专题16差倍问题（解析）2

20222023学年小学四年级思维拓展举一反三精编讲义专题16差倍问题知识精讲知识精讲专题简析：解答差倍问题时，先要求出与两个数的差对应的倍数差。在一般财政部下，它们往往不会直接告诉我们，这就需要我们根据题目的具体特点将它们求出。当题中出现三个或三个以上的数量时，一般把题中有关数量转化为与标准量之间倍数关系对应的数量。解答差倍应用题的基本数量关系是：差÷（倍数－1）=小数小数×倍数=大数或：小数+差=大数典例分析典例分析【典例分析01】光明小学开展冬季体育比赛，参加跳绳比赛的人数是踺子人数的3倍，比踢踺子的多36人。参加跳绳和踢踺子比赛的各有多少人？分析与解答：如果把踢踺子的人数看作1份，那么跳绳的人数是这样的3份。36人是这样的3－1=2份。这样，把36人平均分成2份，1份就是踢踺子的人数：36÷2=18人，跳绳的有18×3=54人。【典例分析02】仓库里存放大米和面粉两种粮食，面粉比大米多3900千克，面粉的千克数比大米的2倍还多100千克。仓库有大米和面粉各多少千克？分析与解答：如果面粉减少100千克，那么面粉的千克数就是大米的2倍，3900－100=3800千克，就是大米的2－1=1倍。所以，大米有3800÷1=3800千克，面粉有3800＋3900=7700千克。【典例分析03】育红小学买了一些足球、排球和篮球，已知足球比排球多7只，排球比篮球多11只，足球的只数是篮球的3倍。足球、排球和篮球各买了多少只？分析与解答：由题意可知，足球比篮球多买了7+11=18只，它是篮球的3－1=2倍。所以，买篮球18÷2=9只，买排球9+11=20只，买足球20+7=27只。【典例分析04】商店运来一批白糖和红糖，红糖的重量是白糖的3倍，卖出红糖380千克，白糖110千克后，红糖和白糖重量相等。商店原有红糖和白商各多少千克？分析与解答：由“红糖卖出380千克，白糖卖出110千克后，红糖和白糖重量相等”可知原来红糖比白糖多380－110=270千克，它是白糖的3－1=2倍。所以，白糖原有270÷2=135千克，红糖原有135×3=405千克。【典例分析05】甲、乙两个书架原有图书本数相等，如果从甲书架取出2本，从乙书架取出60本后，乙书架的本数是甲书架的3倍。原来两个书架各有图书多少本？分析与解答：由“甲、乙两个书架原有图书相等，从甲书架取240本，从乙书架取出60本”可知乙书架余下的书比甲书架多240－60=180本，它是甲书架余下的2倍，所以甲书架余下180÷2=90本。甲书架原有90＋240=330本。真题百分练真题百分练一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）1．（2分）（2017秋•广东期末）一个数分别与3和7相乘，所得的和是7560，这个数是（）A．7560 B．756 C．360【思路引导】设这个数是a，它和3相乘就是3a，和7相乘就是7a，再由它们的和是7560列出方程求解．【规范解答】解：设这个数为a，则：3a+7a＝7560，10a＝7560，10a÷10＝7560÷10，a＝756；这个数是756．故选：B．【考点评析】本题数量关系简单，根据等量关系列出方程求解比较简便．2．（2分）小明爸爸的年龄是小明年龄的4倍，小明比爸爸小24岁，小明（）岁．A．8 B．6 C．12 D．32【思路引导】设小明今年x岁，那么爸爸今年就是4x岁，根据小明的年龄比他爸爸小24岁即可列出方程解决问题．【规范解答】解：设小明今年x岁，那么爸爸今年就是4x岁，根据题意可得方程：4x﹣x＝243x＝24x＝8答：小明8岁．故选：A．【考点评析】本题考查了差倍问题，关键是根据小明的年龄比他爸爸小24岁列出方程．3．（2分）桌子上有一些红豆和绿豆，绿豆的颗数是红豆颗数的11倍，后来绿豆开始长相思，结果45颗变成了红豆，这时候红豆与绿豆一样多，那么原来有红豆（）颗．A．8 B．9 C．10 D．11【思路引导】“绿豆的颗数是红豆颗数的11倍，”则原来绿豆比红豆多10倍，又因为“45颗变成了红豆，这时候红豆与绿豆一样多，”说明绿豆比红豆是多45×2＝90颗，由此即可求出红豆原来有90÷10＝9颗．【规范解答】解：45×2÷（11﹣1），＝90÷10，＝9（颗），答：红豆原来有9颗．故选：B．【考点评析】此题关键是根据题干得出绿豆比红豆多的倍数和对应多的颗数，再利用差倍公式即可解答．4．（2分）（2021春•沭阳县期中）妈妈买了一套衣服，上衣比裤子贵160元，上衣的价钱是裤子的3倍。