552三角恒等变换(典例精讲)-2021-2022学年高一数学精讲检测(人教A版2019)

三角恒等变换典例精讲典例精讲本节课知识点目录：恒等变换：辅助角；恒等变换：常见拆角恒等变换：和差化积与积化和差。恒等变换：化切万能代换恒等变换：分式型拆角变形三角形中的恒等变换恒等变换求最值恒等变换：综合证明高中数学联赛题选一、辅助角【典型例题】【例1】不等式对于恒成立，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用二倍角正余弦公式有，结合辅助角公式，将问题转化为对恒成立，进而求m的范围.【详解】由题设，有，∴对恒成立，而，∴，即.故选：B.【例2】已知函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用倍角公式及辅助角公式将函数化为，再根据函数在区间上恰有5个零点，结合正弦函数的性质，列出不等式，即可得解.【详解】解：，令，则，由，则，因为函数在区间上恰有5个零点，所以，解得.故选：C.【例3】当时，函数取得最大值，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】设锐角满足，，利用辅助角公式得出，分析可得出，利用诱导公式可求得的值.【详解】设锐角满足，，，当时，函数取得最大值，则，所以，，所以，，，因此，.故选：C.【例4】函数有最大值，最小值，则等于（）A．5 B．6 C．8 D．9【答案】D【分析】运用二倍角的正弦公式和余弦公式和辅助角公式整理得（为辅助角），结合正弦函数的值域，可得最值，解方程可得，，进而得到所求值．【详解】函数（为辅助角），则的最大值为，最小值为，由题意可得，且，解得，，则.故选：D.【例5】若，，则（）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】利用，结合辅助角公式、基本不等式，得出，即可得出结果【详解】，，则，，，当且仅当时取等号，由，，，，，，故选：D【例6】若函数的最大值是8，则（）A．3 B．13 C．3或 D．或13【答案】C【分析】利用辅助角公式化简，根据正弦的值域，分类讨论函数最大值即可.【详解】，,当时，,解得，当时，，解得，故选：C【例7】若函数的最大值为1．则实数（）A．1 B． C．3 D．【答案】B【分析】首先利用三角恒等变换公式将函数化简，再利用正弦型函数的性质的应用求出结果．【详解】解：，即，当，即时，函数的最大值为，解得．故选：．【例8】若，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用辅助角公式及三角函数的有界性得到，即可得到，再解分式不等式组即可；【详解】解：因为，所以，又，所以，解，即，即得；解，即，即得或；综上可得，即故选：C【对点实战】1.函数的最大值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用降次公式、二倍角公式和辅助角公式化简，由此求得的最大值.【详解】依题意，所以的最大值为.故选：A2.函数的最大值为（）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】首先根据两角差的正弦公式，降幂公式，辅助角公式化简函数，再求函数的最大值.【详解】∵∴．故选：.3.已知是函数的最大值点，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】化简，根据最值得到，代入计算得到答案.【详解】，其中，，当，，即，时，函数有最大值，此时.故选：A.4.已知，则A． B． C． D．【答案】A【详解】，.化简得：..故选A.5.若函数的最大值为，则实数的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用辅助角公式将函数整理成，再讨论和时的最大值解出参数的值即可.【详解】依题意，，设锐角满足，则.当时，函数的最大值为因此.当时，函数的最大值为解得.综上，实数的值为.故选：B.6.已知，，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用辅助角公式化简即可求得.【详解】解：，即，即，易知：，，即，故，即，又，令，得.故选：D.7.当时，函数取得最小值，则的值为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用辅助角公式可知函数，然后把代入结合平方关系可得，最后利用两角和的正弦公式计算可得结果.【详解】由题可知：所以，则所以所以故选：A二、恒等变换：常见拆角【典型例题】【例1】已知，，，均为锐角，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先利用同角基本关系式求和，再利用角的变换的值.【详解】是锐角，，，，，且，，，.故选：A【例2】已知，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先化简已知得，再化简，把代入即得解.【详解】由题得，.