易错易混集训：利用勾股定理求解四大易错（原卷版）

专题15易错易混集训：利用勾股定理求解四大易错【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【易错一没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解】 1【易错二三角形形状不明时，考虑不全面而漏解】 3【易错三等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解】 9【易错四求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式】 16【典型例题】【易错一没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解】例题：（2023春·河南安阳·八年级校考期末）若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为．【变式训练】1．（2023春·甘肃平凉·八年级校考阶段练习）若一直角三角形两边的长为12和5，则第三边的长为．2．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）若直角三角形的两条边长为，，且满足，则该直角三角形的第三条边长为_____．3．如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”．已知点M，N是线段AB的“勾股分割点”，若AM＝3，MN＝4，则BN的长为______．【易错二三角形形状不明时，考虑不全面而漏解】例题：（2023春·湖北孝感·八年级校考阶段练习）已知是的边上的高，若，，，则的长为．【变式训练】1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）的高长为3，且，，则的周长是___________．2．（2022·北京·101中学八年级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．点P在直线AC上，且BP＝6，则线段AP的长为__________．3．（2023春·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考期中）在中，是边上的高，，，，则的面积为______．4．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）已知等边的边长为6，为的中点，如果点是射线上的一点，且，那么的长为．5．（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）在中，，线段的垂直平分线分别交，直线于点，，若，则线段的长为．【易错三等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解】例题：（2023春·辽宁抚顺·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，，动点从点出发，沿射线以的速度移动，设运动的时间为，当为等腰三角形时，等于．

【变式训练】1．（2022秋·江西萍乡·八年级统考期中）如果等腰三角形的两边长为分别为和，那么等腰三角形的周长为．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，中，，，，动点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为，当为等腰三角形时，的值为．3．（2023·江西新余·统考一模）在中，，，，、分别是边、上的动点将沿直线翻折，使点的对应点恰好落在边上若是等腰三角形，则的长是．4．（2023春·江西九江·八年级统考期中）如图是一张长方形纸片，已知，现要剪下一张等腰三角形纸片（），则等腰三角形的底边长是．

5．（2023春·福建宁德·八年级校联考期中）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．【理解概念】（1）顶角为的等腰三角形“准等边三角形”．（填“是”或“不是”）【巩固新知】（2）已知是“准等边三角形”，其中，．求的度数．【解决问题】（3）如图，在中，，，，点D在边上，若是“准等边三角形”，求的长．

【易错四求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式】例题：（2023秋·广东揭阳·八年级惠来县第一中学校考阶段练习）如图，长方体盒子的长宽高分别为，，，在中点处有一滴蜜糖，有一只小虫从点爬到处去吃，有很多种走法，求出最短路线长为．【变式训练】1．（2023春·江西上饶·八年级统考阶段练习）如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为、、．和是这个台阶两个相对的端点，在点有一只蚂蚁，想到点去受食，那么它爬行的最短路程是．2．（2023春·山东青岛·八年级统考开学考试）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点E在上，，一滑板爱好者从U形池内侧的点A滑到点E，则他滑行的最短距离约为m．（取3）

3．（2023秋·四川成都·八年级校考阶段练习）长方体的长为，宽为，高为，点B离点C，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是．

4．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，圆柱形容器的高为120cm，底面周长为100cm，在容器内壁离容器底部40cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离．5．（2023春·湖北孝感·八年级校考阶段练习）如图，圆柱形容器高12cm，底面周长24cm，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处，(1)求蚂蚁从A到B处吃到蜂蜜最短距离；(2)若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟1cm沿杯内壁下滑，4秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是多少？

6．（2023春·河南驻马店·八年级统考期中）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．小明认为蚂蚁能够最快到达目的地的路径AC1，小王认为蚂蚁能够最快到达目的地的路径AC1′．已知AB=4，BC=4，CC1=5时，请你帮忙他们求出蚂蚁爬过的最短路径长．7．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图是长、宽、高的长方体容器．(1)求底面矩形的对角线的长；(2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？(3)一只蚂蚁从D点爬到E点最短路径是多少？8．（2022春·贵州黔西·八年级校考阶段练习）(1)如图1，长方体的长、宽、高分别为，，，如果用一根