2024北京朝阳高三（上）期中数学（教师版）

第1页/共1页2024北京朝阳高三（上）期中数学2024.11（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合，集合，则（）A. B.C. D.2.若函数在处取得最小值，则（）A.1 B. C.2 D.43.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（）A. B.C. D.4.如图，在中，，，则（）A. B.C. D.5.已知单位向量，满足，设向量，则向量与向量夹角的余弦值是（）A. B. C. D.6.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”.由此推算，在这5天中，织布超过1尺的天数共有（）A.1天 B.2天 C.3天 D.4天7.已知α，β均为第二象限角，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知函数若直线与函数的图象有且只有一个公共点，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.9.在三棱锥O-ABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，点P在底面ABC内，已知点P到OA，OB，OC所在直线的距离分别为1，2，2，则线段OP的长为（）A. B. C.3 D.10.数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记为集合S的元素个数，为集合S的子集个数，若集合A，B，C满足：①，；②，则的最大值是（）A.99 B.98 C.97 D.96第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.计算________.12.在中，已知，则__________；________.13.已知数列的前n项和为（A，B为常数），写出一个有序数对________，使得数列是递增数列.14.某种灭活疫苗的有效保存时间T（单位：h）与储藏的温度t（单位：℃）满足函数关系（k，b为常数，其中）.已知该疫苗在0℃时的有效保存时间是1440h，在5℃时的有效保存时间是360h，则该疫苗在10℃时的有效保存时间是________h.15.对于无穷数列，若存在常数，对任意的，都有不等式成立，则称数列具有性质P.给出下列四个结论：①存在公差不为0的等差数列具有性质P；②以1为首项，为公比的等比数列具有性质P；③若由数列的前n项和构成的数列具有性质P，则数列也具有性质P；④若数列和均具有性质P，则数列也具有性质P.其中所有正确结论的序号是________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（本小题13分）在中，.（I）求的值；（II）若，，求b及的面积.17.（本小题15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，，，，.（I）求证：平面PAD；（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值；（Ⅲ）记平面PAB与平面PCD的交线为l.试判断直线AB与l的位置关系，并说明理由.18.（本小题13分）已知函数.（I）若，求的最小值；（II）若存在极小值，求a的取值范围.19.（本小题14分）设函数.（I）若，，求的值；（II）已知在区间上单调递增，且是函数的图象的对称轴，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求ω，φ的值.条件①：当时，取到最小值；条件②：；条件③：在区间上单调递减.注：如果选择的条件不符合要求，第（II）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.20.（本小题15分）已知函数.（I）求曲线在点处的切线方程；（II）讨论在区间上的零点个数；（III）若，其中，求证：.21.（本小题15分）若有穷正整数数列A：，，，…，满足如下两个性质，则称数列A为T数列：①；②对任意的，都存在正整数，使得.（I）判断数列A：1，1，1，3，3，5和数列B：1，1，2，2，4，4，4，12是否为T数列，说明理由；（II）已知数列A：，，，…，是T数列.（i）证明：对任意的，与不能同时成立；（ii）若n为奇数，求的最大值.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.A2.C3.D4.C5.C6.B7.C8.B9.A10.B二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.12.，13.（答案不唯一）14.9015.②③④三、解答题（共6小题，共85分）16.（本小题13分）解：（I）由，得.所以.由，得.又因为，所以.所以.可得. 5分（II）因为，，所以.又由（I）可知，，所以.整理得，即.所以.所以.所以面积为. 13分17.（本小题15分）解：（I）因为平面ABCD，所以.又因为，，所以.又因为，所以平面PAD. 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，，，如图所示，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，则，，，.则，.设平面PAB的一个法向量为.由得所以.令，则.又因为平面PCD，所以是平面PCD的一个法向量.设平面PAB与平面PCD的夹角为θ，则. 12分（Ⅲ）直线.理由如下：因为，平面PCD，平面PCD，所以平面PCD.又因为平面PAB，平面平面，所以. 15分18.（本小题13分）解：（I）函数的定义域为，当时，，时，，在区间上单调递减，时，，在区间上单调递增.所以当时，取得最小值0. 5分（II）.（1）当时，，在区间上单调递减，所以无极值.（2）当时，令，得.当x变化时，与的变化情况如下表：x-0+↘极小值↗由上表知，当时，取得极小值.综上，a的取值范围为. 13分19.（本小题14分）解：（I）由，，得.则. 4分（Ⅱ），，.选择条件①：因为在区间上单调递增，且是函数的图象的对称轴，又当时，取到最小值，所以，故.因为，所以.所以，.又因为，所以，得.又因为，所以.选择条件③：因为在区间上单调递增，且是函数的图象的对称轴，又在区间上单调递减，所以，故.因为，所以.所以，.又因为，所以，得.又因为，所以. 14分20.（本小题15分）解：（I）由，得且，所以.所以曲线在处的切线方程为：.即. 4分（II）①当时，，，所以.所以在区间上无零点.②当时，，，所以.所以在区间上单调递增.又，，所以在区间上仅有一个零点.综上，在区间上的零点个数为1. 9分（III）设，即，所以.设，.因为时，，，所以.所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增.故，所以在区间上单调递增.故，所以.因为，所以，又，所以. 15分21.（本小题15分）解：（I）数列A不是T数列，理由如下：对于数列A，因为，，且对任意的正整数，有，所以数列A不满足性质②.所以数列A不是T数列.数列B是T数列，理由如下：对于数列B，因为，，，，所以数列B满足性质①.又因为，，，，，，，所以数列B满足性质②.所以数列B是T数列. 4分（II）（i