故选：C【例3】化简的结果为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用二倍角公式，两角差的余弦公式化简即可得解.【详解】故选：C.【例4】已知，，，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由求出的值，再由求出，从而可求出的值，进而可求出的值【详解】解：因为，所以，所以，，所以，所以，所以，所以，因为，，所以，则，因为，所以，因为，所以，所以，所以，故选：D【例5】已知，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，，由求出，最后利用二倍角公式计算可得；【详解】解：因为，所以，所以，，，因为，所以，所以所以故选：A【例6】已知，，，若，则＝（）A． B． C． D．【答案】C【分析】，，利用两角和与差的正弦拆分和，求出，由得出以及角的范围，从而求出，再求出，结合角的范围求出结果.【详解】解：因为若，则，即，，则，所以，，即又，所以.故选：C【例7】若，，，，则A． B． C． D．【答案】D【分析】利用同角三角函数的平方关系求得、的值，利用两角差的余弦公式可求得的值.【详解】，，则，，，，因此，.故选：D.【例8】.函数的最大值是A． B．17 C．13 D．12【答案】C【分析】先运用的诱导公式,再由两角和的正弦公式,即可化简,再由正弦函数的值域,即可得到最大值.【详解】，其中则当,为整数,取最大值13.故选C.【对点实战】1.已知，且，，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平方关系以及二倍角公式求出、、与的值，再利用求解即可.【详解】因为，所以.又因为，，所以，，从而可得，，所以.故选：D.2.已知角满足，，且，，则的值为A． B． C． D．【答案】D【分析】根据角度范围先计算和，再通过展开得到答案.【详解】，，故答案选D3.若，，，，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由于，所以先由已知条件求出，的值，从而可求出答案【详解】，因为，，所以，，因为，，所以，，则．故选：C4.已知，，，且，则的值（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据同角三角函数平方关系求，再根据两角和正弦公式求得，即得的值.【详解】因为，，所以；因为，，所以，，因为，又，所以故选：B5.已知，，那么的值为A． B． C． D．【答案】B【详解】6.已知，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据题意，由同角三角函数基本关系，求出，，再由，根据两角差的余弦公式，即可求出结果.【详解】因为，所以，，又所以，，因此.故选：A.三、和差化积与积化和差【典型例题】【例1】若sinα＋sinβ＝(cosβ－cosα)且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于（）A．－ B．－C． D．【答案】D【分析】由α，β的范围和y＝cosx的单调性,确定出两角的大小关系,利用和差化积公式求出α－β的值.【详解】∵α，β∈(0，π)，∴sinα＋sinβ>0.∴cosβ－cosα>0，cosβ>cosα，又在(0，π)上，y＝cosx是减函数．∴β<α∴0<α－β<π由原式可知：2sin·cos＝(－2sin·sin)，∴tan＝，∴＝，∴α－β＝.故选:D【例2】在中，若，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据积化和、差公式可得，再有即可求解．【详解】在中，，所以因为，所以，故选B.【例3】求值：（）A． B． C． D．1【答案】C【分析】由为特殊角，根据和差化积代入原式即可求解．【详解】.故选C【例4】函数f(x)＝2sineq\f(x,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(x,2)))的最大值等于()A．2sin2eq\f(α,2) B．－2sin2eq\f(α,2)C．2cos2eq\f(α,2) D．－2cos2eq\f(α,2)【答案】A【详解】f(x)＝2sineq\f(x,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(x,2)))＝－[cosα－cos(x－α)]＝cos(x－α)－cosα.当cos(x－α)＝1时，f(x)取得最大值1－cosα＝2sin2eq\f(α,2).]【例5】.eq\f(sin35°＋sin25°,cos35°＋cos25°)＝________.【答案】eq\f(\r(3),3)【详解】原式＝eq\f(2sin\f(35°＋25°,2)cos\f(35°－25°,2),2cos\f(35°＋25°,2)cos\f(35°－25°,2))＝eq\f(cos5°,\r(3)cos5°)＝eq\f(\r(3),3).【例6】cos40°＋cos60°＋cos80°＋cos160°＝________.