专题04 指数函数与对数函数（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）

专题04指数函数与对数函数目录TOC\o"1-2"\h\u明晰学考要求 1基础知识梳理 1考点精讲讲练 5考点一：指数 5考点二：指数函数的概念 6考点三：指数函数的图象和性质 7考点四：对数 9考点五：对数函数的概念 10考点六：对数函数的图象和性质 10考点七：不同函数增长差异 12考点八：函数的零点与方程的解 14考点九：函数模型的应用 15实战能力训练 17明晰学考要求1、了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质；2、了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念；3、能用描点法画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；4、理解对数的概念和运算性质，能用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数；5、了解对数函数的概念；6、能用描点法画出具体对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性与特殊点；；7、指导对数函数与指数函数互为反函数（且）基础知识梳理1、根式的概念及性质（1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数．（2）性质：①(且)；②当为奇数时，；当为偶数时，2、分数指数幂①正数的正分数指数幂的意义是(，，且)；②正数的负分数指数幂的意义是(，，且)；③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．3、指数幂的运算性质①；②；③.4、指数函数及其性质（1）指数函数的概念函数(，且)叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是．（2）指数函数的图象和性质底数图象性质定义域为，值域为图象过定点当时，恒有；当时，恒有当时，恒有；当时，恒有在定义域上为增函数在定义域上为减函数注意指数函数(，且)的图象和性质与的取值有关，应分与来研究5、对数的概念（1）对数：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数.（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数.（3）对数式与指数式的互化：.6、对数的性质、运算性质与换底公式（1）对数的性质根据对数的概念，知对数具有以下性质：①负数和零没有对数，即；②1的对数等于0，即；③底数的对数等于1，即；④对数恒等式.（2）对数的运算性质如果，那么：①；②；③.（3）对数的换底公式对数的换底公式：.换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以为底的自然对数.换底公式的变形及推广：①；②；7、对数函数及其性质（1）对数函数的定义形如(，且)的函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是．（2）对数函数的图象与性质图象性质定义域：值域：过点，即当时，在上是单调增函数在上是单调减函数8、函数的零点对于一般函数，我们把使成立的实数叫做函数的零点．注意函数的零点不是点，是一个数.9、函数的零点与方程的根之间的联系函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．10、零点存在性定理如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.11、常见函数模型（1）指数函数模型（且，）（2）对数函数模型（且，）12、指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度先慢后快，指数爆炸先快后慢，增长平缓介于指数函数与对数函数之间,相对平稳图象的变化随x的增大，图象与轴接近平行随x的增大，图象与轴接近平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个，当时，有考点精讲讲练考点一：指数【典型例题】例题1．（2022天津）已知，，则的值为（

）A． B．2 C．8 D．15例题2．（多选）（2024浙江）下列各式一定成立的是（

）A． B．C． D．例题3．（2023山西）．【即时演练】1．已知，，化简：．2．若代数式有意义，则．3．计算：(1)；(2)（，）.考点二：指数函数的概念【典型例题】例题1．（2024安徽）若函数是指数函数，则有（

）A． B．C．或 D．，且例题2．（2023新疆）设函数（且），满足.(1)求的值；(2)若，求使不等式对任意实数恒成立的的取值范围．例题3．（2022江苏）已知定义在上的奇函数f（x）满足：时，.(1)求的表达式；(2)若关于的不等式恒成立，求的取值范围.【即时演练】1．已知函数（且）是奇函数，则（

）A．2 B．3 C． D．42．已知指数函数，则的值为.3．已知函数为奇函数．(1)求的值；(2)判断并证明的单调性；(3)若存在实数，使得成立，求的取值范围．考点三：指数函数的图象和性质【典型例题】例题1．（2024北京）在区间上，的最大值是其最小值的倍，则实数（

）A． B． C． D．例题2．（2024云南）函数的最小值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3例题3．（2024浙江）已知定义域为的函数，若对任意，，均有恒成立，则下列情形可能成立的是（

）A． B． C． D．例题4．（2023海南）已知函数是奇函数.(1)求实数的值；(2)判断函数的单调性，并用函数单调性的定义证明；(3)若对于任意都有恒成立，求实数的取值范围例题5．（2020贵州）已知定义在上的函数.（1）写出的单调区间；（2）已知，对所有，恒成立，求的取值范围.【即时演练】1．已知，则的大小关系为（

）A． B．C． D．2．函数的大致图象是（

）A． B．C． D．3．函数的图象恒过定点，则点坐标为.4．已知定义域为的函数是奇函数.(1)求实数的值；(2)判断函数的单调性，并用定义加以证明；(3)若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围.5．已知函数是定义在R上的奇函数．(1)求的解析式；(2)求当时，函数的值域．考点四：对数【典型例题】例题1．（2024云南）已知.若，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3例题2．（2024福建）若，，则等于（

）A． B． C． D．例题3．（2024湖北）已知，则.例题4．（2021江苏）计算【即时演练】1．计算：（

）A．8 B． C． D．2．计算：.3．计算：.4．计算：．考点五：对数函数的概念【典型例题】例题1．（2024北京）函数的定义域为（

）A． B． C． D．例题2．（多选）（2024浙江）若函数，则下列选项正确的是（

）A．定义域为 B．值域为C．图象过定点 D．在定义域上单调递增例题3．（2023云南）函数的定义域是（用区间表示）【即时演练】1．若函数的定义域为，则实数取值范围是（

