2024北京十四中八年级（上）期中数学（教师版）

第1页/共1页2024北京十四中初二（上）期中数学注意事项1.本试卷共6页，共28道小题，满分100＋10分．考试时间100分钟．2.在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号．3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5.答题不得使用任何涂改工具．一、选择题（每小题2分，共20分）第1－10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1.下面由冬季奥运会比赛项目图标组成的四个图形中，可以看作轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.如图，，若，，则的长为（）A. B. C. D.3.下列计算正确的是（）A. B. C. D.4.下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（）A. B.C. D.5.如果是一个完全平方式，则m的值是（）A.3 B. C.6 D.6.从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．通过计算两个图形阴影部分的面积，从左至右验证成立的公式为（）A. B.C. D.7.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为22，BE＝4，则△ABD的周长为（）A.14 B.18 C.20 D.268.下列尺规作图，能确定是的中线的是（）A. B.C. D.9.在中，，延长至D，使，连接，则的长度的取值范围是（）．A. B. C. D.10.设，是实数，定义一种新的运算：，则下列结论：①，则且；②；③；④，正确的有（）A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题（第11—18题每题3分，共24分）11.计算：_______．12.在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为______．13.已知等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长为______．14.如图，点B、A、D、E在同一直线上，，，要使，则只需添加一个适当的条件是______（只填一个即可）15.如图，在中，，，和的平分线交于O点，过点O作的平行线交于M点，交于N点，则的周长为_______．16.如图，在中，，，，，则的度数是________．17.已知，，则的值是___________．18.在平面直角坐标系中，点，B0,3，，点D在第二象限，且．（1）点D的坐标为________；（2）点P在坐标轴上，且是等腰三角形，则P点的个数为________．三、解答题（第19、20题各9分，第21、23、24、25题各6分，第22、26题各7分，共56分）19.计算（1）（2）（3）20.因式分解（1）（2）（3）21.先化简，再求值：，其中，．22.根据题意，完成作图及推理：已知：在中，，的平分线交于点D，，．（1）作出的平分线（尺规作图，保留作图痕迹）；（2）求的面积．解：（2）过D作于点E（不要求尺规作图），______于点C，平分，______（______），，______，，______．23.已知：如图，，，．求证：．24.如图，中，，，平分交于点E，交于点F，求证：是等腰三角形．25.阅读下面的材料：常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如x2－4y2－2x＋4y，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别分解因式后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：x2－4y2－2x＋4y＝(x2－4y2)－(2x－4y)＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)＝(x－2y)(x＋2y－2)．像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．利用分组分解法解决下面的问题：（1）分解因式：x2－2xy＋y2－4：（2）已知△ABC的三边长a、b、c满足a2－ab－ac＋bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由．26.已知：如图，在中，，点D为上的一点，，点E为延长线上一点且，连接并延长交于点F，连结．（1）求证：；（2）作A点关于的对称点M，分别连接．①依题意补全图形；②用等式表示之间的数量关系并证明．四、附加题（共10分）27.在学习整式乘法一章时，小明发现：若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“智慧数”．例如：5是“智慧数”，因为；再如：（是整数），所以M也是“智慧数”（1）请你再写一个小于的（5除外）“智慧数”________，并判断是否为“智慧数”________（填“是”或者“否”）；（2）已知（x，y是整数），k是常数，要使S为“智慧数”，试求出符合条件的一个k值．28.对于平面直角坐标系内的任意两点Px1,y1，Qx2,y2，定义它们之间的“直角距离”为．对于平面直角坐标系内的任意两个图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P（1）已知、，则_______，_______；（2）已知、，若，则t的取值范围是_______；（3）已知，若坐标平面内的点P满足，则在图中画出所有满足条件的点P所构成的图形，该图形的面积是_______．

