2025年中考数学思想方法复习系列 【分类讨论】直角三角形中的分类讨论思想（原卷版）

直角三角形中的分类讨论思想知识方法精讲1．直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．2．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．3．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．4．等腰直角三角形（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．5.分类讨论思想每个HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"数学思想，称之为分类讨论思想。一．选择题（共4小题）1．（2021•大庆模拟）已知，，，则的面积为A．6或 B．6或 C．12或 D．12或2．有一个三角形两边长为4和5，要使三角形为直角三角形，则第三边长为A．3 B． C．3或 D．3或3．将等腰直角三角形按如图所示放置，然后绕点逆时针旋转至△的位置，点的横坐标为2，则点的坐标为A． B．， C． D．，4．（2021秋•阳信县月考）在中，，，的对边分别为，，，，，则的长为A．2 B． C．4 D．4或二．填空题（共8小题）5．（2020秋•普陀区期末）在中，，，点为边上一点，将沿直线翻折得到，点的对应点为点，联结，如果是以为直角边的等腰直角三角形，那么的长等于．6．（2020秋•九江期末）已知在平面直角坐标系中，、、．点在轴上运动，当点与点、、三点中任意两点构成直角三角形时，点的坐标为．7．（2021•南浔区二模）如图是用三张大小各不相同的正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五张大小各不相同的正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三张，按如图方式组成图案，所围成的的面积可以为．8．（2021春•柳南区校级期末）有一个三角形的两边长是4和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为．9．（2021秋•乐平市期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，以为一边在外部作等腰直角．则点的坐标为．10．（2021秋•鼓楼区校级期中）在学习完“探索全等三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给同桌解决：如图，做一个“”字形框架，其中，，足够长，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为．11．（2021秋•徐州期中）已知一个直角三角形的两条边长分别为1和2，则第三条边长的平方是．12．（2021秋•诸暨市期中）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使得点落在四边形的外部的位置，且与点在直线的异侧，折痕为，已知，．若保持△的一边与平行，则的度数．三．解答题（共11小题）13．（2020秋•德惠市期末）如图，是等边三角形，．动点，分别从点、同时出发，动点以的速度沿向终点运动．动点以的速度沿射线运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．点出发后，过点作交于点，连结，以为边作等边三角形，连结，设点的运动时间为．（1）用含的代数式表示的长．（2）求的周长（用含的代数式表示）．（3）求的长（用含的代数式表示）．（4）当的边与垂直时，直接写出的值．14．（2021秋•历下区期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点坐标为，四边形为平行四边形，反比例函数的图象经过点，与边交于点，若，．（1）求反比例函数解析式；（2）点是轴上一动点，求最大时的值；（3）连接，在反比例函数图象上是否存在点，平面内是否存在点，使得四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．15．（2021秋•金牛区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与直线交于点，点为轴上一个动点．（1）求直线的解析式；（2）若点的坐标为，过点作直线轴，分别交直线，于点，．求的面积；（3）若以点、、为顶点的三角形为直角三角形，求点的坐标．16．（2021秋•河东区期末）在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，，且满足．（1），；（2）点在直线的右侧：且；①若点在轴上（图，则点的坐标为；②若为直角三角形，求点的坐标．17．（2021秋•嵩县期末）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，．（1）求证：是等边三角形；（2）若是直角三角形，求的度数．18．（2021秋•婺城区校级月考）如图，在中，，，，点，分别在边，上，在线段左侧构造，使．（1）如图1，若，点与点重合，与相交于点．求证：．（2）当时，连接，取的中点，连接．①如图2，若点落在边上，求的长．②是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求的长；若不存在，试说明理由．19．（2021秋•沭阳县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，现同时将点，分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点，的对应点，，连接，，．（三角形可用符号△表示，面积用符号表示）（1）直接写出点，的坐标；（2）在轴上是否存在点，连接，，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若动点从点出发，沿着轴正方向运动；当是直角三角形时，求长．20．（2021秋•郸城县月考）（1）观察猜想：如图1，是以、为腰的等腰三角形，点、点分别在、上，且，将绕点逆时针旋转．如图1：请直接写出旋转后与的数量关系．（2）探究证明：如图2，是以为直角顶点的等腰直角三角形，分别交与两边于点、点．将绕点逆时针旋转至图2所示的位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展延伸：如图3，是直角三角形，，，、分别是与的中点，现将绕点旋转（旋转角，当是直角三角形时，求的长．21．（2021秋•尤溪县期中）已知组正整数：第一组：，3，；第二组：，8，；第三组：，15，；第四组：，24，；第五组：，35，；（1）写出符合上述规律的第六组三个数：；（2）是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为80？若存在，请求出这组数；若不存在，请说明理由；（3）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．22．（2021秋•仪征市期中）如图，在中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒．（1）出发2秒后，求的周长．（2）问为何值时，为