裤子的价钱是（）元。A．60 B．75 C．80【思路引导】根据题意：把裤子的价钱看作1份，则上衣的价钱是3份，上衣的价钱笔裤子的价钱多2份，据此解答即可。【规范解答】解：160÷（3﹣1）＝160÷2＝80（元）答：一件裤子80元。故选：C。【考点评析】差倍问题：和÷（倍数﹣1）＝小数，小数×倍数＝较大数。5．（2分）（2022春•临朐县期中）甲数是x，乙数是甲数的5倍，甲、乙两数的差是（）A．4x B．5x C．2x D．3x【思路引导】用甲数乘5，可以计算出乙数是多少，再用乙数减去甲数，计算出甲、乙两数的差是多少。【规范解答】解：5x﹣x＝4x答：甲、乙两数的差是4x。故选：A。【考点评析】本题解题关键是熟练掌握用字母表示数的方法以及相关的计算。二．填空题（共9小题，满分18分，每小题2分）6．（2分）（2022秋•腾冲市期末）小马虎在写一个一位小数时漏写了小数点，结果比原数大了19.8，原来的数是2.2。【思路引导】由于小马虎在写一个一位小数时漏写了小数点，所以得到的新数是原数的10倍，把原数看作1份，则新数是10份，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，计算出原数是多少。【规范解答】解：19.8÷（10﹣1）＝19.8÷9＝2.2答：原数是2.2。故答案为：2.2。【考点评析】本题考查差倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量差和数量差所对应的倍数关系各是多少，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，列式计算。7．（2分）（2022春•连云港期末）甲仓库存粮是乙仓库的3倍。如果从甲仓库运12吨去乙仓库，两个仓库的存粮就一样多。原来甲仓库存粮36吨，乙仓库存粮12吨。【思路引导】根据“从甲仓库运12吨去乙仓库，两个仓库的存粮就一样多”根据推测出甲仓库比乙仓库多2个12吨，再把乙仓库的存粮看作1份，则乙仓库的存粮是3份，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，计算出乙仓库存粮的吨数，再用乙仓库存粮的吨数乘3，可以计算出原来甲仓库存粮的吨数。【规范解答】解：12×2÷（3﹣1）＝24÷2＝12（吨）12×3＝36（吨）答：甲仓库存粮36吨，乙仓库存粮12吨。故答案为：36；12。【考点评析】本题考查差倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量差和数量差所对应的倍数关系各是多少，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，列式计算。8．（2分）（2022春•防城港期中）小军收集的邮票是小明的4倍，如果小军给小明15张邮票，那么两人的邮票数正好相等，原来小明有邮票10张，小军有邮票40张。【思路引导】根据“小军给小明15张邮票，那么两人的邮票数正好相等”，可以推算出小军比小明多了2个15张。把小明邮票的张数看作1份，小军邮票的张数看作4份，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，列式计算。【规范解答】解：15×2÷（4﹣1）＝30÷3＝10（张）10×4＝40（张）答：原来小明有邮票10张，小军有邮票40张。故答案为：10；40。【考点评析】本题考查差倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量差和数量差所对应的倍数关系各是多少，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，列式计算。9．（2分）（2015秋•滨湖区校级期末）有两个书架，甲书架有书80本，乙书架有书50本，每次从甲书架拿出3本放入乙书架，拿5次后两个书架的书相等．【思路引导】由题意可知甲书架比乙书架多80﹣50＝30本，再把多的平均分成2份，每人各得15本后，两个书架的本数正好相等，再想15里面有几个3，用除法即可解决．【规范解答】解：（80﹣50）÷2÷3，＝30÷2÷3，＝5（次），答：拿5次后两个书架的书相等．故答案为：5．【考点评析】此题主要考查了两个不同的书架上的数变成相同，就把多的那部分平分成2份，各一份，再想这一份里面有几个3本即可解决．10．