2024-2025学年高中数学第1章导数及其应用1.3.3最大值与最小值课时素养评价含解析苏教版选修2-2VIP

PAGE课时素养评价八最大值与最小值(25分钟·60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数f(x)=3x-4x3,x∈[0,1]的最大值等于 ()A.0B.-1C.QUOTED.1【解析】选D.因为f′(x)=3-12x2,令f′(x)=0,得x=±QUOTE,当x∈QUOTE时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当x∈QUOTE时,f′(x)<0,f(x)单调递减.所以函数f(x)在x=QUOTE处取得极大值,也是函数f(x)在[0,1]上的最大值,故f(x)max=fQUOTE=1.【补偿训练】函数y=x3+x2-x+1在区间[-2,1]上的最小值为____________.

【解析】y′=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1).令y′=0,解得x=QUOTE或x=-1.当x∈[-2,-1]时,y′>0,函数单调递增;当x∈QUOTE时,y′<0,函数单调递减;当x∈QUOTE时,y′>0,函数单调递增.当x=-2时,y=-1;当x=-1时,y=2;当x=QUOTE时,y=QUOTE;当x=1时,y=2.所以函数的最小值为-1.答案:-12.函数f(x)=lnx-x在(0,e]上的最大值为 ()A.-1 B.0 C.1 【解析】选A.因为f′(x)=QUOTE-1=QUOTE,令f′(x)>0得0<x<1,令f′(x)<0得x>1,所以f(x)在(0,1]上是增函数,在(1,e]上是减函数.所以当x=1时,f(x)有最大值f(1)=-1.3.已知f(x)=2x3-6x2+m(m是常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为 ()A.-37 B.-3 C.3 【解题指南】利用函数在[-2,2]上有最大值3,求出m的值,再利用导数求函数的最小值.【解析】选A.因为f′(x)=6x2-12x=6(x2-2x)=6x(x-2).令f′(x)=0,解得x=0或x=2.所以f(x)在[-2,0]上单调递增,在[0,2]上单调递减.因为f(0)=m,f(2)=-8+m,f(-2)=-40+m,所以f(0)>f(2)>f(-2),所以f(0)=3,解得m=3,所以最小值为f(-2)=-37.4.若对随意的x>0,恒有lnx≤px-1(p>0),则p的取值范围是 ()A.(0,1] B.(1,+∞)C.(0,1) D.[1,+∞)【解析】选D.原不等式可化为lnx-px+1≤0,令f(x)=lnx-px+1,故只需f(x)max≤0,由f′(x)=QUOTE-p知f(x)在QUOTE上单调递增;在QUOTE上单调递减.故f(x)max=fQUOTE=-lnp,即-lnp≤0,解得p≥1.5.若函数f(x)=x3-3x在区间(a,6-a2)上有最小值,则实数a的取值范围是 ()A.(-QUOTE,1) B.[-QUOTE,1)C.[-2,1) D.(-QUOTE,-2]【解析】选C.由于函数f(x)在开区间(a,6-a2)上有最小值,则函数f(x)的微小值点在(a,6-a2)内,且在(a,6-a2)上的单调性是先减再增.f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当-1<x<1时,f′(x)<0,当x>1时,f′(x)>0,所以函数f(x)的微小值为f(1).又函数f(x)=x3-3x在区间(a,6-a2)上有最小值,所以f(a)≥f(1),由QUOTE解得-2≤a<1.二、填空题(每小题3分,共15分)6.设函数f(x)=ax3+3bx(a,b为实数,a<0,b>0),当x∈[0,1]时,有f(x)∈[0,1],则b的最大值是____________.

【解析】因为f′(x)=3ax2+3b,所以令f′(x)=3ax2+3b=0,可得x=±QUOTE,①QUOTE≥1时,f(x)的最大值为f(1)=1,所以b∈QUOTE,②0<QUOTE<1,f(x)的最大值为fQUOTE=1,f(1)≥0,所以b∈QUOTE,所以b的最大值是QUOTE.答案:QUOTE7.设0<a≤1,函数f(x)=x+QUOTE,g(x)=x-lnx,若对随意的x1,x2∈[1,e]都有f(x1)≥g(x2)成立,则实数a的取值范围是____________.

【解析】因为对随意的x1,x2∈[1,e],都有f(x1)≥g(x2)成立,所以f(x)min≥g(x)max对∀x∈[1,e]恒成立.因为f(x)=x+QUOTE(0<a≤1)在[1,e]上单调递增,所以f(x)min=f(1)=1+a2.因为g(x)=x-lnx,所以g′(x)=1-QUOTE=QUOTE,所以当x∈[1,e]时g′(x)≥0恒成立.故g(x)在[1,e]上单调递增,当x=e时,g(x)max=g(e)=e-lne=e-1.令1+a2≥e-1,得a2≥e-2,又0<a≤1故QUOTE≤a≤1.答案:[QUOTE,1]8.已知函数f(x)=(x2-2x)ex,下列说法中正确的有_______________.(填序号)

