2024-2025学年高考数学一轮复习专题3.1函数的概念及其表示知识点讲解含解析

专题3.1函数的概念及其表示【考纲解读与核心素养】1．了解函数的概念，会求简洁的函数的定义域和值域.2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法.3．了解简洁的分段函数，会用分段函数解决简洁的问题.4.本节涉及全部的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等.5．高考预料：（1）分段函数的应用,要求不但要理解分段函数的概念，更要驾驭基本初等函数的图象和性质．（2）函数的概念，常常与函数的图象和性质结合考查.6.备考重点：（1）理解函数的概念、函数的定义域、值域、函数的表示方法；（2）以分段函数为背景考查函数的相关性质问题.【学问清单】1．函数的概念函数两个集合A，B设A，B是两个非空数集对应关系f：A→B假如依据某种确定的对应关系f，使对于集合A中的随意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应2．函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)假如两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一样，则这两个函数为相等函数.3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.【典例剖析】高频考点一函数的概念【典例1】（2024·洪洞县第一中学高三期中（文））下面各组函数中是同一函数的是（）A．与B．与C．与D．与【答案】D【解析】因为选项A中，对应关系不同，选项B中定义域不同，对应关系不同，选项C中，定义域不同，选项D中定义域和对应法则相同，故选D.【典例2】在下列图形中，表示y是x的函数关系的是________．【答案】①②【解析】由函数定义可知，自变量对应唯一的值，所以③④错误，①②正确．【规律方法】函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域肯定相同．因此推断两个函数是否相同，只需推断定义域、对应关系是否分别相同．【变式探究】1.，则与表示同一函数的是（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】A中:;B中:;C中：，，；D中：,因此选C.2.（2025届江西省检测考试（二））设，，函数的定义域为，值域为，则的图象可以是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因为定义域为，所以舍去A;因为值域为，所以舍去D;因为对于定义域内每一个x有且只有一个y值，所以去掉C；选B.【易混辨析】1.推断两个函数是否为相同函数，留意把握两点，一看定义域是否相等，二看对应法则是否相同．2.从图象看，直线x=a与图象最多有一个交点.高频考点二：求函数的定义域【典例3】（2024·江苏高考真题）函数的定义域是_____.【答案】.【解析】由已知得,即解得，故函数的定义域为.【典例4】（2024·河南省郑州一中高二期中（文））已知函数定义域是，则的定义域是（）A．[0,] B． C． D．【答案】A【解析】因为函数定义域是所以所以，解得：故函数的定义域是[0,]故选：A【典例5】（2024·邵阳市第十一中学高一期中）已知函数的定义域是,则函数的定义域是()A. B. C. D.无法确定【答案】C【解析】由已知，，即函数的定义域是，故选：C．【规律方法】1.已知函数的详细解析式求定义域的方法(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还须要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．2．抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．【变式探究】1.（2024·山东省章丘四中高三月考）函数的定义域为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】故答案选C2．（2024·福建省福州第一中学高三）已知函数的定义域为[0，2]，则的定义域为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数的定义域是[0，2]，要使函数有意义,需使有意义且.所以解得故答案为C【特殊提示】求函数的定义域，往往要解不等式或不等式组，因此，要娴熟驾驭一元一次不等式、一元二次不等式的解法、牢记不等式的性质，学会利用数形结合思想，借助数轴解题.另外，函数的定义域、值域都是集合，要用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达．高频考点三：求函数的解析式【典例6】（2024·天津南开中学高一期中）设函数满意，则的表达式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，则，所以，所以，故选C．【典例7】（2024·安徽省毛坦厂中学高三月考（理））已知二次函数，满意，.（1）求函数的解析式；（2）求在区间上的最大值；（3）若函数在区间上单调，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）5；（3）.【解析】（1）由，得，由，得，故，解得，所以.（2）由（1）得：，则的图象的对称轴方程为，又，，所以当时在区间上取最大值为5.（3）由于函数在区间上单调，因为的图象的对称轴方程为，所以或，解得：或，因此的取值范围为：.【规律方法】1.已知函数类型，用待定系数法求解析式．2.已知函数图象，用待定系数法求解析式，假如图象是分段的，要用分段函数表示．3.已知求，或已知求，用代入法、换元法或配凑法．4.若与或满意某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解．5.应用题求解析式可用待定系数法求解．【变式探究】1.（2025届安徽省安庆市第一中学）已知单调函数，对随意的都有，则()A.2B.4C.6D.8【答案】C【解析】设，则，且，令，则，解得，∴，∴．故选C．2．（2024·江苏省高三专题练习）已知，，（），__________．【答案】【解析】高频考点四：求函数的值域

【典例8】（2024·浙江省镇海中学高一期中）函数的值域为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，，（当且仅当，即时取等号），的值域为.故选：.【典例9】（2024·甘肃省武威十八中高三期末（理））高斯是德国闻名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是__________【答案】【解析】依题意，由于，故，即的值域为，所以函数的值域是.故填：.【典例10】（2024·辽河油田其次高级中学高二月考）函数的值域是________________．【答案】【解析】函数，令则，则，.由二次函数性质可知，在内单调递增，所以当即时取得最小值，最小值为，因而，故答案为：.【规律方法】函数值域的常见求法：(1)配方法配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F(x)＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c(a≠0)的函数的值域问题，均可运用配方法．(2)数形结合法若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数与形结合的方法．(3)基本不等式法：要留意条件“一正，二定，三相等”．（可见上一专题）(4)利用函数的单调性①单调函数的图象是始终上升或始终下降的，因此若单调函数在端点处有定义，则该函数在端点处取最值，即若y＝f(x)在[a，b]上单调递增，则y最小＝f(a)，y最大＝f(b)；若y＝f(x)在[a，b]上单调递减，则y最小＝f(b)，y最大＝f(a)．②形如y＝ax＋b＋eq\r(dx＋c)的函数，若ad＞0，则用单调性求值域；若ad＜0，则用换元法．③形如y＝x＋eq\f(k,x)(k＞0)的函数，若不能用基本不等式，则可考虑用函数的单调性，当x＞0时，函数y＝x＋eq\f(k,x)(k＞0)的单调减区间为(0，eq\r(k)]，单调增区间为[eq\r(k)，＋∞)．一般地，把函数y＝x＋eq\f(k,x)(k＞0，x＞0)叫做对勾函数，其图象的转折点为(eq\r(k)，2eq\r(k))，至于x＜0的状况，可依据函数的奇偶性解决．*(5)导数法利用导函数求出最值，从而确定值域．高频考点五：分段函数及其应用【典例11】（2024·永济中学高一月考）已知，则为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】故选：A【典例12】（2025届湖北省5月）设函数，若，则实数的值为（）A.B.C.或D.【答案】B【解析】因为，所以所以选B.【典例13】（2024年新课标I卷文）设函数，则满意的x的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】将函数的图象画出来，视察图象可知会有，解得，所以满意的x的取值范围是，故选D.【典例14】（2024·上海高三）若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由于函数的值域是，故当时，满意，当时，由，所以，所以，所以实数的取值范围.【总结提升】1.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则；2.数形结合往往是解答选择、填空题的“捷径”.【变式探究】1.（2024·辽宁省高三二模（理））设函数，则（）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【解析】由题意，函数，则.故选：C.2.（2024·浙江省高三二模）已知函数若存在唯一的整数，使得成立，则实数的取值范围是（）A． B．或C． D．或【答案】B【解析】如图所示，画出函数图像，当时，，即，故，即，即；当时，易知不满意；当时，，即，故，即.综上所述：或.故选：B.3.（2