专题02 不等式（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）

专题02不等式目录TOC\o"1-2"\h\u明晰学考要求 1基础知识梳理 1考点精讲讲练 3考点一：比较数或式的大小 3考点二：利用基本不等式求代数式的最值 5考点三：一元二次不等式的解法 7考点四：不等式恒成立问题 9考点五：基本不等式与一元二次不等式的实际应用 11实战能力训练 13明晰学考要求1、理解不等式的概念，掌握不等式的性质；2、掌握基本不等式，能用基本不等式解决最值问题；3、了解一元二次不等式；4、能够从函数观点认识方程和不等式；5、了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系基础知识梳理1、不等式中的基本事实依据a>b⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔a－b<0结论要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小①由上述基本事实可知，要比较两个数或式的大小，只需要比较这两个数或式的差与0的大小，一般将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式．②对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小．③对于某些问题也可能采用取中间值的方法比较大小．2、不等式的性质性质性质内容注意1a>b⇔b<a⇔2a>b，b>c⇒a>c不可逆3a>b⇔a＋c>b＋c可逆4a>b，c>0⇒ac>bca>b，c<0⇒ac<bcc的符号5a>b，c>d⇒a＋c>b＋d同向6a>b>0，c>d>0⇒ac>bd同向7a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)同正①若a＞b＞0，则0＜eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)；②若a＜b＜0，则0＞eq\f(1,a)＞eq\f(1,b).③若，则.3、基本不等式（1）不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)（）称为基本不等式，当且仅当a＝b时，等号成立．其中，eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．所以两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．（2）当时，，，以上两式均在a＝b时取等号.（3）最值定理：已知x，y都为正数，则：如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P)；如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.简记为：积定和最小，和定积最大．（4）应用基本不等式的三个关键点：一正、二定、三相等．①一正：各项必须为正；②二定：各项之和或各项之积为定值；③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备．4、一元二次不等式的概念定义一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a≠0，a，b，c均为常数5、一元二次不等式的解法（1）二次函数零点的概念：一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．（2）三个二次的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅①零点不是点，只是函数的图象与x轴交点的横坐标．②不等式的解集必须写成集合的形式.若不等式无解，则应说解集为空集．考点精讲讲练考点一：比较数或式的大小【典型例题】例题1．（2024高二上·江苏扬州·学业考试）已知，，则下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．例题2．已知，是实数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件例题3．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（

）A． B．C． D．【即时演练】1．若，，则下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．2．已知，则下面不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．3．已知，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．考点二：利用基本不等式求代数式的最值【典型例题】例题1．若，则有（

）A．最小值 B．最小值C．最大值 D．最大值例题2．已知，则的最大值为（

）A． B．1 C． D．3例题3．已知，且，则（

）A．的最大值为1 B．的最小值为1C．的最大值为 D．的最小值为【即时演练】1.已知，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．2.已知，的最小值为．3．若，则的最小值是．考点三：一元二次不等式的解法【典型例题】例题1．不等式的解集是（

）A． B．或C．或 D．例题2．已知集合，则（

）A． B．C． D．例题3．若不等式的解集为，则（

）A．1 B． C． D．【即时演练】1．不等式的解集为（

）A． B． C．或 D．2．关于x的不等式的解集为，则实数a的值为（

）A． B． C． D．43．一元二次不等式的解集是（

）A． B． C． D．考点四：不等式恒成立问题【典例讲解】例题1．若不等式对所有实数恒成立，则的取值范围为（

）A． B．C． D．例题2．已知当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是．例题3．设函数(1)若，求不等式的解集；(2)若时，不等式恒成立，求的取值范围.【即时演练】1．若不等式对一切实数都成立，则实数k的取值范围为（

）A． B．C． D．2．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是.3．已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是．考点五：基本不等式与一元二次不等式的实际应用【典例讲解】例题1．若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系式，其中为初速度.向盼归同学以竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为（

）A．1.8 B．2.8 C．3.8 D．4.8例题2．某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成本．已知购买台设备的总成本为（单位：万元）．若要使每台设备的平均成本最低，则应购买设备台．【即时演练】1.某产品的总成本为万元，与产量台的关系是，其中，若每台售价为25万元，那么生产厂家不亏本的最低产量是（）A．60台 B．90台 C．120台 D．150台2．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（

）A． B．C． D．实战能力训练1．已知，则（

）A． B． C． D．2．已知集合，，则（

）A． B．C． D．3．已知，，，则的最小值为（

）．A．4 B． C．6 D．4．一元二次不等式的解集为（

）A． B．或C． D．或5．“”是“且”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分条件 D．既不充分也不必要条件6.设，，则有（

）A． B． C． D．..7．若且，则的最小值为（）A． B．1 C．2 D．48．若一元二次不等式对一切实数都成立，