【答案】eq\f(1,2)【详解】cos60°＋cos80°＋cos40°＋cos160°＝eq\f(1,2)＋cos80°＋2cos100°cos60°＝eq\f(1,2)＋cos80°－cos80°＝eq\f(1,2)【例7】若sinα＋cosβ＝eq\f(1,3)，cosα＋sinβ＝eq\f(2,3)，求taneq\f(α－β,2)的值．【答案】－eq\f(1,3)【详解】令θ＝eq\f(π,2)－β，则sinα＋sinθ＝eq\f(1,3)，cosα＋cosθ＝eq\f(2,3)，由和差化积公式得，2sineq\f(α＋θ,2)coseq\f(α－θ,2)＝eq\f(1,3)，2coseq\f(α＋θ,2)coseq\f(α－θ,2)＝eq\f(2,3)，两式相除得，taneq\f(α＋θ,2)＝eq\f(1,2)，即taneq\f(α＋\f(π,2)－β,2)＝eq\f(1,2)，taneq\f(π,4)＋eq\f(α－β,2)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(1＋tan\f(α－β,2),1－tan\f(α－β,2))＝eq\f(1,2)，解得taneq\f(α－β,2)＝－eq\f(1,3).四、化切：万能代换【典型例题】【例1】设，求证：，，．【答案】证明见解析【分析】万能公式得证明，先用二倍角公式，再添加分母，分子分母同除以，弦化切即可证明.【详解】由二倍角公式，得，．再由同角三角函数间的关系，得．【例2】若，则的值为（）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【答案】C【分析】首先利用三角恒等变换，化简，根据条件，即可求值.【详解】.故选：C【例3】设θ∈(0,π)，且sinθ+cosθ=，求cotθ【答案】【详解】∵sinθ+cosθ=，由万能代换公式得：，解之得：或，由万能代换公式得：或∴cotθ=－或cotθ=－∵θ∈(0,π)，且sinθ+cosθ=∴θ∈∴cotθ∈(－1,0)故cotθ=－【例4】求函数的值域【答案】【详解】令由万能代换公式得变形得：2yt2+3yt+2y－3=0∴∴当x=2kπ+π，k∈Z时，代入原函数中，得y=0，故原函数的值域应为{y|}五、恒等变换：分式型拆角变形【典型例题】【例1】（）A． B．4 C． D．2【答案】A【分析】利用诱导公式以及三角恒等变换即可求解.【详解】.故选：A【例2】（）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】先切化弦，之后将式子通分，得到原式等于，将拆分为,再由两角和的正弦公式化简得到结果.【详解】.【例3】若为锐角，且，则A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用三角函数公式化简，则，从而求出的值．【详解】解：，，又为锐角，，故选：．【例4】（）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】将所求关系式中的“切”化“弦”，再利用两角差的余弦化，整理运算即可.【详解】.故选：C.【例5】的值为A．1 B．2 C．4 D．【答案】C【分析】由三角恒等变换、辅助角公式及两角差的正弦化简求值即可.【详解】解：，故选C.【例6】（）A．－4 B．4 C．－2 D．2【答案】A【分析】结合降幂公式以及辅助角公式化简整理，在利用诱导公式即可求出结果.【详解】，故选：A.【例7】▲表示一个整数，该整数使得等式成立，这个整数▲为（）A．1 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】去分母整理以后结合降幂公式、诱导公式以及两角差的余弦公式进行化简整理，然后对应系数相等即可求出结果.【详解】因为，所以，则因此，即，所以，即，所以，故选：B.【例8】（）A．2 B．－2 C．1 D．－1【答案】D【分析】利用切化弦，三角恒等变换，逆用两角差的正弦公式，二倍角公式，诱导公式化简求值.【详解】故选:D【例9】（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角恒等变换对应的公式，将原式逐步化简整理，即可得出结果.【详解】.故选：A【对点实战】1.（）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】把分子提取2，再由两角和的正弦变形，结合诱导公式约分得答案.【详解】.故选：A2.4cos10°=A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】将原式通分，利用辅助角公式以及正弦的和角公式进行整理化简，即可求得.【详解】原式.故选：C.3.（）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】先通分,再利用正弦的二倍角公式,进而利用正弦的差角公式化简即可.【详解】故选:D4.的值为A． B．1 C．－ D．－1【答案】A【解析】原式＝选A.5.