数学学案：课堂导学抛物线的简单几何性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、利用抛物线定义求最值【例1】在抛物线x2=8y上求一点P，使得P点到焦点的距离与P点到定点A(1，3）的距离之和最小,并求出这个最小距离.解析：过A作直线l与准线垂直交于点A′,与抛物线交于点P，则P点即为所求.将P（1，y）代入x2=8y中，则y=。且最小距离d=5.温馨提示要充分利用抛物线的定义和几何知识。二、焦点弦问题【例2】已知过抛物线y2=4x的焦点F的弦长为36，求弦所在的直线方程。分析:弦所在的直线经过焦点（1,0），只需求出直线的斜率,因为弦长为36，所以可以判断直线的斜率是存在的且不为0。解析:由题意可设弦所在的直线的斜率为k,且与抛物线交于A(x1，y1）、B（x2，y2）两点.∵抛物线y2=4x的焦点F(1，0），∴直线方程为y=k（x-1）.由整理得k2x2—（2k2+4)x+k2=0.∴x1+x2=.∴|AB｜=|AF|+｜BF|=x1+x2+2=+2。又|AB｜=36，∴+2=36，解得k2=，即k=±。∴所求直线方程为y=（x-1）或y=—(x-1).温馨提示（1）此题也可以先求出两交点坐标，再根据两点间的距离公式列出等式求出k，但是计算复杂，一般不采用.（2）也可以利用弦长公式｜AB|=｜x1—x2|来求，这个方法普遍适用于求二次曲线的弦长.(3)因为本题的弦是过焦点的，是特殊位置的弦，所以结合抛物线的定义得到|AB|=x1+x2+p，解起来更简捷。三、直线与抛物线的位置关系【例3】直线l：y=kx+1,抛物线C：y2=4x，当k为何值时l与C有（1）一个公共点;（2)两个公共点；（3）没有公共点.解析：将l和C的方程联立消去y，得k2x2+（2k—4)x+1=0.（＊)当k=0时，方程（＊）只有一个解x=，∴y=1.∴直线l与C只有一个公共点（，1),此时直线l平行于对称轴.当k≠0时，方程（*）是一个一元二次方程.（1）当Δ＞0，即k＜1，且k≠0时，l与C有两个公共点，此时称直线l与C相交；（2）当Δ=0，即k=1时，l与C有一个公共点，此时称直线l与C相切；（3）当Δ＜0，即k＞1时，l与C没有公共点，此时称直线l与C相离.综上所述，可知:当k=1或k=0时,直线l和C有一个公共点；当k＜1，且k≠0时，直线l和C有两个公共点；当k＞1时，直线l和C没有公共点。温馨提示一般地，直线与抛物线相切，直线与抛物线只有一个公共点；反过来，直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线不一定是相切的（如右图）。因此，直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的必要而非充分条件。各个击破类题演练1给定抛物线y2=2x,设A（a,0)（a＞０)，P是抛物线上的一点，且｜PA|=d,试求d的最小值.解:设P（x0，y0）（x0≥0)，则y02=2x0.∴d=|PA｜=∵a＞０,x0≥0，∴(1)当0＜a＜1时,1—a＞0,此时当x0=0时,dmin==a。（2）当a≥1时，1—a≤0,此时当x0=a-1时，dmin=.变式提升1抛物线y2=2px动弦AB长为a（a≥2p)，弦AB中点到y轴最短距离是（）A.B.C.+D。-答案：D类题演练2过抛物线y2=2px(p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A、B两点.求证：.证明:设A（x1，y1），B（x2，y2）,则｜FA|=x1+，|FB|=x2+，|AB｜=x1+x2+p，当AB⊥x轴时，结论显然成立；当AB不垂直于x轴时,。消去y得k2x2-p（k2+2）x+=0，则x1+x2=，x1x2=，===.变式提升2A、B是抛物线y2=2px（p＞0)上的两点，满足OA⊥OB（O为坐标原点).求证：（1）A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别为定值；（2）直线AB经过一个定点。证明：（1)设A（x1，y1)、B(x2,y2）,则y12=2px1，y22=2px2.∵OA⊥OB,∴x1·x2+y1·y2=0,∴y12·y22=4p2x1·x2=4p2·(-y1y2).∴y1·y2=—4p2,∴而x1·x2=4p2。结论成立。(2）∵y12-y22=（y1—y2）（y1+y2）=2p(x1—x2),∴。则直线AB的方程为y-y1=（x—x1),∴y=x—·+y1=x+,又∵y1·y2=—4p2.∴y=x-=(x—2p）。∴直线AB过定点(2p，0）.类题演练3设双曲线-y2=1(a＞0）与直线x+y=1相交于两个不同的点A、B，求a的取值范围.解析：由C与l相交于两个不同的点,知方程组有两个不同的实数解。消去y并整理得(1-a2）x2+2a2x-2a2=0。①所以.解得0＜a＜且a≠1.故a的取值范围是(0，1）∪（1，）。变式提升3设抛物线y2=2px（p＞0）上各点到直线3x+4y+12=0的距离的最小值为1,求p的值.解法一：设M（x0，y0）为抛物线y2=2px上任意一点，则M到直线3x+4y+12=0距离为d=|=｜（y0+）2+8p-｜。因为dmin=1，所以8p—＞0,即0＜p＜且(8p）=1