13集合的基本运算（原卷版）

1.3集合的基本运算【知识点梳理】知识点一：集合的运算1.并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}Venn图表示：知识点诠释：（1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”．（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).2.交集一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示：知识点诠释：（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是．（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”．（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合.3.补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(plementaryset)，简称为集合A的补集，记作：，即补集的Venn图表示：知识点诠释：（1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同．（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集．（3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）．4.集合基本运算的一些结论，若A∩B=A，则，反之也成立若A∪B=B，则，反之也成立若x(A∩B)，则xA且xB若x(A∪B)，则xA，或xB求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.【题型归纳目录】题型一：集合的交集运算题型二：并集运算题型三：补集运算题型四：集合的交集、并集与补集的混合运算题型五：已知集合的交集、并集求参数题型六：韦恩图在集合运算中的应用【典型例题】题型一：集合的交集运算例1.（2022·云南·高二期末（文））已知集合，，则（

）A． B． C． D．例2．（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））设集合，则（

）A． B． C． D．例3．（2022·浙江·杭州市余杭高级中学高二学业考试）已知集合，则（

）A． B． C． D．例4．（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知集合，，，，则的元素个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5例5．（2022·北京·东北师范大学附属中学朝阳学校高一阶段练习）若集合，，则（

）A． B．C． D．【技巧总结】求集合A∩B的步骤与注意点(1)步骤：①弄清两个集合的属性及代表元素;②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式;③把化简后的集合A，B的所有公共元素都写出来即可(相同元素只写一个).(2)注意:若A，B是无限连续的数集，可以利用数轴来求解.但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示.题型二：并集运算例6.（2022·云南德宏·高一期末）已知集合，则（

）A． B． C． D．例7．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高一期末）已知集合，，则（

）A． B． C． D．例8．（2022·安徽省六安中学高一期中）对于非空集合P，Q，定义集合间的一种运算“★”：且．如果，则（

）A． B．或C．或 D．或例9．（2018·全国·高一课时练习）当时，若，且，则称为的一个“孤立元素”，由的所有孤立元素组成的集合称为的“孤星集”，若集合的孤星集为，集合的孤星集为，则()A． B．C． D．【技巧总结】求集合并集的两个方法(1)若集合元素个数有限，可根据定义直接写出并集.(2)若集合元素个数无限，可借助于数轴分析，求出并集，但应注意端点是否能取得.题型三：补集运算例10．（2022·四川·宁南中学高一阶段练习（理））已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．例11．（2022·陕西·武功县普集高级中学高一阶段练习）设集合，则（

）A． B． C． D．例12．（2022·四川甘孜·高一期末）已知集合，，，则（

）A．{6，8} B．{2，3，6，8} C．{2} D．{2，6，8}例13．（2022·河北·石家庄市藁城区第一中学高一阶段练习）已知全集，集合，，则（

）A．{1，2，3，4} B．{1，2，4，5} C．{1，4} D．{2}【技巧总结】补集的求解步骤及方法(1)步骤:①确定全集:在进行补集的简单运算时，应首先明确全集;②紧扣定义求解补集.(2)方法:①借助Venn图或数轴求解;②借助补集性质求解.题型四：集合的交集、并集与补集的混合运算例14.（多选题）（2022·湖南·永州市第二中学高一阶段练习）图中的阴影表示的集合是（

