第2章等式与不等式章节压轴题解题思路分析

第2章等式与不等式章节压轴题解题思路分析例题1．（2020·上海市金山中学高一期中）已知，，若，则对此不等式描述正确的是（）A．若，则至少存在一个以为边长的等边三角形B．若，则对任意满足不等式的都存在以为边长的三角形C．若，则对任意满足不等式的都存在以为边长的三角形D．若，则对满足不等式的不存在以为边长的直角三角形【答案】B【解析】本题可用排除法，由，对于，若，可得，故不存在这样的错误，排除；对于时，成立，而以为边的三角形不存在，错误，排除；对于时，成立，存在以为边的三角形为直角三角形，故错误，排除故选B.【方法点睛】本题主要考查不等式的性质、排除法解选择题，属于难题.用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法.若结果为定值，则可采用此法.特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前项和公式问题等等.【变式1】（2019·上海浦东新·华师大二附中高一期中）的解集为________.【答案】【分析】将分式不等式转化为高次不等式，再利用穿根法（奇穿偶不穿）求解高次不等式即可.【详解】原不等式等价于且，，又可得，，且，，利用穿根法得原不等式的解集为.故答案为.【点睛】本题考查分式不等式和高次不等式的解法，属于中档题.【变式2】（2017·上海市建平中学高一期中）关于的不等式的解集是M,若则常数的取值范围是________.【答案】【分析】由题意得当时不成立.故求解此时的表达式,再取在实数域上的补集即可.【详解】由题意得当时不成立,此时,即或不成立,故,即故答案为【点睛】本题主要考查分式不等式解法的一些灵活运用,根据题目所给条件求得不成立的参数的取值范围再取补集即可.属于中等题型.【变式3】（2018·上海闵行中学高一期中）若关于的不等式的解集为，则的值为_____【答案】【分析】根据不等式的解找到对应方程的解：对应的解为，计算得到答案.【详解】关于的不等式的解集为则对应的解为；对应的解为.解得故答案为【点睛】本题考查了已知不等式的解求参数，转化为对应方程的解是解题的关键.【变式4】（2019·哈尔滨市呼兰区第一中学校高一期中）已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集为_________【答案】【分析】根据不等式解集与对应方程根的关系求关系，再代入化简求不等式解集.【详解】因为的解集是，所以为的两根，且，即因此，即不等式的解集为.【点睛】本题考查不等式解集与对应方程根的关系以及解一元二次不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.【变式5】（2019·上海市金山中学高一期中）已知函数，（），若不存在实数使得和同时成立，则的取值范围是________【答案】【分析】通过f（x）＞1和g（x）＜0，求出集合A、B，利用A∩B=∅，求出a的范围即可．【详解】由f（x）＞1，得＞1，化简整理得，解得即的解集为A={x|2＜x＜1或2＜x＜3}．

由g（x）＜0得x23ax+2a2＜0，即（xa）（x2a）＜0，g（x）＜0的解集为B={x|2a＜x＜a，a＜0}．

由题意A∩B=∅，因此a≤2或1≤2a＜0，

故a的取值范围是{a|a≤2或≤a＜0}．即答案为.【点睛】本题考查分式不等式的解法，二次不等式的解法，集合的交集运算，考查分析问题解决问题的能力．【变式6】（2018·上海高一期中）已知关于的一元二次不等式的解集为.则关于的不等式的解集为__________.【答案】【分析】构造解集和是同解的不等式，然后可得出，再代入求求解即可.【详解】的解集为，则与是同解不等式，，则关于的不等式的解集即为的解集，，即，解得，故关于的不等式的解集为，故答案为.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，以及特值法在解题中的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.例题2．（2018·上海市澄衷高级中学高一期中）已知关于的不等式的解集为，其中（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的值；（3）当变化时，求不等式的解集.【答案】（1）；（2）或；（3）见解析.【分析】（1）由题意得出，解出该不等式即可得出实数的取值范围；（2）由题意得出是方程的根，且，由此可解出实数的值；（3）分、、三种情况讨论，并比较与的大小关系，可得出集合.【详解】（1），则，得，即，解得，因此，实数的取值范围是；（2），则是方程的根，且，则，解得或；（3）当时，方程的根为和.①当时，，解不等式，得，此时；②当时，原不等式为，即，解得，此时；③当时，，当且仅当时，等号成立.（i）当时，原不等式为，解得，此时；（ii）当或时，，解不等式，得或，此时.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，同时也考查了一元二次不等式的解集与方程之间的关系，以及含参数的一元二次不等式的求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.【变式1】（2018·上海市光明中学高一期中）已知不等式的解集为，集合（1）求集合;（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【分析】（1）解不等式可得集合A，对a的取值进行分类，可得不同情况下的集合B；（2）结合（1）中结论及A∩B∩Z＝{﹣1，﹣2}，可得实数a的取值范围．【详解】（1）解不等式﹣2x2+x+1<0得：A＝（﹣∞，﹣）∪（1，+∞），（2）∵解得B.（2）当a时，B＝∅显然不成立当a时，B显然不成立当a时，B，∵A∩B∩Z＝{﹣1，﹣2}，∴﹣1＜﹣a≤2解得：﹣2≤a＜1，综上，a的取值范围是﹣2≤a＜1.【点睛】本题考查的知识点是二次不等式的解法，集合的运算，考查了分析问题解决问题得能力及逻辑推理能力，难度中档．【变式2】（2019·上海市青浦高级中学高一月考）不等式的解集为，关于的不等式的解集为.(1)求集合、集合;(2)若集合中有个元素，求实数的取值范围.【答案】（1）；；（2）【分析】（1）利用一元二次不等式的解法可求得集合；分别在、和三种情况下，根据一元二次不等式解法求得集合；（2）将问题转化为则中包含个整数；分别在、、和四种情况下，确定中整数个数，由此得到的范围.【详解】（1），解得：或当，即时，；当时，不等式解集为；当，即时，（2）若有个元