解题技巧：特殊的因式分解法压轴题四种模型全攻略（解析版）

专题07解题技巧专项：特殊的因式分解法压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一提多项式的公因式的因式分解法】 1【类型二综合利用提公因式法和公式法因式分解】 3【类型三十字相乘法因式分解】 6【类型四分组分解法因式分解】 13【典型例题】【类型一提多项式的公因式的因式分解法】例题：（2023秋·新疆阿克苏·八年级统考期末）分解因式：．【答案】【分析】提公因式分解因式即可．【详解】解：故答案为：．【点睛】本题考查利用提公因式分解因式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．【变式训练】1．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）分解因式：．【答案】【分析】分别运用提公因式，公式法进行因式分解即可．【详解】解：故答案为：．【点睛】本题考查因式分解的相关知识．灵活运用提公因式和公式法进行因式分解是解题的关键．解题时注意，分解一定要彻底，这是易错点．2．（2023春·山东济宁·九年级校考阶段练习）分解因式：．【答案】【分析】先变形，再提取公因式，然后再利用平方差公式进行分解因式．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．3．（2023春·广西桂林·七年级统考期中）因式分解：【答案】【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解．【详解】.【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．【类型二综合利用提公因式法和公式法因式分解】例题：（2023春·江苏苏州·七年级期末）把下列各式分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）运用平方差公式分解即可．（2）先提取公因式，后套用公式分解即可．【详解】（1）解：．（2）．【点睛】本题考查了平方差公式，提取公因式，完全平方公式分解因式，熟练掌握因式分解的基本步骤和方法是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·辽宁沈阳·八年级校考期中）把下列各式因式分解：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先提出公因式，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解；（2）先提出公因式，完全平方公式进行因式分解，即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．2．（2023春·湖南怀化·七年级溆浦县第一中学校考期中）因式分解：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解；（2）先提取公因式，再利用平方差公式、完全平方公式进行因式分解．【详解】（1）解：（2）解：【点睛】本题考查因式分解，能够综合运用提取公因式法和公式法是解题的关键．3．（2022秋·四川巴中·八年级统考期中）因式分解：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先提公因式，然后根据平方差公式进行计算即可求解；（2）先根据完全平方公式展开，然后根据完全平方公式与平方差公式因式分解即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．4．（2023春·山东潍坊·七年级统考期末）因式分解(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用提公因式法法分解因式即可；（2）利用提公因式法和平方差公式分解因式即可；（3）利用提公因式法和完全平方公式分解因式即可【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【点睛】本题考查因式分解，解答的关键是熟练掌握运用提公因式法和公式法分解因式的方法步骤．【类型三十字相乘法因式分解】例题：（2023春·安徽阜阳·七年级校考阶段练习）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式；．第一步：二次项系数2可以写成，常数项可以写成或；第二步：如下图，画“×”号，将1、2写在“×”号左边，将、3或1、写在“×”号的右边，共有如下图的四种情形：

第三步：验算“交叉相乘两个积的和”是否等于一次项的系数：①的系数为；②的系数为；③的系数为；④的系数为．显然，第②个“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数，因此有：．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．问题：(1)分解因式：；①完善下图中“×”号右边的数使得；“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数；

②分解因式：_______；(2)分解因式：．①完善横线上的数字；

②分解因式：________．【答案】(1)①见解析；②(2)①见解析；②【分析】（1）（2）①根据“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数填写横线上的数；②根据所填数字，仿照材料分解即可．【详解】（1）解：①

；②；（2）①

；②．【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，解题的关键是读懂材料，理解十字相乘法的计算方法．【变式训练】1．（2023春·广西北海·七年级统考期中）阅读理解：用“十字相乘法”因式分解例如：求：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题干中解题过程，对二次项系数、常数项分别分解，交叉相乘再相加，凑成一次项系数即可求解；（2）根据题干中解题过程，对二次项系数、常数项分别分解，交叉相乘再相加，凑成一次项系数即可求解．【详解】（1）解：如图，∴（2）解：如图，∴．【点睛】本题考查十字相乘法因式分解，掌握分解的步骤是解题的关键．2．（2023春·广西梧州·七年级统考期中）阅读理解题在因式分解中有一种常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，这个方法其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解，基本式子为：，例如：分解因式，，，按此排列：

交叉相乘，乘积相加等于，得到，这就是十字相乘法．利用上述方法解决下列问题：(1)分解因式：；(2)先分解因式，再求值：，其中．【答案】(1)(2)，45【分析】（1）根据十字相乘法进行因式分解即可；（2）先运用式子相乘法进行因式分解，再代入求解．【详解】（1）解：；（2）当时，原式．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法进行因式分解是解题的关键．3．（2023春·湖南岳阳·七年级统考期末）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如图）．第一步：二次项；第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；