）A． B．C． D．例15．（2022·天津·油田三中高一阶段练习）已知全集，，，则______．例16．（2022·陕西·西安高级中学高一阶段练习）若{|是小于9的正整数}，{|是奇数}，{|是3的倍数}，则______例17．（2022·北京市十一学校高一期中）设集合，则________.例18．（2020·内蒙古·包头市第四中学高一期中）已知全集U=R，，，P={x|x≤0或}，求(1)(2)【技巧总结】求解与不等式有关的集合问题的方法解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到.题型五：已知集合的交集、并集求参数例19．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1<x<6}，C＝{x|x>a}，U＝R.(1)求A∪B，；(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围.例20．（2022·湖北·车城高中高一阶段练习）已知集合，.(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围.例21．（2022·福建省德化第一中学高一阶段练习）设全集，集合(1)求；(2)若集合，且，求a的取值范围．例22．（2022·江苏省江阴市第一中学高一期中）已知集合，，且.(1)求集合的所有非空子集；(2)求实数的值组成的集合.例23．（2022·辽宁·大连市第十五中学高一阶段练习）已知集合，，若，求实数的取值集合.例24．（2022·湖南·高一课时练习）设R为全集，，，且，求的取值范围．例25．（2022·浙江湖州·高一期末）已知集合，．(1)当时，求；(2)若，求实数m的取值范围．例26．（2022·广西·高一阶段练习）设全集，，且，求实数p的值．【技巧总结】利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点(1)方法:利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到A∪B=B，A∩B=A等这类问题，解答时常借助交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如A∩B=A⇔A⊆B，A∪B=B⇔A⊆B.(2)关注点:当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A=∅的情况，否则易漏解.题型六：韦恩图在集合运算中的应用例27．（2022·江苏·徐州市第七中学高一期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加由径和球类比赛的有___________人?只参加游泳一项比赛的有___________人?例28．（2022·湖南·高一课时练习）市场调查公司为了解某市市民在阅读报纸（日报和晚报）方面的取向，抽样调查了500个市民，调查结果显示：订阅日报的有334人，订阅晚报的有297人，其中两种都订的有150人．试问：(1)只订日报不订晚报的有多少人？(2)只订晚报不订日报的有多少人？(3)至少订一种报纸的有多少人？(4)有多少人不订报纸？例29．（2020·全国·高一课时练习）设全集，若，，，则__________．【同步练习】一、单选题1．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））已知集合，则（

）A． B． C． D．2．（2022·贵州·凯里一中高一期中）已知且，若集合，，则（

）A． B． C． D．3．（2022·湖北·模拟预测）非空集合A、B满足，，，则（

）A． B．R C．A D．B4．（2022·江苏省天一中学高二期中）已知集合，则（

）A． B． C． D．5．（2022·陕西·西安中学模拟预测（理））如图，全集，集合，集合，则阴影部分表示集合（

）A． B．C． D．6．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）已知集合，则（

）A． B．C．或 D．7．（2022·全国·高三专题练习（理））已知集合，满足，，全集，则下列说法中不可能正确的有（

）A．没有最大元素，有一个最小元素 B．有一个最大元素，没有最小元素C．有一个最大元素，有一个最小元素 D．没有最大元素，也没有最小元素8．（2022·全国·高三专题练习（理））设，，若，则实数的值不可以是（）A．0 B． C． D．2二、多选题9．（2022·辽宁·辽师大附中高二阶段练习）集合，且，实数a的值为（

）A．0 B．1 C． D．210．（2022·浙江·杭州市富阳区实验中学高二阶段练习）已知集合，则下列结论错误的是（）A． B．C． D．11．（2022·湖南·高一课时练习）(多选)已知集合，．若，则实数m的值为（

）A．0 B．1C．3 D．312．（2022·全国·高一期末）在整数集中被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，､､､､.则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．“整数､属于同一类”的充要条件是“”三、填空题13．（2022·山西运城·高二阶段练习）设集合，若，则实数a的取值范围为____．14．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）若全集，集合，，则___________.15．（2022·全国·高一专题练习）某校有17名学生，每人至少参加全国数学､物理､化学三科竞赛中的一科，已知其中参加数学竞赛的有11人，参加物理竞赛的有7人，参加化学竞赛的有9人，同时参加数学和物理竞赛的有4人，同时参加数学和化学竞赛的有5人，同时参加物理和化学竞赛的有3人，则三科竞赛都参加的有___________人.16．（2022·黑龙江·大庆实验中学高一期末）设集合，对其子集引进“势”的概念；①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大.最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，以此类推.若将全部的子集按“势”从小到大顺序排列，则排在第位的子集是_________.四、解答题17．（2022·湖南·高一课时练习）设，，，求：(1)，，；(2)，，．18．（2022·广西钦州·高一期末）已知全集，，集合．(1)求；(2)求．19．（