参考答案一、选择题（每小题2分，共20分）第1－10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1.【答案】D【分析】本题考查轴对称图形的识别．根据能否找到一条直线使图形折叠后能够完全重合，进行判断即可，掌握轴对称图形的定义，是解题的关键．【详解】解：、不是轴对称图形，故本选项错误；、不是轴对称图形，故本选项错误；、不是轴对称图形，故本选项错误；、是轴对称图形，故本选项正确．故选：．2.【答案】A【分析】根据全等三角形的对应边相等推知，然后根据线段的和差即可得到结论．【详解】解：，，，，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，仔细观察图形，根据已知条件找准对应边是解决本题的关键．3.【答案】D【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算判断，即可解题．【详解】解：A、，选项运算错误，不符合题意；B、，选项运算错误，不符合题意；C、与不是同类项，不可以合并，选项运算错误，不符合题意；D、，选项运算正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方，解题的关键是正确掌握各计算法则．4.【答案】D【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，直接利用因式分解的定义分析得出答案．【详解】解：A、，从左到右的变形是整式的乘法运算，不是因式分解，故此选项不符合题意；B、，从左到右的变形，不是因式分解，故此选项不符合题意；C、，不是因式分解，故此选项不符合题意；D、，从左到右的变形，是因式分解，故此选项符合题意．

故选D．【点睛】考查了因式分解，正确把握因式分解的定义是解题关键．5.【答案】B【分析】根据完全平方公式可进行求解．【详解】解：∵，∴如果是一个完全平方式，则m的值是；故选B．【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．6.【答案】C【分析】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，即可解题．【详解】解：由图知，甲图形阴影部分的面积为，乙图形阴影部分的长为，宽为，则其面积为，即，故选：C．7.【答案】A【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DC，BC＝2BE＝8，根据三角形的周长公式计算即可．【详解】∵DE是BC的垂直平分线，∴DB＝DC，BC＝2BE＝8，∵△ABC的周长为22，∴AB+BC+AC＝22，∴AB+AC＝14，∴△ABD的周长＝AD+BD+AB＝AD+CD+AB＝AB+AC＝14，故选A．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．8.【答案】A【分析】根据5种基本作图对各选项进行判断即可得到答案．【详解】解：A．AD为BC边的中线，所以A选项符合题意；B．点D为AB的垂直平分线与BC的交点，则DA=DB，所以B选项不符合题意；C．AD为∠BAC的平分线，所以C选项不符合题意；D．AD为BC边的高，所以D选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了作图一基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键，也考查了三角形的平分线、中线和高．9.【答案】A【分析】画出图形，延长，使，连接，证明得到，再利用三角形的三边关系求解即可．【详解】解：如图，延长，使，连接，在和中，∴，∴，∵，，∴，，∴，即，故选：A．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，添加辅助线构造全等三角形解决问题是解答的关键．10.【答案】B【分析】根据，分别表示出各项的意义，再比较是否相等．【详解】解：∵，①若，则，则a，b互为相反数，故错误；②=，故正确；③≠，故错误；④，，故正确；故选B．【点睛】本题考查了定义新运算，解题的关键是理解题中所给的运算法则，以及整式的混合运算．二、填空题（第11—18题每题3分，共24分）11.【答案】1【分析】根据零指数幂计算，即可求解．【详解】解：，故答案为：1．【点睛】本题考查了零指数幂的定义，掌握零指数幂：是解题的关键．12.【答案】【分析】本题考查了坐标与轴对称，关于轴对称的两点，其纵坐标互为相反数，横坐标不变，据此即可求解．【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为．故答案为：13.【答案】17【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：（1）若3为腰长，7为底边长，由于，则三角形不存在；（2）若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为．故答案为：17．14.【答案】（或或）【分析】，根据平行线的性质得，若，根据条件利用即可得证；若，根据条件利用即可得证；若添加，根据条件利用即可得证．【详解】解：∵，∴，∵，若添加，在和中，，∴；若添加，在和中，，∴；若添加，在和中，，∴．故答案为：（或或）．【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．15.【答案】10【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握它们的性质将周长转换为是解本题的关键．