（2分）用一个量筒向空油瓶里倒油，倒进6量筒，连瓶共重600克，倒进8量筒，连瓶共重720克。一量筒油重60克，这个空油瓶重240克。【思路引导】用720克减去600克，可以计算出8量筒比6量筒多倒的油，再用120千克除以2，可以计算出一量筒油重多少克，然后用每个量筒油的质量乘6，计算出6量筒油的质量，最后600减去6量筒油的质量，就可以计算出这个空油瓶重多少克。【规范解答】解：（720﹣600）÷（8﹣6）＝120÷2＝60（克）600﹣60×6＝600﹣360＝240（克）答：一量筒油重60克，这个空油瓶重240克。【考点评析】本题考查差倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量差和数量差所对应的倍数关系各是多少，再列式解答。11．（2分）甲、乙两堆煤共126吨，如果从甲堆运12吨给乙堆，那么甲、乙就同样多，那么原来甲有75吨煤，乙有51吨煤．【思路引导】根据题意，如果从甲堆运12吨给乙堆，则两堆同样多，可以得出甲堆比乙堆多12×2＝24吨，再根据差倍公式解答即可．【规范解答】解：乙堆原来有：（126﹣12×2）÷2＝102÷2＝51（吨）；甲堆原来有：126﹣51＝75（吨）．答：原来甲有75吨煤，乙有51吨煤．故答案为：75，51．【考点评析】根据题意，求出甲乙两堆的差，再根据差倍公式进一步解答即可．12．（2分）两块同样长的布，第一块用去34米，第二块用去20米，结果第二块所余的米数是第一块的3倍．这两块布原来长41米．【思路引导】把第一块余下米数看作单位“1”，由“第一块用去34米，第二块用去20米”可知第一块比第二块少用去34﹣20＝14（米），这个14米就相当于第一块余下米数的（3﹣1）倍，因此，第一块余下的米数为14÷（3﹣1）＝7（米），那么第一块原来长34+7＝41（米），也就是这两块布原来的长度．【规范解答】解：（34﹣20）÷（3﹣1）＝14÷2＝7（米）7+34＝41（米）或7×3+20＝41（米）．答：这两块布原来长41米．故答案为：41．【考点评析】此题解答的关键在于先求出第一块余下的米数，进而求出原来的长度．13．（2分）（2022秋•上虞区期末）哥哥有69本课外书，弟弟有41本课外书，当兄弟俩在“爱心义卖”活动中捐出同样多的课外书后，哥哥剩下的书的本数是弟弟的2倍，他们俩一共捐了26本课外书。【思路引导】把弟弟剩下的本数看作1份，则哥哥剩下的本数是2份，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，计算出弟弟剩下多少本，然后用弟弟原来的本数减去剩下的本数，计算出弟弟捐出的本数，最后用弟弟捐出的本数乘2，计算出他们俩一共捐了多少本课外书。【规范解答】解：（69﹣41）÷（2﹣1）＝28÷1＝28（本）（41﹣28）×2＝13×2＝26（本）答：他们俩一共捐了26本课外书。故答案为：26。【考点评析】本题考查差倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量差和数量差所对应的倍数关系各是多少，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，列式计算。14．（2分）一箱番茄连箱共重25千克，一筐萝卜连筐共重48千克，其中的番茄和萝卜各卖掉一半后，剩下的番茄和萝卜连箱带筐共重38千克．则一只箱子和一个筐共重3千克．【思路引导】没出售番茄、萝卜之前，连箱和连筐共重25+48＝73千克，38×2＝76千克包括了番茄、萝卜和两个箱筐的总重量，根据两者差值求出一只箱子和一个筐的共重。【规范解答】解：25+48＝73（千克）38×2＝76（千克）76﹣73＝3（千克）答：一只箱子和一个筐共重3千克．故答案为：3．【考点评析】本题主要考查数量间的和差倍比关系，找准等量关系将数据代入算式即可求得结果。三．应用题（共15小题，满分30分）15．（4分）（2022秋•吉首市期末）有两筐苹果，甲筐苹果质量是乙筐苹果的3.5倍，如果从甲筐取出35kg，两筐苹果的质量相等。甲、乙两筐原来各有苹果多少千克？【思路引导】由“甲筐苹果的质量是乙筐苹果质量的3.5倍”可知：甲筐苹果比乙筐多3.5﹣1＝2.5倍，根据““从甲筐取出35千克，两筐的苹果重量就相等了”，可知甲筐比乙筐原来重35千克，所以用35千克除以2.5，即可求出乙筐苹果的质量，进而求出甲筐苹果的质量．