专题06用空间向量研究距离夹角问题10种常见考法归类（原卷版）

专题06用空间向量研究距离、夹角问题10种常见考法归类1．空间角的向量求法角的分类向量求法范围两异面直线l1与l2所成的角为θ设l1与l2的方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos<u，v>|＝eq\f(|u·v|,|u||v|)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))直线l与平面α所成的角为θ设l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos<u，n>|＝eq\f(|u·n|,|u||n|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))平面α与平面β的夹角为θ设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cosθ＝|cos<n1，n2>|＝eq\f(|n1·n2|,|n1|·|n2|)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))2．空间距离的向量求法分类向量求法两点距设A、B为空间中的任意两点，则d＝|AB|（注：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间中任意两点，则d＝|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝eq\r(\o(AB,\s\up16(→))·\o(AB,\s\up16(→)))＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2＋（z2－z1）2)）点线距设直线l的单位方向向量为u，A∈l，Pl，设eq\o(AP,\s\up8(→))＝a，则点P到直线l的距离d＝eq\r(|a|2－（a·u）2)点面距已知平面α的法向量为n，A∈α，Pα，则点P到平面α的距离为d＝eq\f(|\o(AP,\s\up8(→))·n|,|n|)3．空间距离的定义(1)图形与图形的距离：一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的最小值叫做图形与图形的距离．(2)点到平面的距离：一点到它在一个平面内正射影的距离，叫做点到这个平面的距离．(3)直线与其平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离，叫做直线与平面的距离．(4)两个平行平面的距离：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线．夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段．两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距离．4.求点到平面的距离的四步骤注：线面距、面面距实质上都是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行．5.求点到平面的距离的常用方法(1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离．(2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求．(3)等体积法：求点面距离可以转化为求三棱锥的高，如四面体中点A到平面BCD的距离，用等体积法求得h＝.(4)向量法：设平面α的一个法向量为n，A是α内任意点，则点P到α的距离为d＝eq\f(|\o(PA,\s\up8(→))·n|,|n|).6．向量法求空间距离的注意点(1)数形结合：利用向量法求空间距离时，一定要注意结合图形分析，再利用向量求解．(2)向量式的共同点：空间两几何元素(点、直线、平面)之间的距离，除两点间距离及点线距外都具有相同的表达形式．设平面的法向量为n(求异面直线间的距离时，取与两异面直线都垂直的向量为n)，求距离的两几何图形上各取一点A，B，则距离d＝eq\f(|\o(AB,\s\up16(→))·n|,|n|).(如图)(3)特殊性：求距离还常采用等积变换法或归结为解直角三角形．利用向量法实际取点时，要选取方便，容易计算的．7.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；注：用坐标法求异面直线所成角的一般步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标；(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；(4)结合异面直线所成角的范围求出异面直线所成的角．二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解．8．两条异面直线所成的角的两个关注点(1)余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角．(2)范围：异面直线所成的角θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，故两直线的方向向量夹角α的余弦值为负时，应取其绝对值．9.求直线与平面的夹角的思路与步骤思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量．利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤．(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线的方向向量eq\o(AB,\s\up8(→))；(3)求平面的法向量n；(4)计算：设线面角为θ，则sinθ＝eq\f(|n·\o(AB,\s\up8(→))|,|n|·|\o(AB,\s\up8(→))|).10.求线面角的两种方法(1)将线面角转化为线线角．根据直线与平面所成角的定义，确定出待求角，转化为两条直线所成的角来求解，此时要注意两直线所成角的取值范围．(2)向量法．设直线AP的方向向量为a，平面α的法向量为n，所求直线与平面所成的角为θ(θ∈[0，eq\f(π,2)])，a与n的夹角为φ，则sinθ＝|cosφ|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).求解步骤如下：①分析图形关系，建立空间直角坐标系；②求出直线的方向向量a和平面的法向量n；③计算：设线面角为θ，则sinθ＝eq\f(|n·\o(AB,\s\up8(→))|,|n|·|\o(AB,\s\up8(→))|)；④判断直线和平面所成的角θ和〈a，n〉的关系，求出角θ.11.二面角与平面的夹角区别和联系（1）二面角的范围为[0，π]，而两个平面的夹角是不大于直角的角，范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).（2）两平面的夹角与二面角的两个半平面的法向量所成的角的关系：两平面的法向量分别为u，v，若〈u，v〉为锐角时，两平面的夹角等于〈u，v〉，若〈u，v〉为钝角时，两平面的夹角等于π－〈u，v〉．12.利用向量法求两平面夹角的步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；(3)求两个法向量的夹角；(4)法向量夹角或其补角就是两平面的夹角(不大于90°的角)．13.求二面角的两种思路（1）若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面α，β内与棱l垂直的异面直线，则向量eq\o(AB,\s\up13(→))与eq\o(CD,\s\up13(→))的夹角就是二面角的平面角(如图)，可利用公式cos〈eq\o(AB,\s\up13(→))，eq\o(CD,\s\up13(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up13(→))·\o(CD,\s\up13(→)),|\o(AB,\s\up13(→))||\o(CD,\s\up13(→))|)求二面角．（2）设n1，n2分别是二面角α­l­β的两个半平面α，β所在平面的法向量，则向量n1与n2的夹角或其补角就是二面角的平面角(如图所示)．而我们做题时经常用第二种思路．利用法向量求二面角的大小的一般步骤如下．①建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系．②求法向量：在建立的坐标系下求两个面的法向量n1，n2.③计算：求n1与n2所成锐角θ，cosθ＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).④定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ.注：确定二面角的平面角的大小，方法有：①根据几何图形直观判断二面角的平面角是锐角还是钝角，从而决定其余弦值的正负；②依据“同进同出互补，一进一出相等”求解；③在二面角的一个半平面内取一点P，过P点作另一个半平面所在平面的垂线，若垂足在另一个半平面内，则所求二面角为锐角，若垂足在另一个半平面的反向延长面上，则所求二面角为钝角．图示如下：条件平面α，β的法向量分别为u，v，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈u，v〉＝φ图形关系θ＝φθ＝π－φ计算cosθ＝cosφcosθ＝－cosφ14．向量法求空间角的一般步骤(1)向量表示法一：选不共面的三个向量为基底，进行基底表示；法二：建立适当的坐标系进行坐标表示．求出直线a、b的方向向量a、b，平面α、β的法向量m、n.(2)向量运算①求直线a、b所成的角，计算cos〈a，b〉；②求直线a与平面α所成的角，计算cos〈a，m〉；③求两个平面的夹角的大小，计算cos〈m，n〉．(3)解释结论①由于直线a、b所成角θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，故cosθ＝|cos〈a，b〉|.②直线a与平面α所成角θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，由图形知〈a，m〉与θ的余角相等或互补，故sinθ＝|cos〈a，b〉|.③两个平面的夹角为不大于直角的角，范围θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，故cosθ＝|cos〈m，n〉考点一求点到直线的距离（一）点到直线的距离（二）两平行线间的距离考点二求点到平面的距离（一）点到平面距离（二）直线到平面的距离（三）平行平面间的距离（四）异面直线的距离考点三有关距离的探索性问题考点四求两条异面直线所成的角考点五已知线线角求其他量考点六求直线与平面所成的角考点七已知线面角求其他量考点八求平面与平面的夹角（一）平面与平面的夹角（二）二面角考点九已知面面角求其他量考点十有关夹角的探索性问题考点一求点到直线的距离（一）点到直线的距离1．（2023·全国·高二专题练习）已知空间三点，则点到直线的距离为．2．（2023秋·高二课时练习）已知直线l的一个方向向量为，若点为直线l外一点，为直线l上一点，则点P到直线l的距离为.3．（2023春·江西赣州·高二上犹中学校考期末）已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（