①f(x)在R上有两个极值点;②f(x)在x=QUOTE处取得最大值;③f(x)在x=QUOTE处取得最小值;④f(x)在x=QUOTE处取得微小值;⑤函数f(x)在R上有两个不同的零点.【解析】因为f′(x)=ex(x2-2),令f′(x)=0,得x=±QUOTE,当x<-QUOTE时,f′(x)>0,当-QUOTE<x<QUOTE时,f′(x)<0,当x>QUOTE时,f′(x)>0,故函数在x=QUOTE处取得微小值,在x=-QUOTE处取得极大值,又f(-QUOTE)=(2+2QUOTE)QUOTE>0,f(QUOTE)=(2-2QUOTE)·QUOTE<0,所以函数在R上有两个不同的零点.答案:①④⑤三、解答题(每小题10分,共20分)9.求函数f(x)=xsinx+cosx(0≤x≤π)的值域.【解析】f′(x)=sinx+x·cosx-sinx=xcosx,令f′(x)=0得x=0或x=QUOTE,x0πf′(x)0+0--πf(x)1↗↘-1由上表可知,函数值域为QUOTE.10.(2024·北京高考)已知函数f(x)=12-x2.(1)求曲线y=f(x)的斜率等于-2的切线方程;(2)设曲线y=f(x)在(t,f(t))处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为S(t),求S(t)的最小值.【命题意图】考查导数几何意义,求切线方程,最值等.【解析】(1)f(x)定义域为R,f′(x)=-2x,设切点为P(x0,y0),则k=f′(x0)=-2x0=-2,即x0=1,所以y0=f(x0)=f(1)=11,切点为(1,11),所以所求切线方程为y-11=-2(x-1),即2x+y-13=0.(2)切线方程为y-12+t2=-2t(x-t),令x=0得y=t2+12,令y=0得x=QUOTE+QUOTE,所以S(t)=QUOTE(t2+12)|QUOTE+QUOTE|,t≠0,易知S(t)为偶函数,当t>0时,S(t)=QUOTEt3+6t+QUOTE,S′(t)=QUOTE×QUOTE,令S′(t)=0得t=2,-2(舍),t(0,2)2(2,+∞)S′(t)-0+S(t)↘微小值↗所以S(t)有微小值也是最小值S(2)=32,又S(t)为偶函数,所以当t=±2时,S(t)有最小值32.(20分钟·40分)1.(5分)函数f(x)=QUOTEex(sinx+cosx)在区间QUOTE上的值域为 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.因为x∈QUOTE,所以f′(x)=excosx≥0,函数f(x)在QUOTE上单调递增,所以f(0)≤f(x)≤fQUOTE.即QUOTE≤f(x)≤QUOTE.【补偿训练】函数f(x)=2x+log2(x+1)在区间[0,1]上的最大值和最小值之和为____________.

【解析】因为f(x)=2x+log2(x+1),所以f′(x)=2xln2+QUOTE.因为x∈[0,1],所以2xln2+QUOTE>0.所以f(x)=2x+log2(x+1)在[0,1]上是增函数.所以最大值和最小值之和为:20+log2(0+1)+21+log2(1+1)=4.答案:42.(5分)已知函数f(x)=aQUOTE-2lnx(a∈R),g(x)=-QUOTE,若至少存在一个x0∈[1,e],使f(x0)>g(x0)成立,则实数a的取值范围为 ()A.QUOTE B.(0,+∞)C.[0,+∞) D.QUOTE【解析】选B.由题意得f(x)-g(x)>0在[1,e]上有解,即ax-2lnx>0在[1,e]上有解,所以a>QUOTE.设y=QUOTE,则y′=QUOTE≥0,所以ymin=0,故得a>0.3.(5分)设QUOTE<a<1,函数f(x)=x3-QUOTEax2+b(-1≤x≤1)的最大值为1,最小值为-QUOTE,则a=____________,b=.

【解析】f′(x)=3x2-3ax=3x(x-a),令f′(x)=0,得x1=0,x2=a.依据x1,x2列表,分析f′(x)的符号和函数f(x)的单调性:x-1(-1,0)0(0,a)a(a,1)1f′(x)+0-0+f(x)b-1-QUOTEa↗b↘b-QUOTE↗1-QUOTEa+b从上表可知f(x)的极大值为f(0)=b,微小值为f(a)=b-QUOTE.因为f(0)>f(a),f(-1)<f(1),又f(0)-f(1)=QUOTEa-1>0,所以f(x)的最大值为f(0)=b=1.因为f(-1)-f(a)=QUOTE(a3-3a-2)=QUOTE(a+1)2(a-2)<0,所以f(x)的最小值为f(-1)=b-1-QUOTEa=-QUOTEa=-QUOTE,所以a=QUOTE.综上知,a=QUOTE,b=1.答案:QUOTE1【补偿训练】设函数f(x)=x3-12x+12在区间[0,3]上的最大值为M,最小值为m,则M+m的值为____________.

