2024北京北师大实验中学高二（上）期中数学（教师版）

第1页/共1页2024北京北师大实验中学高二（上）期中数学2024年11月本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知直线l的倾斜角为，则l的斜率为（）A. B. C. D.2．已知点P在椭圆上，点，，则（）A.2 B. C. D.3．已知圆关于直线对称，则实数（）A.－2 B.－1 C.1 D.24．以为圆心，并且与x轴相切的圆的方程为（）A. B.C. D.5．已知点Q为直线l∶上的动点，点P满足，记P的轨迹为E，则（）A.E上的点到l的距离均为 B.E是一条与l相交的直线C.E是一个半径为的圆 D.E是两条平行直线6．如图，三棱锥中，平面ABC，，且为边长等于2的正三角形，则DA与平面DBC所成角的正弦值为（）A. B. C. D.7．已知点M是直线上的动点，O是坐标原点，则以OM为直径的圆一定经过点（）A.和 B.和 C.和 D.和8．已知椭圆C：的离心率为e，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点P到平面QGC的距离是（）A. B. C. D.110．如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在正方形的边界及其内部运动．以下四个结论中错误的是（）A.存在点P满足 B.存在点P满足C.满足的点P的轨迹长度为 D.满足的点P的轨迹长度为第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．椭圆的离心率为______．12．已知直线：，：．若，则实数m的值为______．13．在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的大小为______．14．已知点P是圆上的动点，直线：，：，记P到直线，的距离分别为，（若P在直线上，则记距离为0），（1）的最大值为______；（2）若当点P在圆上运动时，为定值，则m的取值范围是______．15．伯努利双纽线（简称双纽线）是瑞士数学家伯努利（1654-1705）在1694年提出的．伯努利将椭圆的定义作了类比处理，指出是到两个定点距离之积为定值的点的轨迹是双纽线．在平面直角坐标系xOy中，到定点，的距离之积为的点的轨迹C就是伯努利双纽线，C的方程为，其形状类似于符号∞，若点是轨迹C上一点，给出下列四个结论：①曲线C关于原点中心对称；②恒成立；③曲线C上任一点到原点的距离不超过；④当时，取得最大值或最小值．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共85分．解答题应写出文字说明、验算步骤或证明过程．16．（13分）已知直线l：，．（Ⅰ）当直线l与直线垂直时，求的值；（Ⅱ）设直线l恒过定点P，求P的坐标；（Ⅲ）若对任意的实数，直线l与圆总有公共点，直接写出r的取值范围．17．（13分）已知经过点，，并且圆心C在直线上，（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）设过点的直线l与交于M，N两点，若，求l的方程．18．（14分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为和，长轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P为椭圆C上一点，．若存在实数使得，求的取值范围．19．（15分）如图，在三棱台中，平面ABC，，，，N为AB的中点，M为棱BC上一动点（不包含端点）．（Ⅰ）若M为BC的中点，求证：平面；（Ⅱ）是否存在点M，使得平面与平面所成角的余弦值为?若存在，求出BM的长度；若不存在，请说明理由．20．（15分）平面直角坐标系xOy中，点M到点的距离比它到x轴的距离多1，记点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点，若直线l与轨迹C恰好有一个公共点，求实数k的取值范围．21．（15分）用一个矩形铁皮制作成一个直角圆形弯管（如图1）：将该矩形铁皮围成一个圆柱体（如图2），再用一个与圆柱底面所成45°的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到直角圆形弯管．现使用长为，宽为的矩形铁皮制作一个直角圆形弯管，当得到的直角圆形弯管的体积最大时（不计拼接损耗部分），解答下列问题．（Ⅰ）求该直角圆形弯管的体积；（Ⅱ）已知在制造直角圆形弯管时截得的截口是一个椭圆，求该椭圆的离心率；（Ⅲ）如图3，若将圆柱被截开的一段的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展成平面图形（如图4），证明：该截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象，并指出该正弦型函数的最小正周期与振幅．

参开答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．D2．C3．D4．B5．A6．B7．D8．A9．B10．C二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．12．－313．14．3，15．①②③注：14题第一空3分，第二空2分；15题选对1个给3分，选对两个给4分，有错误不给分．三、解答题共6小题，共85分．解答题应写出文字说明、验算步骤或证明过程．16．解：（Ⅰ）直线l的法向量为，由题知，解得．（Ⅱ）直线l：，令，解得即点．（Ⅲ）．17．解：（Ⅰ）由，线段AB中点为，可知线段AB的垂直平分线方程为，由圆的对称性知点C在AB的垂直平分线上，因此联立解得即点．又因为，所以，圆C：．（Ⅱ）当的斜率不存在时，：，此时，，满足题意；当的斜率存在时，设：，即，因为，所以C到的距离为，因此，，解得，此时，直线：，综上，直线的方程为或．18．解：（Ⅰ）由题知解得所以，C的方程为．（Ⅱ）由椭圆的定义可知，设点，其中，，因为，所以，，即当且仅当时，，时，，因为，所以，．综上所述，的取值范围是．19．解：（Ⅰ）连接MN，由M，N分别为BC，AB的中点，知且，因此，，且，所以，是平行四边形，故，因为面，面，所以，平面．（Ⅱ）因为，AB，AC两两垂直，所以建立空间直角坐标系，则，，，，则，，因为平面，所以平面的法向量为，假设存在满足题意的点M，且，则，设平面的法向量为，则有不妨设，得，所以，，两边平方，整理得，解得或（舍），经检验，满足题意，因此，存在点M，只需，即即可．20．解：（Ⅰ）设点，由题知，两边平方，并整理得所以，轨迹C的方程为．（Ⅱ）直线l：，当时，联立消去y得，，当，即或时，有且仅有一个公共点且满足题意；当，即时，无公共点；当时，令，，当时，无公共点；当时，有一个公共点；综合以上可知当时，有且仅有一个公共点，故k的取值范围是．21．解：（Ⅰ）当矩形的宽作为圆柱的高时，体积最