2025年中考数学思想方法复习系列 【转化思想】函数中的转化思想（原卷版）

函数中的转化思想知识方法精讲1．转化思想转化不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的HYPERLINK\t"/item/%E5%8C%96%E5%BD%92%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"数学思维方式。所谓的转化思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。总之，转化在数学解题中几乎无处不在，转化的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗。说到底，转化的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决。实现这种转化的方法有：HYPERLINK\t"/item/%E5%8C%96%E5%BD%92%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"待定系数法，配方法，HYPERLINK\t"/item/%E5%8C%96%E5%BD%92%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"整体代入法以及化动为静，由抽象到具体等转化思想。2．一次函数综合题（1）一次函数与几何图形的面积问题首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．（2）一次函数的优化问题通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．（3）用函数图象解决实际问题从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．3．二次函数的图象（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．4．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．5．二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．6．待定系数法求二次函数解析式（1）二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；（2）用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．7．抛物线与x轴的交点求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．8．图象法求一元二次方程的近似根利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．9．二次函数与不等式（组）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．10．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．一．选择题（共12小题）1．（2021秋•余杭区月考）某二次函数的图象与函数的图象形状相同、开口方向一致，且顶点坐标为，则该二次函数表达式为A． B． C． D．2．（2021•市中区三模）抛物线的对称轴为直线．若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围是A． B． C． D．3．（2021•榆阳区模拟）抛物线的对称轴为直线．若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围是A． B． C． D．4．（2020秋•郯城县期末）抛物线的对称轴为直线．若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围是A． B． C． D．5．（2021•寻乌县模拟）抛物线的对称轴为直线．若关于的方程为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围是A． B． C． D．6．（2021•启东市模拟）抛物线的对称轴为直线，若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围是A． B． C． D．7．二次函数的对称轴为直线，若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解，则的取值范围是A． B． C． D．8．二次函数的对称轴为．若关于的一元二次方程在的范围内有实数解，则的取值范围是A． B． C． D．9．二次函数的图象如图，对称轴为直线，若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有实数解，则的取值范围是A． B． C． D．10．（2020•日照二模）抛物线的对称轴为直线．若关于的一元二次方程为实数）在的范围内只有一个实数根，则的取值范围是A．或 B． C． D．11．（2020春•越秀区校级月考）抛物线的对称轴为直线．若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围是A． B． C． D．12．（2020•泉州模拟）二次函数的对称轴为直线，若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解，则的取值范围是A． B． C． D．二．填空题（共6小题）13．如图是，二次函数的图象，若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解，则的取值范围是．14．（2021•南关区校级二模）如图，二次函数的图象与轴交于坐标原点和，若关于的方程为实数）在的范围内有解，则的取值范围是．15．（2020秋•长春期末）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线．若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围为．16．（2020•立山区二模）抛物线的对称轴为直线，若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围是．17．（2020•浙江自主招生）已知，当时，恒成立，那么实数的取值范围是．18．二次函数的图象如图，对称轴为直线．若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解，则的取值范围是．三．解答题（共5小题）19．（2021秋•槐荫区期末）请阅读下列解题过程：解一元二次不等式：．解：设，解得：，，则抛物线与轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图象（如图所示）．由图象可知：当，或当时函数图象位于轴上方，此时，即．所以一元二次不等式的解集为：，或．通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的和．（只填序号）①转化思想；②分类讨论思想；③数形结合思想．（2）用类似的方法解一元二次不等式：．20．（2020秋•历下区期末）如图，直线与轴交于点，直线交轴于点，交直线于点．（1）求、和的值；（2）求的面积；（3）过动点作轴的垂线与直线、，分别交于、两点，且．①求的取值范围；②当的面积是的面积的时，求的长度．21．（2021秋•惠民县月考）小刚在用描点法画抛物线时，列出了下面的表格：01234023320（1）请根据表格中的信息，写出抛物线的一条性质：；（2）求抛物线的解析式；（3）抛物线与轴的交点分别为、在的左侧）与轴的交点为，其对称轴与轴的交点为，在抛物线的对称轴上存在点，使是以为腰的等腰三角形，求出点的坐标；（4）在（3）的条件下，抛物线上有一点，使的内心在轴上，直接写出点的坐标．22．（2021秋•泗水县期中）如图，抛物线经过，两点，与轴交于另一点，连接，．（1）求抛物线的解析式；（2）平行于轴的直线与抛物线分别交于点、，求线段的长．（3）点是线段上一点（不与点、重合），过点作轴交抛物线于点，连接、，求面积的最大值，及此时点坐标．23