式子的值为（）A． B． C． D．2【答案】B【分析】由正余弦的倍角公式、诱导公式即可化简求值.【详解】由，，∴，6.A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：原式7.化简：；【答案】【分析】利用同角三角函数关系式、诱导公式、三角函数恒等式、二倍角公式直接求解．【详解】．六、三角形中的恒等变换【典型例题】【例1】在锐角三角形，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据可将用的形式表示，然后利用辅助角公式结合的范围求解出的取值范围.【详解】因为，所以，所以，且，所以，又因为，且，所以，所以，故选：C.【例2】若，则的值为（）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【答案】C【分析】首先利用三角恒等变换，化简，根据条件，即可求值.【详解】.故选：C【例3】在中，已知，给出以下四个论断①②③④其中正确的是（）A．②④ B．①③ C．①④ D．②③【答案】A【分析】先利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式化简整理题设等式求得进而求得进而求得①等式不一定成立，排除①；利用两角和公式化简，利用正弦函数的性质求得其范围符合，得②正确；不一定等于1，排除③；利用同角三角函数的基本关系可知，进而根据可知，进而可知二者相等，得④正确．【详解】解：，，，则：，即：，整理求得，，不一定成立，①不正确；，由于，则：，，，所以②正确；，，所以，所以④正确；而不一定成立，故③不正确；综上知②④正确.故选：A．【例4】的三个内角分别为，，，若，则A． B．1 C． D．【答案】B【分析】利用辅助角公式得，利用同角三角函基本公式及正切函数性质得，利用内角和定理计算即可得到结果．【详解】由，得，所以，所以，，所以，.因为角为三角形的内角，所以，所以，故选B.【例5】在中，的最大值为A． B． C． D．【答案】B【分析】解法：利用，得出，然后利用辅助角公式以及二倍角公式可得出的最大值；解法：由积化和差公式得出，然后利用和辅助角公式可得出的最大值.【详解】法1：，当且仅当，时，等号成立，因此，的最大值为，故选B；法2：，当且仅当，时，等号成立，因此，的最大值为，故选B.【例6】在中，若，则的形状不可能是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．三个角都不相等的锐角三角形【答案】D【分析】由诱导公式化，由两角和与差的正弦公式和二倍角公式变形后可判断．【详解】由已知可得，∴，∴或，∴或，∴可能是等腰三角形､直角三角形或等腰直角三角形，故选：D.【例7】在中，，那么一定是A．锐角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【详解】tanAsin2B=tanBsin2A即,化简得,得所以2A=2B或即或所以△ABC是等腰或直角三角形，选D【对点实战】1.在中，若，则的形状是（）A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形C．直角三角形 D．等腰三角形【答案】D【分析】在中，把代入到中，化简即可【详解】解：在中，因为，所以所以，则的形状等腰三角形。故选：D2.已知△ABC的三个内角为A，B，C，若函数有一个零点为1，则△ABC一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形【答案】A【分析】根据函数的零点有，结合二倍角公式、两角和差的余弦公式可得，即可判断三角形形状；【详解】函数有一个零点为1，即；∴，而，∴，知：；故选：A3.已知的三个内角、、．若，则的最大值为（）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】由可得角，所以，从而可求出其最大值.【详解】解：因为，所以，整理得，因为，所以，所以，因为，所以的最大值为，故选：C4.已知的三个内角所对的边分别为.若.则该三角形的形状是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】根据相同正弦值的两角的关系，可得结果.【详解】在中，有所以或则或所以是等腰三角形或直角三角形。故选：D5.在中，若，则的形状为（）A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不含角的等腰三角形【答案】B【分析】利用三角形的内角和，结合差角的余弦公式，和角的正弦公式，即可得出结论．【详解】解：由题意可得sin（A﹣B）＝1+2cos（B+C）sin（A+C），∴sin（A﹣B）＝1﹣2cosAsinB，∴sinAcosB﹣cosAsinB＝1﹣2cosAsinB，∴sinAcosB+cosAsinB＝1，∴sin（A+B）＝1，∴A+B＝90°，∴△ABC是直角三角形．故选：B．6.在中，，则此三角形的形状是（）A．