【解析】f′(x)=3x2-12=3(x2-4)=3(x+2)(x-2)=0,解得x=-2或x=2,得f(x)在[0,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增.又f(0)=12,f(2)=-4,f(3)=3,所以M=12,m=-4,M+m=8.答案:84.(5分)设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小值时t等于____________.

【解题指南】由题意,|MN|可转化为函数值的差,通过构造函数来求解.【解析】因为f(x)的图象始终在g(x)的上方,所以|MN|=f(x)-g(x)=x2-lnx,设h(x)=x2-lnx,则h′(x)=2x-QUOTE=QUOTE,令h′(x)=QUOTE=0,得x=QUOTE(x=-QUOTE舍去),所以h(x)在QUOTE上单调递减,在QUOTE上单调递增,所以当x=QUOTE时有最小值,故t=QUOTE.答案:QUOTE5.(10分)已知函数f(x)=QUOTE,g(x)=lnx,其中e为自然对数的底数.(1)求函数y=f(x)g(x)在x=1处的切线方程.(2)若存在x1,x2(x1≠x2),使得g(x1)-g(x2)=λ[f(x2)-f(x1)]成立,其中λ为常数,求证:λ>e.【解析】(1)因为y=f(x)g(x)=QUOTE,所以y′=QUOTE=QUOTE,故y′|x=1=QUOTE.所以函数y=f(x)g(x)在x=1处的切线方程为y=QUOTE(x-1),即x-ey-1=0.(2)由已知等式g(x1)-g(x2)=λ[f(x2)-f(x1)]得g(x1)+λf(x1)=g(x2)+λf(x2).记p(x)=g(x)+λf(x)=lnx+QUOTE,则p′(x)=QUOTE.假设λ≤e.①若λ≤0,则p′(x)>0,所以p(x)在(0,+∞)上为单调增函数.又p(x1)=p(x2),所以x1=x2,与x1≠x2冲突.②若0<λ≤e,记r(x)=ex-λx,则r′(x)=ex-λ.令r′(x)=0,解得x0=lnλ.当x>x0时,r′(x)>0,r(x)在(x0,+∞)上为单调增函数;当0<x<x0时,r′(x)<0,r(x)在(0,x0)上为单调减函数.所以r(x)≥r(x0)=λ(1-lnλ)≥0,所以p′(x)≥0,所以p(x)在(0,+∞)上为单调增函数.又p(x1)=p(x2),所以x1=x2,与x1≠x2冲突.综合①②,假设不成立,所以λ>e.【补偿训练】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0,若x=QUOTE时,y=f(x)有极值.(1)求a,b,c的值.(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.【解析】(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f′(x)=3x2+2ax+b,当x=1时,切线l的斜率为3,可得2a+b=0.①当x=QUOTE时,y=f(x)有极值,则f′QUOTE=0.可得4a+3b+4=0.②由①②解得a=2,b=-4.因为切点的横坐标为x=1,代入3x-y+1=0得切点坐标(1,4),所以f(1)=4.所以1+a+b+c=4,所以c=5.(2)由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5,所以f′(x)=3x2+4x-4,令f′(x)=0,得x=-2或x=QUOTE.当x∈[-3,-2),QUOTE时f′(x)>0,函数是增函数;当x∈QUOTE时f′(x)<0,函数是减函数,所以f(x)在x=-2处取得极大值f(-2)=13.在x=QUOTE处取得微小值fQUOTE=QUOTE.又f(-3)=8,f(1)=4.所以y=f(x)在[-3,1]上的最大值为13,最小值为QUOTE.6.(10分)(1)探讨函数f(x)=QUOTEex的单调性,并证明当x>0时,(x-2)ex+x+2>0.(2)证明:当a∈[0,1)时,函数g(x)=QUOTE(x>0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a),求函数h(a)的值域.【解题指南】(1)先求函数f(x)的导数,推断f′(x)的正负,确定函数的单调性,函数的解析式和不等式的左侧有联系,利用这种关联进行证明.(2)求g′(x)并变形,找寻和f(x)的联系,利用(1)进行求解.【解析】(1)f(x)=QUOTEex,f′(x)=exQUOTE=QUOTE,因为当x∈(-∞,-2)∪(-2,+∞)时,f′(x)>0,所以f(x)在(-∞,-2)和(-2,+∞)上单调递增,所以x>0时,QUOTEex>f(0)=-1,所以(x-2)ex+x+2>0.(2)g′(x)=QUOTE=QUOTE=QUOTE,a∈[0,1).由(1)知,当x>0时,f(x)=QUOTE·ex的值域为(-1,+∞),只有一解,使得QUOTE·et=-a,t∈(0,2].当x∈(0,t)时g′(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(t,+∞)时g′(x)>0,g(x)单调递增.h(a)=QUOTE=QUOTE=QUOTE,记k(t)=QUOTE,在t∈(0,2]时,k′(t)=QUOTE>0,所以k(t)单调递增,所以h(a)=k(t)∈QUOTE.【补偿训练】设函数f(x)=e2x-alnx.(1)探讨f(x)的导函数f′(x)的零点的个数.(2)证明:当a>0时,