第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项．即．像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．运用结论：(1)将多项式进行因式分解，可以表示为_______________；(2)若可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数的所有可能值．【答案】(1)(2)图见解析，，，，16【分析】（1）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可；（2）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可．【详解】（1）解：，常数项，，，故答案为：；（2）解：，常数项，画“十字图”如下：

，，，16．【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，理解十字相乘法是解题的关键．4．（2023春·陕西榆林·八年级统考期末）阅读下列材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如：（1）；（2）．根据材料，把下列式子进行因式分解．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】根据进行解答即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，注意分解因式一定要彻底．5．（2023春·七年级单元测试）阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：；．而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：；．通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子分解因式．这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数，可以用下图十字相乘的形式表示为：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：．利用这种方法，将下列多项式分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）用十字相乘法分解因式即可；（2）用十字相乘法分解因式即可；（3）用十字相乘法分解因式即可；（4）用十字相乘法分解因式即可．【详解】（1）解：∵，，∴；故答案为：；（2）解：∵，，∴；故答案为：；（3）解：∵，，∴；故答案为：；（4）解：∵，，∴；故答案为：．【点睛】本题主要考查了十字相乘法分解因式，解题的关键是熟练掌握十字相乘法，准确计算．【类型四分组分解法因式分解】例题：（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期末）《义务教育数学课程标准（2022年版》关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力，因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法——拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于已学过的方法进行分解．例题：用拆项补项法分解因式．解：添加两项．原式请你结合自己的思考和理解完成下列各题：(1)分解因式：；(2)分解因式；(3)分解因式：．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据例题用拆项补项法分解因；（2）根据例题用拆项补项法分解因；（3）根据例题用拆项补项法分解因；【详解】（1）解：；（2）（3）【点睛】本题考查了因式分解，理解题意，正确的增项是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·广东深圳·八年级统考期末）因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多项式无法直接使用上述方法分解，如，我们可以把它先分组再分解：，这种方法叫做分组分解法．请解决下列问题：(1)分解因式：；(2)已知a，b，c是的三边，且满足，请判断的形状，并说明理由，【答案】(1)(2)是等腰三角形，理由见解析【分析】（1）根据题干中的方法进行分组分解因式即可；（2）利用分组法分解因式，然后得出，即可判断三角形的形状．【详解】（1）；（2）是等腰三角形．理由如下：，，，，是的三边，，，，是等腰三角形．【点睛】本题主要考查分组分解因式及提公因式与公式法分解因式，等腰三角形的定义等，理解题意，深刻理解题干中的分组分解法是解题关键．2．（2023春·广东深圳·八年级深圳市高级中学校考期中）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．①分组分解法：例如：．②拆项法：例如：．(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分组分解法）；②（拆项法）；(2)已知：a、b、c为的三条边，，求的周长．【答案】(1)①；②(2)14【分析】（1）仿照题意进行分解因式即可；（2）先把所给式子进行分组分解因式，然后根据方非负数的性质求出a、b、c的值，再根据三角形周长公式进行求解即可．【详解】（1）解：①；②；（2）∵，∴，∴，∴，∴，∴．∴的周长为14．【点睛】本题主要考查了分组分解因式，分解因式的应用，数量掌握分组分解因式的方法是解题的关键．3．（2023春·江苏泰州·七年级靖江市靖城中学校联考阶段练习）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法“3+3”分法等．如“2+2”分法：请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：(1)分解因式：；(2)分解因式：；(3)分解因式：．【答案】(1)）；(2)；(3)．【分析】利用分组分解法、公式法进行因式分解．【详解】（1）解：=；（2）解：；（3）解：．【点睛】本题考查的是分组分解法因式分解，掌握分组分解法、公式法的一般步骤是解题的关键．4．（2023春·山东青岛·八年级统考期末）【问题提出】：分解因式：（1）

（2）【问题探究】：某数学“探究学习”小组对以上因式分解题目进行了如下探究：探究1：分解因式：（1）分析：甲发现该多项式前两项有公因式，后两项有公因式，分别把它们提出来，剩下的是相同因式，可以继续用提公因式法分解．解：另：乙发现该多项式的第二项和第四项含有公因式，第一项和第三项含有公因式，把，提出来，剩下的是相同因式，可以继续用提公因式法分解．解：探究2：分解因式：（2）分析：甲发现先将看作一组应用平方差公式，其余两项看作一组，提出公因式6，则可继续再提出因式，从而达到分解因式的目的．解：【方法总结】：对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，