2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.1周期现象1.2角的概念与推广学案含解析北师大版必修4

PAGE1周期现象2角的概念与推广考纲定位重难突破1.了解周期现象在现实中是广泛存在的．2.理解随意角的概念．3.驾驭终边相同的角的表示．4.了解象限角、区间角、终边在坐标轴上的角的表示.重点：1.对随意角概念的理解，正角、负角和零角的推断．2.终边相同角的表示方法，推断角所在的象限．难点：终边相同角的表示方法，推断角所在的象限.授课提示：对应学生用书第1页[自主梳理]1．周期现象我们把以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象．2．角的有关概念3．角的分类(1)按旋转方向分(2)按角终边的位置分4．终边相同的角的表示一般地，全部与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．[双基自测]1．下列改变中不是周期现象的是()A．一年四季的交替B．钟表的分针每小时转一圈C．天干地支表示年、月、日的时间依次D．某同学每天上学的时间答案：D2．角α的终边经过点M(0，－3)，则α()A．是第三象限角B．是第四象限角C．既是第三象限角又是第四象限角D．不属于任何象限解析：当角α的终边在坐标轴上时，这个角不属于任何象限．点M(0，－3)在y轴上，故选D.答案：D3．钟表时针走过1小时20分，则分针转过的角度是________．解析：时针走1小时，分针转1圈，为－360°，－360°＋eq\f(1,3)×(－360°)＝－360°－120°＝－480°.答案：－480°授课提示：对应学生用书第2页探究一周期现象的推断[典例1]今日是星期三，那么7天后的那一天是星期几？7k(k∈Z)天后的那一天是星期几？100天后的那一天是星期几？[解析]每个星期从星期一到星期日，每7天重复一次，是具有周期现象的，因此今日是星期三，那么7天后的那一天是星期三，7k(k∈Z)天后的那一天是星期三，100天是14个星期零2天，因此100天后的那一天是星期五．解决此类问题，关键是抓住该现象每隔相同时间就重复出现．1．如图所示是某人的心电图，依据这个心电图，请你推断其心脏跳动是否正常．解析：视察图像可知，此人的心电图是周期性改变的．因此心脏跳动正常．探究二终边相同的角与象限角[典例2]在0°到360°之间，找出与下列各角终边相同的角α，并指出它们分别为第几象限角．(1)－1154°18′；(2)2428°[解析](1)∵－1154°18′÷360°＝－4余285°42′，∴－1154°18′＝－4×360°＋285°42′，相应α＝285°42′，从而－1154°18′为第四象限角．(2)∵2428°÷360°＝6余268°，∴2428°＝6×360°＋268°，相应α＝268°，从而2428°为第三象限角．终边相同的角相差360°的整数倍．判定一个角是第几象限角，只要找与它终边相同且在0°～360°范围内的角，这个角所在象限即为所求．2．若α＝n·360°＋θ，β＝m·360°－θ，m，n∈Z，则α，β终边的位置关系是()A．重合 B．关于原点对称C．关于x轴对称 D．关于y轴对称解析：由α＝n·360°＋θ，n∈Z可知α与θ是终边相同的角，由β＝m·360°－θ，m∈Z可知β与－θ是终边相同的角．因为θ与－θ两角终边关于x轴对称，所以α与β两角终边关于x轴对称．答案：C探究三区域角的表示[典例3]如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OM上；(2)终边落在直线OM上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．[解析](1)终边落在射线OM上的角的集合为A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}．(2)终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为B＝{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}，则终边落在直线OM上的角的集合为A∪B＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}．(3)同理，得终边落在直线ON上的角的集合为{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}，故终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．区间角是指终边落在坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步：(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}；(3)起始、终止边界对应角，α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．3．(1)已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α∈________.(2)已知集合A＝{α|30°＋k×180°<α<90°＋k×180°，k∈Z}，B＝{β|－45°＋k×360°<β<45°＋k×360°，k∈Z}．①试在平面直角坐标系内画出集合A和B中的角的终边所在的区域；②求A∩B.解析：在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角α满意30°＜α＜150°或210°＜α＜330°，所以全部满意题意的角α的集合为{α|k·360°＋30°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°＜α＜k·360°＋330°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°＜α＜2k·180°＋150°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°＜α＜(2k＋1)·180°＋150°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z}．答案：{α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z}(2)①如图所示：集合A中的角的终边在阴影(Ⅰ)内，集合B中的角的终边在阴影(Ⅱ)内．②集合A∩B中的角的终边在阴影(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共部分内，所以A∩B＝{γ|30°＋k×360°<γ<45°＋k×360°，k∈Z}．因未能正确理解象限角出错[典例]已知α是第三象限角，则eq\f(α,3)是第几象限角？[解析]因为α是第三象限角，所以180°＋k·360°<α<270°＋k·360°(k∈Z)，所以60°＋k·120°<eq\f(α,3)<90°＋k·120°(k∈Z)．当k＝3n(n∈Z)时，60°＋n·360°<eq\f(α,3)<90°＋n·360°(n∈Z)，所以eq\f(α,3)是第一象限的角；当k＝3n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<eq\f(α,3)<210°＋n·360°(n∈Z)，所以eq\f(α,3)是第三象限的角；当k＝3n＋2(n∈Z)时，300°＋n·360°<eq\f(α,3)<330°＋n·360°(n∈Z)，所以eq\f(α,3)是第四象限的角．所以eq\f(α,3)是第一、三、四象限的角．[错因与防范](1)仅以180°<α<270°表示第三象限角是出错的主要缘由，(2)分类探讨：已知角α所在的象限，要求eq\f(α,n)(n∈N＋)所在的象限，应把角α写成k·360°＋β<α<k·360°＋γ(k∈Z)的形式，再求出k·eq\f(360°,n)＋eq\f(β,n)<eq\f(α,n)<k·eq\f(360°,n)＋eq\f(γ,n)(k∈Z，n∈N＋)，分别取k＝0,1,2，…，n－1，即可确定eq\f(α,n)所在的象限．(3)几