）A． B． C． D．4．（2023·浙江温州·统考三模）四面体满足，点在棱上，且，点为的重心，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，且，为棱的中点，点在上，且，则的中点到直线的距离是．6．（2023秋·高二课时练习）如图，在四棱锥中，，底面ABCD为菱形，边长为2，，，且，异面直线PB与CD所成的角为.

(1)求证:平面ABCD;(2)若E是线段OC的中点，求点E到直线BP的距离.7．（2023春·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，为的中点，是棱上两点（在的上方），且.

(1)若，求证：平面；(2)当点到平面的距离取得最大值时，求的长.8．（2023·吉林·统考模拟预测）如图1，在等腰梯形中，，沿将折成，如图2所示，连接，得到四棱锥.(1)若平面平面，求证：；(2)若点是的中点，求点到直线的距离的取值范围.（二）两平行线间的距离9．（2023秋·山东济宁·高二济宁市育才中学校考阶段练习）在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到直线的距离为.10．（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．（1）求点到直线的距离；（2）求直线到直线的距离；（3）求点到平面的距离；（4）求直线到平面的距离．考点二求点到平面的距离11．（2023春·甘肃临夏·高二统考期末）如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，点在边上，且，为的中点．以，，分别为轴，轴，轴的正方向，井以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求：

(1)直线的一个方向向量；(2)点到平面的距离．12．（2023·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，是的中点，，则点到平面的距离为（

）

A． B． C． D．13．（2023春·江西·高二赣州市第四中学校考期末）如图，已知平面，底面为矩形，，，、分别为、的中点．

(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离．14．（2023春·云南楚雄·高二统考期中）如图，在正三棱柱中，是线段上靠近点的一个三等分点，是的中点．

(1)证明：平面；(2)若，求点到平面的距离．15．（2023春·江苏南京·高二统考期末）如图，在三棱柱中，平面，，点为中点.

(1)求证：平面；(2)求点到直线的距离.16．【多选】（2023春·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考期末）已知正方体的边长为1，点分别是棱的中点，下列说法正确的有（

）A．B．平面C．平面截正方体的截面面积为D．到平面的距离为（二）直线到平面的距离17．（2023·江苏·高二专题练习）如图，正方体的棱长为2，点为的中点．(1)求点到平面的距离为；(2)求到平面的距离．18．【多选】（2023·高二课时练习）在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（

）A．异面直线AC与所成的角为B．是平面的一个法向量C．直线到平面的距离为D．平面与平面间的距离为（三）平行平面间的距离19．（2023·全国·高三专题练习）若两平行平面、分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量为，则两平面间的距离是．20．（2023春·高二课时练习）正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为.21．（2023秋·高二课时练习）已知正方体的棱长为4，设M、N、E、F分别是，的中点，求平面AMN与平面EFBD的距离．22．（2023春·高二课时练习）直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．

(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面的距离．（四）异面直线的距离23．（2023·北京石景山·校考模拟预测）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为线段BC1上的动点，则点P到直线AC的距离的最小值为（）

A．1 B． C． D．24．（2023秋·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）如图是一棱长为的正方体，则异面直线与之间的距离为（

）A． B． C． D．25．（2023春·高二课时练习）如图，在长方体中，，，求：(1)点到直线BD的距离；(2)点到平面的距离；(3)异面直线之间的距离.26．（2023春·高二课时练习）如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，顶点在底面的射影为底面正三角形的中心，P，Q分别是异面直线上的动点，则P，Q两点间距离的最小值是（

）A． B．2 C． D．考点三有关距离的探索性问题27．（2023·全国·高三专题练习）已知直三棱柱中，侧面为正方形.，E，F分别为AC和的中点，.(1)求四棱锥的体积；(2)是否存在点D在直线上，使得异面直线BF，DE的距离为1?若存在，求出此时线段DE的长；若不存在，请说明理由.28．（2023秋·江苏·高二专题练习）如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面，是的中点．（1）求平面和平面夹角的余弦值；（2）在线段（含端点）上是否存在点，使点到平面的距离为？请说明理由．29．（2023秋·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考阶段练习）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．(1)证明：；(2)已知是边长为1的等边三角形，且三棱锥的体积为，若点在棱上，且点到平面的距离为，求．考点四求两条异面直线所成的角30．（2023春·高二单元测试）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，.

(1)求证：平面；(2)若，求与所成角的余弦值.31．（2023春·江西赣州·高二江西省寻乌中学校考阶段练习）如图，设在直三棱柱中，，，E，F依次为的中点．

(1)求异面直线、EF所成角的余弦值；(2)求点到平面AEF的距离．32．（2023秋·北京西城·高二北京市第三十五中学校考期中）已知四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，E是PB的中点.

(1)求直线BD与直线PC所成角的余弦值；(2)求证：平面(3)求点到平面的距离.33．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）已知直三棱柱，各棱长均为，为的中点，为的中点．(1)求直三棱柱的体积；(2)求证：平面；(3)求异面直线与所成角的余弦值．34．（2023秋·安徽蚌埠·高二统考期末）在三棱锥中，平面，平面平面.

(1)证明：平面；(2)若为中点，求向量与夹角的余弦值.考点五已知线线角求其他量35．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图，在三棱锥中，底面，.点、、分别为棱、、的中点，是线段的中点，，.

