001A_2a=2，_x001B_a+b=0，_x001B__x001B_解得a＝1，b＝－1，故得f(x)＝x2－x＋1.巩固训练2(2)已知函数f(x＋1)＝x2－2x，则f(x)的解析式为____________.解析:方法一(换元法)令x＋1＝t，则x＝t－1，t∈R，所以f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，即f(x)＝x2－4x＋3.方法二(配凑法)因为x2－2x＝(x2＋2x＋1)－(4x＋4)＋3＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，所以f(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，即f(x)＝x2－4x＋3.f(x)＝x2－4x＋3巩固训练2(3)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，则f(x)的解析式为______________.

解析:∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，①∴将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.②∴由①②得3f(x)＝x2－6x，∴f(x)＝_x001A_1_x001B_3_x001B_x2－2x.题型3分段函数角度1分段函数求值例3已知函数f(x)＝_x001A__x001A_1+_x001A_1_x001B_x_x001B_,x>1,_x001B__x001A_x_x001B_2_x001B_+1,−1≤x≤1,_x001B_2x+3,x<−1._x001B__x001B_(1)求f(f(f(－2)))的值；(2)若f(a)＝_x001A_3_x001B_2_x001B_,求a.解析:(1)∵－2<－1，∴f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，∴f(f(－2))＝f(－1)＝2，∴f(f(f(－2)))＝f(2)＝1＋_x001A_1_x001B_2_x001B_＝_x001A_3_x001B_2_x001B_.(2)当a>1时，f(a)＝1＋_x001A_1_x001B_a_x001B_＝_x001A_3_x001B_2_x001B_，∴a＝2>1；当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝_x001A_3_x001B_2_x001B_，∴a＝±_x001A__x001A__x001B_2_x001B__x001B_2_x001B_∈[－1，1]；当a<－1时，f(a)＝2a＋3＝_x001A_3_x001B_2_x001B_，∴a＝－_x001A_3_x001B_4_x001B_>－1(舍去)．综上，a＝2或a＝±_x001A__x001A__x001B_2_x001B__x001B_2_x001B_.方法归纳分段函数求值的步骤巩固训练3(1)已知函数f(x)＝_x001A__x001A__x001A_x_x001B_2_x001B_+1，x≤1_x001B__x001A_2_x001B_x_x001B_，x>1_x001B__x001B_，则f(f(3))＝()A._x001A_5_x001B_3_x001B_B.3C._x001A_2_x001B_3_x001B_D._x001A_13_x001B_9_x001B_答案:D解析:∵f(x)＝_x001A__x001A__x001A_x_x001B_2_x001B_+1，x≤1_x001B__x001A_2_x001B_x_x001B_，x>1_x001B__x001B_，则令x＝3，得f(3)＝_x001A_2_x001B_3_x001B_，所以f(f(3))＝f_x001A__x001A_2_x001B_3_x001B__x001B_＝_x001A__x001A__x001A_2_x001B_3_x001B__x001B__x001B_2_x001B_＋1＝_x001A_4_x001B_9_x001B_＋1＝_x001A_13_x001B_9_x001B_.(2)已知函数f(x)＝_x001A__x001A__x001A_x_x001B_2_x001B_−1，x≤1，_x001B_8x，x>1._x001B__x001B_若f(x)＝8，则x＝()A.－3或1B.－3C.1D.3解析:根据题意得_x001A__x001A_x≤1_x001B__x001A_x_x001B_2_x001B_−1=8_x001B__x001B_或_x001A__x001A_x>1_x001B_8x=8_x001B__x001B_，解得x＝－3.答案:B角度2分段函数的应用例4为了节约用水，某市出台一项水费征收措施，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.2元；若超过5吨而不超过6吨，超过部分的水费加收200%；若超过6吨而不超过7吨，超过部分的水费加收400%.如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应交的水费(单位:元)．解析:设本季度他应交的水费为y元，当0≤x≤5时，y＝1.2x；当5<x≤6时，应把x分成两部分:5与x－5分别计算，第一部分收基本水费1.2×5元，第二部分由基本水费与加价水费组成，即1.2(x－5)＋1.2(x－5)×200%＝1.2(x－5)×(1＋200%)元，所以y＝1.2×5＋1.2(x－5)×(1＋200%)＝3.6x－12；当6<x≤7时，同理可得y＝1.2×5＋1.2×(1＋200%)＋1.2(x－6)×(1＋400%)＝6x－26.4.综上，可得y＝_x001A__x001A_1.2x，0≤x≤5，_x001B_3.6x−12，5<x≤6，_x001B_6x−26.4，6<x≤7._x001B__x001B_方法归纳