利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到，，将三角形周长转化为，求出即可．【详解】解：为的平分线，为的平分线，，，，，，，，，，，，，周长为，故答案为：1016.【答案】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和，三角形外角性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．根据题意证明，结合三角形内角和，三角形外角性质得到，最后利用三角形内角和求解，即可解题．【详解】解：在中，，，，，，，，，，．17.【答案】120【分析】利用完全平方公式的变形进行求解即可．【详解】解：∵，，∴，，∴，故答案为：120．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，正确得到是解题的关键．18.【答案】①.-3,2②.个【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，坐标与图形，以及等腰三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的性质．（1）根据全等三角形的性质，即可得到点D的坐标；（2）根据等腰三角形的判定与性质，分情况①，②，③，讨论求解，即可解题；【详解】解：（1）根据题意作图如下：，点D在第二象限，，，点D的坐标为-3,2；故答案为：-3,2．（2）根据是等腰三角形，点P在坐标轴上，①，以为圆心，长为半径，画弧与坐标轴有2个交点，②，以为圆心，长为半径，画弧与坐标轴有3个交点，③，作的中垂线，与坐标轴有1个交点，综上所述，则P点的个数为个，故答案为：个．三、解答题（第19、20题各9分，第21、23、24、25题各6分，第22、26题各7分，共56分）19.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）先计算积的乘方，再根据单项式乘单项式运算法则计算，即可解题；（2）根据多项式乘多项式运算法则计算，即可解题；（3）利用平方差公式，以及整式的混合运算法则计算求解，即可解题．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：；【小问3详解】解：．【点睛】本题考查整式的混合运算，积的乘方，单项式乘单项式，多项式乘多项式，平方差公式．正确按“先乘方，再乘法，最后算加减”的顺序及相关法则计算是解题的关键．20.【答案】（1）（2）（3）【分析】本题主要考查了因式分解，熟悉运算规则以及乘法公式是解题的关键．（1）运用提公因式法因式分解即可；（2）首先提公因数，然后运用完全平方公式进行因式分解即可；（3）首先提公因式，然后运用平方差公式进行因式分解即可．【小问1详解】．【小问2详解】．【小问3详解】．21.【答案】，【分析】本题考查了整式的混合运算的化简求值，完全平方公式，单项式除单项式，熟练掌握整式的混合运算是解题的关键．先根据整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，然后将x与y的值代入化简后的式子中计算，即可解题．【详解】解：，当，时，原式．22.【答案】（1）见解析（2），，角平分线的性质，，【分析】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质，解题的关键在于掌握角平分线的尺规作图步骤作图．（1）根据尺规作图作角平分线的步骤作图即可；（2）结合题干步骤，利用角平分线的性质作得到即可求出面积．【小问1详解】解：所作的平分线如图所示：【小问2详解】解：过D作于点E，，于点C，平分，（角平分线的性质），，，，．故答案为：，，角平分线的性质，，．23.【答案】见解析【分析】本题考查全等三角形性质和判定，根据题意证明，利用全等三角形性质即可证明．【详解】证明：，，，在与中，，，．24.【答案】见解析【分析】根据角平分线的定义得出，根据直角三角形两锐角互余得出，，根据余角性质得出，根据对顶角相等得出，求出，根据等角对等边得出，即可证明结论．【详解】证明：∵平分，，，，，，，，∵，∴，∴，∴是等腰三角形．【点睛】此题考查了直角三角形的性质、角平分线的定义，余角性质，等腰三角形的判定．难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．25.【答案】(1)；(2)等腰三角形，理由见解析．【分析】(1)前三项符合完全平方公式，再和最后一项应用平方差公式分解因式即可．(2)前两项、后两项均可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，据此把a2-ab-ac+bc分解因式，进而判断出△ABC的形状即可．【详解】解：(1)原式，故答案为．(2)∵∴，∴，∴或，∴或，∴△ABC为等腰三角形．故答案为等腰三角形．【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．26.【答案】（1）见解析（2）①见解析；②，理由见解析【分析】（1）证明，即可证明；（2）①依题意补全图形即可；②证明，在上截取点N，使，证明，得出和是腰长相等的两个等腰直角三角形，推出，据此即可求解．【小问1详解】证明：∵，∴，∵，，∴，∴，即；【小问2详解】解：①依题意补全图形即可；②，理由如下：∵，又，∴，即，∵点A、点M关于对称，∴，，，∴，在上截取点N，使，∵，，∴，∴，，，∴，，，∴，∴，∴和是腰长相等的两个等腰直角三角形，∴，∴，【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解答