631平面向量基本定理高一数学(人教A版2019)

高中数学

人教A版（2019）

必修第一册第六章

平面向量及其应用6.3.1平面向量基本定理山东沂水县第四中学教材分析本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第六章《平面向量及其应用》的第三节《平面向量基本定理及坐标表示》。以下是本节的课时安排：课时内容平面向量基本定理平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加减运算的坐标表示平面向量数乘运算的坐标表示平面向量数量积的坐标表示所在位置教材第25页教材第27页教材第29页教材第31页教材第34页新教材内容分析平面向量的基本定理揭示了平面向量之间的基本关系，是向量解决问题的理论基础，同时平面向量的基本定理也为我们提供了一种重要的数学转化思想。平面向量基本定理是坐标表示的基础，坐标表示使平面中的向量与坐标建立起了一一对应的关系，这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭建了桥梁，也决定了本课内容在向量知识体系中的核心地位。在教学中始终抓住向量具有几何与代数双重属性，进一步熟悉向量的坐标表示及运算法则、运算律；熟悉向量代数化的重要作用和在实际生活中的应用，加强方程思想和数学应用意识。前面已经找出两个向量共线的条件，本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示，只要将向量用坐标表示出来，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示。由于平面向量数量积涉及了向量的模向量的夹角，因此在实现向量的数量积的坐标表示后，向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来。核心素养培养理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义，培养学生的数学抽象的核心素养；掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量，培养学生数学运算的核心素养。借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示，培养学生数学抽象和直观想象的核心素养。会用坐标表示平面向量的加、减运算，培养学生数学运算的核心素养。掌握两个向量数乘的坐标运算法则，培养学生数学运算的核心素养；能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，培养学生逻辑推理的核心素养。通过对平面向量数量积的坐标表示的学习，培养学生数学运算的数学素养；能根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直，培养学生数学运算、逻辑推理的数学素养。教学主线平面向量基本定理学习目标

1.理解平面向量基本定理，了解向量的一组基底的含义，培养数学抽象的核心素养；2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量，培养逻辑推理的核心素养；3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题，提升数学运算的核心素养。重点、难点1.重点：了解平面向量基本定理及其意义；2.难点：了解向量基底的含义；

在平面内，当一组基底确定后，会用这组基底来表示其他向量。（一）新知导入

1.创设情境，生成问题音乐是人们在休闲时候的一种选择，不管是通俗的流行歌曲、动感的摇滚音乐，还是高雅的古典音乐，它们都给了人们不同的享受、不一样的感觉.事实上，音乐有基本音符：DoReMiFaSoLaSi，所有的乐谱都是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙就在于此.【想一想】在多样的向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？（一）新知导入

2.探索交流，解决问题

【想一想2】表示的依据是什么？【提示】向量的数乘运算和平行四边形法则.（二）平面向量基本定理

【提示】（二）平面向量基本定理1.平面向量基本定理

对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．不共线任一

基底（二）平面向量基本定理

答案:(1)×(2)×(3)√（4）√（三）典型例题

1.基底概念的理解

答案B（三）典型例题

【类题通法】对基底的理解两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．【巩固练习1】（1）设点O是▱ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是()（2）点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是()答案：（1）B（2）B（三）典型例题2.用基底表示向量

（三）典型例题

（三）典型例题【类题通法】用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．

（三）典型例题3.平面向量基本定理的综合应用

【巩固练习3】如图所示,在等腰直角三角形ACB中,∠ACB=90°,CA=CB,D为BC的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:AD⊥CE.【类题通法】数量积的计算中，利用平面向量基本定理可以把需要的向量表示出来，再根据数量积的运算法则进行计算。（四）操作演练素养提升

3.在平行四边形ABCD中，点M，N分别在边BC，CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是()A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．等腰三角形

CAC

课堂小结知识总结学生反思（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？作业布置完成教材——第27页