【规范解答】解：35÷（3.5﹣1）＝35÷2.5＝14（千克）14×3.5＝49（千克）答：甲筐原来有苹果49千克，乙筐原来有苹果14千克。【考点评析】解决本题关键是明确“甲比乙多了35千克”，再根据差倍公式求解：两数差÷倍数差＝1倍数。16．（4分）（2022春•紫金县期末）少先队员参加植树活动，五年级植树的棵数是四年级的3倍，五年级比四年级多植树24棵，四年级植树多少棵？【思路引导】把四年级植树的棵数看作1份，则五年级植树的棵数是3份，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，计算出四年级植树多少棵。【规范解答】解：24÷（3﹣1）＝24÷2＝12（棵）答：四年级植树12棵。【考点评析】本题考查差倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量差和数量差所对应的倍数关系各是多少，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，列式计算。17．（4分）（2022春•万柏林区期中）四年级同学分成A、B两组进行大扫除。A组人数是B组的5倍，如果从A组中调40名同学到B组，那么两组人数正好相等。原来A、B两组各有多少人？【思路引导】根据“从A组中调40名同学到B组，那么两组人数正好相等”，可以推测出A组比B组多2个40，把B组人数看作1份，根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，求出B组的人数，再求出A组的人数。【规范解答】解：40×2÷（5﹣1）＝80÷4＝20（人）20×5＝100（人）答：原来A组有100人，B组有20人。【考点评析】本题考查差倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量差和数量差所对应的倍数关系各是多少，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，列式计算。18．（5分）（2021春•淄博期末）果园里梨树的棵数是桃树的3.6倍，桃树比梨树少78棵。这个果园里桃树和梨树各有多少棵？【思路引导】把桃树的棵数看作1份，则梨树的棵数是3.6份，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，计算出桃树的棵数，再用桃树的棵数乘3.6，计算出梨树的棵数。【规范解答】解：78÷（3.6﹣1）＝78÷2.6＝30（棵）30×3.6＝108（棵）答：桃树有30棵，梨树有108棵。【考点评析】本题考查差倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量差和数量差所对应的倍数关系各是多少，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，列式计算。19．（5分）（2021春•六盘水期中）甲、乙两数的差是252，如果把甲数的小数点向左移动一位后就等于乙数，甲、乙两数各是多少？【思路引导】把甲数的小数点向左移动一位后等于乙数，可知甲数是乙数的10倍，再根据等量关系：甲数﹣乙数＝252，列方程解答。【规范解答】解：设乙数为x。10x﹣x＝2529x＝2529x÷9＝252÷9x＝28甲数：28×10＝280答：甲数是280，乙数是28。【考点评析】本题考查差倍问题的解题方法，用方程解答比较简便，解题关键是找出题目中的等量关系：甲数﹣乙数＝252，列方程解答。20．（5分）（2021春•宝安区期末）甲、乙、丙三位小朋友共有85本书。如果把甲的书的本数加2，乙的书的本数减2，丙的书的本数乘2后，三人书的本数相等。甲、乙、丙原来各有多少本书？【思路引导】甲的书的本数加2，乙的书的本数减2，丙的书的本数乘2后，三人书的本数相等，由此可知，甲的书的本数是（2丙﹣2）本，乙的书的本书是（2丙+2）本，所以甲+乙+丙＝5丙，据此列式解答即可。【规范解答】解：85÷（2+2+1）＝85÷5＝17（本）17×2﹣2＝34﹣2＝32（本）17×2+2＝34+2＝36（本）答：甲原来有32本，乙原来有36本，丙原来有17本。【考点评析】明确甲、乙的书的本数与丙的书的本数的关系是解题的关键。21．（5分）（2022春•滨城区期末）妈妈买来红、绿两条彩带计划做4个蝴蝶结放在不同的礼盒上，按下面的方法剪去同样长的一段后，剩下的红彩带的长是绿彩带的2倍。两条彩带各剪去了多少米？