(1)求证：平面；(2)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长．36．（2023秋·浙江绍兴·高三绍兴一中校考阶段练习）如图，三棱锥中，底面于B，∠BCA＝90°，，点E是PC的中点．

(1)求证：侧面PAC⊥平面PBC；(2)若异面直线AE与PB所成的角为θ，且，求平面ABC与平面ABE所成角的大小．37．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，平面平面，点是线段上的动点.(1)证明：平面平面；(2)若点在线段上，，且异面直线与成30°角，求平面和平面夹角的余弦值.38．（2023秋·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考阶段练习）为正方体，动点P在对角线上，记．(1)求证：；(2)若异面直线AP与所成角为，求的值．考点六求直线与平面所成的角39．（2023春·江西九江·高二校考期末）如图所示，在直四棱柱中，，，，，.(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.40．（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期末）如图所示，在三棱锥C—ABD中，AB⊥BD，，BC⊥CD，，E是AD的中点，.

(1)证明：平面CBD⊥平面ABD；(2)求直线BC与平面ACD所成角的正弦值．41．（2023·广东深圳·统考二模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点是的中点.

(1)证明：；(2)设的中点为，点在棱上（异于点，，且，求直线与平面所成角的正弦值.42．（2024·江西·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点是的中点.

(1)证明：；(2)求直线与平面所成的角的正弦值.43．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）如图，平行六面体的体积为6，截面的面积为6．

(1)求点到平面的距离；(2)若，，求直线与平面所成角的正弦值．考点七已知线面角求其他量44．（江西省新余市20222023学年高二下学期期末数学试题）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点.

(1)证明：平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.45．（2023·江苏·高二专题练习）如图,在直三棱柱中,是以为斜边的等腰直角三角形，,分别为上的点,且.

(1)若,求证:平面;(2)若,直线与平面所成角的正弦值为,求二面角的余弦值.46．（2023春·福建宁德·高二校联考期中）如图，四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，.

(1)证明：平面平面；(2)若，且与平面所成角的正弦值为，点E在线段上满足，求二面角的余弦值.47．（2023·福建漳州·统考模拟预测）如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，平面，，，，分别为，的中点，平面与平面的交线为，在圆上.

(1)在图中作出交线（说明画法，不必证明），并求三棱锥的体积；(2)若点满足，且与平面所成角的正弦值为，求的值.考点八求平面与平面的夹角平面与平面的夹角48．（2023·天津·统考模拟预测）如图，在四棱锥中，平而为的中点，在上，且(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成二面角的正弦值；(3)点是线段上异于两端点的任意一点，若满足异面直线与所成角的余弦值为，求的长．49．（2023秋·湖北武汉·高二华中科技大学附属中学阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，，，，分别是，上的点，且，，分别为，的中点，现将沿折起，得到四棱锥，连结．(1)证明：平面；(2)在翻折的过程中，当时，求平面与平面夹角的余弦值．50．（福建省厦门市20222023学年高二下学期期末质量检测数学试题）如图所示，在三棱柱中，是正三角形，D为棱AC的中点，，平面交于点E.

(1)证明：四边形是矩形(2)若，，求平面与平面的夹角的余弦值.51．（2023春·云南昆明·高二统考期末）如图，三棱柱中，是的中点，平面.

(1)求证：；(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.52．（2023春·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面是的中点.

(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成二面角的余弦值.（二）二面角53．（2023秋·天津河西·高二天津实验中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面,点为棱的中点．

(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值．54．（2023春·安徽亳州·高二涡阳县第二中学校联考期末）如图，已知五面体中，四边形为矩形，为直角梯形，．

(1)求证：平面平面；(2)若为中点，求二面角的余弦值．55．（2023春·贵州黔东南·高二统考期末）在四棱锥中，底面是矩形，分别是棱的中点.

(1)证明：平面；(2)若平面，且，，求二面角的余弦值.56．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）如图，在三棱柱中，，．

(1)证明：；(2)若，，，求二面角的余弦值．考点九已知面面角求其他量57．（2023·江苏·高二专题练习）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且，，，四点共面.

(1)证明：平面平面；(2)若平面与平面所成二面角的余弦值为，且线段长度为2，求点到直线的距离.58．（2023春·福建·高二校联考期末）如图，在正三棱柱中，点在棱上，且.

(1)求证：平面；(2)若正三棱柱的底面边长为，二面角的大小为，求直线到平面的距离.59．（2023·浙江·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为的正三角形，平面平面