）A． B． C． D．2．若是奇函数，当时，．3．函数的定义域为．考点六：对数函数的图象和性质【典型例题】例题1．（2024北京）在下列函数中，在区间上单调递减的是（

）A． B． C． D．例题2．（2024湖北）如图，是函数的图象，是由经轴对称变换得到的函数图象，则对应的函数解析式分别是（

）A．B．C．D．例题3．（2023吉林）已知，，，则（

）A． B．C． D．例题4．（2023辽宁）已知为定义在R上的奇函数，且当时，．求：(1)时，的解析式；(2)不等式的解集．例题5．（2024湖北）已知函数，且.(1)当时，判断函数的单调性，并加以证明；(2)对给定的非零常数，是否存在实数，使得为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【即时演练】1．已知，，，则（

）A． B． C． D．2．函数的大致图象是（

）A． B．C． D．3．已知且，若函数的图象经过定点，则定点坐标．4．函数的单调增区间为．5．已知（，且），且．(1)求a的值及的定义域；(2)求在上的最小值．考点七：不同函数增长差异【典型例题】例题1．（多选）已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（

）A．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于B．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于C．当时，增长速度一直快于D．当时，增长速度有时快于例题2．已知实数满足.则下列关系式中可能成立的是.（填序号）①

②

③

④

⑤【即时演练】1．“红豆生南国，春来发几枝”，如图给出了红豆生长时间t（月）与枝数y（枝）的散点图，那么最适合拟合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是（

）

A．指数函数 B．对数函数y=log2tC．幂函数y=t3 D．二次函数y=2t22．（1）（2）（3）分别是与在不同范围内的图象，估算出使的的取值范围是.（参考数据：，）考点八：函数的零点与方程的解【典型例题】例题1．（2022河北）已知函数，若，且，则（

）A． B． C． D．或例题2．（2024福建）已知x=1是函数的零点，则m为（

）A．1 B．2 C．3 D．4例题3．（2024高二上·北京·学业考试）已知函数的部分图象如图所示．

(1)求f1(2)求函数的零点．例题4．（2024福建）已知函数且．(1)求实数a的值；(2)若函数在上恰有两个零点，求实数的取值范围．【即时演练】1．若为函数的零点，则所在区间为（

）A． B． C． D．2．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表：123456136.115.610.9判断函数的零点个数至少有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．已知函数(1)若a=2，当时，求函数的值域；(2)若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围．考点九：函数模型的应用【典型例题】例题1．（2024湖北）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息与本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.按复利计算利息的一种储蓄，本金为10000元，每期利率为，本利和为（单位：元），存期数为，则关于的函数解析式为（

）A． B．C． D．例题2．（2024浙江）有一组实验数据如表，则体现这组数据的最佳函数模型是（）

234561.402.565.311121.30A． B．C． D．例题3．（2023甘肃）心理学家有时间用函数测定在时间（单位：min）内能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率.假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时表示在时间内该生能够记忆的单词个数.已知该生在5min内能够记忆20个单词，则的值约为（，）（

）A．0.021 B．0.221 C．0.461 D．0.661例题4．（2024广东）某城市为了鼓励居民节约用电采用阶梯电价的收费方式，即每户用电量不超过的部分按0.6元收费，超过的部分，按1.2元收费.设某用户的用电量为，对应电费为元.(1)请写出关于的函数解析式；(2)某居民本月的用电量为，求此用户本月应缴纳的电费.【即时演练】1．你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩，已知某种烟花距地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系式为，则烟花爆裂的高度是（

）A．56.6米 B．57.6米C．58.6米 D．59.6米2．下列函数中，当x充分大时，增长速度最快的是（

）A． B． C． D．3．已知甲地下停车库的收费标准如下：（1）停车不超过1小时免费；（2）超过1小时且不超过3小时，收费5元；（3）超过3小时且不超过6小时，收费10元；（4）超过6小时且不超过9小时，收费15元；（5）超过9小时且不超过12小时，收费18元；（6）超过12小时且不超过24小时，收费24元．小林在2024年10月7日10：22将车停入甲车库，若他在当天18：30将车开出车库，则他需交的停车费为．乙地下停车库的收费标准如下：每小时2元，不到1小时按1小时计费．若小林将车停入乙车库（停车时长不超过24小时），要使得车停在乙车库比甲车库更优惠，则小林停车时长的最大值为．4．学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的研究调查中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当时，图象是二次函数的一部分，顶点为，听课时间为12分钟与听课时间为8分钟的的注意力指数都为78，听课时间为4分钟的注意力指数为62；当时，图象是线段，其中．(1)求关于的函数解析式；(2)根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳，要使学生学习效果最佳，教师安排核心内容应在什么时间段？实战能力训练一、单选题1．下列函数中，既是奇函数又是区间上的增函数的是（

）A． B．C． D．2．设，下列计算中正确的是（

）A． B．C． D．3．已知，则.（

）A． B．C． D．4．已知函数，则的值为（

）A． B．0 C．1 D．25．下列函数中，在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．6．函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．7．已知函数若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．8．某工程需要向一个容器内源源不断地注入某种液体，有三种方案可以选择，这三种方案的注入量随时间变化如下图所示：

横轴为时间（单位：小时），纵轴为注入量，根据以上信息，若使注入量最多，下列说法中错误的是（

）A．注入时间在小时以内（含小时），采用方案一B．注