等边三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】利用三角恒等变换公式将公式变形，转化方向是变成简单的三角方程求角的值，通过角的值来确定的形状．【详解】，，，，即，，.故此三角形为直角三角形.故选C7.在中，若，则一定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形【答案】B【分析】利用三角恒等变换化简即得解.【详解】因为，所以在中，，即一定是直角三角形．故选：B七、恒等变换求最值【典型例题】【例1】设动直线与函数和的图象分别交于、两点，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角恒等变换思想化简得出，求出的值域，由此可求得的取值范围，即可得解.【详解】，，，可得，所以，，即.故选：A.【例2】函数（）的最大值和最小值是、，则的值为（）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】设，结合辅助角公式化简整理得，利用函数的值域可得，进而转化为关于的方程的两根的问题，结合韦达定理即可求出结果.【详解】设（*），设关于的方程的两根是，由韦达定理可得，而不等式的解为：，即分别是函数的最小值和最大值，,故选：A．【例3】函数的最大值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先对原式进行变形，然后再利用换元法求函数的最值.【详解】由题知，整理得，令，易知，所以知在时是单调递减函数，因为，整理得，解得，代入中有的最大值为，即的最大值为.故选：D.【例4】已知,那么的值为A．9 B．8 C．12 D．不确定【答案】A【分析】首先将已知等式变形化简得到，利用正弦函数的有界限得，可求得结果.【详解】将，变形得，整理得，即，又，所以，所以，所以.故选：.【例5】若函数f（x）=cos（asinx）﹣sin（bcosx）没有零点，则a2+b2的取值范围是A．[0，1） B．[0，π2） C． D．[0，π）【答案】C【详解】试题分析：先假设函数存在零点x0，得出方程：sin（x0+φ）=2kπ+，再根据三角函数的性质得出结果．解：假设函数f（x）存在零点x0，即f（x0）=0，由题意，cos（asinx0）=sin（bcosx0），根据诱导公式得：asinx0+bcosx0=2kπ+，即，sin（x0+φ）=2kπ+（k∈Z），要使该方程有解，则≥|2kπ+|min，即，≥（k=0，取得最小），所以，a2+b2≥，因此，当原函数f（x）没有零点时，a2+b2＜，所以，a2+b2的取值范围是：[0，）．故答案为C．【例6】已知△ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，cosA+2cos取得最大值，并求出这个最大值．【答案】【解析】cosA+2cos=cosA+2cos=cosA+2sin=12sin2+2sin=2sin2+2sin+1=2(sin)2+当sin=,即A=600时,(cosA+2cos)max=【例7】若，则函数的值域为__________.【答案】【分析】令，，再令，然后利用函数的奇偶性与基本不等式即可求解【详解】，则因为，所以，所以所以在是奇函数当时，，其中时，取得等号所以当，根据奇函数性质当时，综上，的值域为所以的值域为故答案为：八、恒等变换：综合证明【典型例题】【例1】求证：.【答案】证明见解析.【分析】利用三角恒等变换证明恒等式，注意倍半角公式及同角三角函数的关系的应用.【详解】由，知：左式右式，故等式得证.【例2】已知，求证：．【答案】证明见解析.【分析】利用角变换，结合两角和与差的正弦三角函数公式可以求解.【详解】证明：由已知，得，∴，∴，，∴．【例3】证明：．【答案】见解析【分析】利用降幂公式结合诱导公式及两角和的余弦公式化简左边即可得证.证明：左边右边，所以．【例4】证明下列恒等式.（1）；（2）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）利用两角和差的正弦公式将要证式子的左边的分子展开，利用平方差公式化简，再利用同角三角函数的商数关系即可证得右边；（2）将看成，利用两角和的正弦公式展开等式坐标的分子部分，同时通分化简，并进一步逆用两角和差公式化简，即可得到等式的右边.【详解】（1）左边右边，原等式成立.（2）左边右边，原等式成立.【例5】某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．（1）sin213°+cos217°sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°sin18°cos12°（4）sin2（18°）+cos248°sin（18°）cos48°（5）sin2（25°）+cos255°sin（25°）cos55°Ⅰ试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数Ⅱ根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论【答案】见解