【思路引导】用红彩带的长度减去绿彩带的长度，即可计算出剩下的红彩带比绿彩带长多少米，在把剩下的绿彩带的长度看作1份，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，计算出剩下的绿彩带的长度，最后用原来绿彩带的长度减去剩下的绿彩带的长度，即可计算出两条彩带各剪去了多少米。【规范解答】解：（3.8﹣2.4）÷（2﹣1）＝1.4÷1＝1.4（米）2.4﹣1.4＝1（米）答：两条彩带各剪去了1米。【考点评析】本题考查差倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量差和数量差所对应的倍数关系各是多少，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，列式计算。22．（5分）果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵？【思路引导】把杏树的棵数看作1份，则桃树的棵数是3份，桃树比杏树多2份，这2份所对应的棵数是124棵，用多的棵数除以多的份数就可以计算出银杏树的棵数是多少，最后用银杏树的棵数乘3，计算出桃树的棵数。【规范解答】解：124÷（3﹣1）＝124÷2＝62（棵）62×3＝186（棵）答：杏树有62棵，桃树有186棵。【考点评析】本题考查差倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量差和数量差所对应的倍数关系各是多少，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，列式计算。23．（5分）春雨街小学的篮球、足球和排球共有95个。又知排球数是篮球数的2倍，足球数比排球数少5个。求篮球、足球和排球各是多少个？【思路引导】把篮球的个数看作1份，则篮球、足球和排球的总份数是5，这5份对应的数量是95+5，最后根据和倍问题的计算公式：和÷（倍数+1）＝1份数，求出篮球的个数，再计算出足球和排球的个数。【规范解答】解：（95+5）÷（2+2+1）＝100÷5＝20（个）排球：20×2＝40（个）足球：20×2﹣5＝35（个）答：篮球有20个，排球有40个，足球有35个。【考点评析】本题考查和倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量和以及数量和所对应的份数关系各是多少，然后根据和倍问题的计算公式：和÷（倍数+1）＝1份数，列式计算。24．（5分）（2022春•南通期末）小明和小力收集邮票。小明收集的张数是小力的5倍，如果小明给小力16张，两人的邮票就同样多。小明收集了多少张邮票？（先把线段图补充完整，再解答。）【思路引导】根据小明收集的张数是小力的5倍，也就是小明收集的张数比小力收集的张数多4倍；如果小明给小力16张，两人的邮票就同样多，那么其中的2倍就是16张。用16除以2，求出小力收集的张数，再乘5，求出小明收集的张数。【规范解答】解：（5﹣1）÷2＝4÷2＝216÷2×5＝8×5＝40（张）答：小明收集了40张邮票。【考点评析】本题考查学生利用画线段图的方法理清题中量与量之间的关系。25．（5分）（2022春•英山县期末）用一只杯子向一个空瓶里倒水．如果倒进3杯水，连瓶共重440克；如果倒进5杯水，连瓶共重600克．想一想：一杯水和一个空瓶各重多少克？【思路引导】由“倒进3杯水，连瓶共重440克；倒进5杯水，连瓶共重600克”，那么2杯水的重量为600﹣440＝160克，从而算出1杯水的重量，进一步求出3杯水的重量，然后用440克减去3杯水的重量，即为一个空瓶的重量．【规范解答】解：（600﹣440）÷（5﹣3）＝160÷2＝80（克）；440﹣80×3＝440﹣240＝200（克）；答：一杯水重80克，一个空瓶重200克．【考点评析】求出1杯水的重量是解答此题的关键，由此求出3杯水的重量，再根据“倒进3杯水，连瓶共重440克”得出问题的答案．26．（5分）（2021春•鼓楼区期末）一个双层书架，上层书的本数是下层的5倍．如果从上层搬80本到下层，那么两层书的本数正好相等，原来上、下层各有图书多少本？【思路引导】由题意得等量关系式：上层原有书的数量﹣80＝下层原有书的数量+80，设出下层原有书的数量，则上层原有书的数量＝下层原有书的数量×5，列方程解答即可．【规范解答】解：设原来下层有x本书，则上层原有5x本书，5x﹣80＝x+805x﹣x＝80+80