河南省濮阳市第三中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷（解析版）

第页濮阳市第三中学教育集团2024—2025学年（上）期中考试九年级数学一、选择题（30分）1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：A．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；B．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：A．【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等．2.下列说法正确的是（）A.方程是关于x的一元二次方程B.方程的常数项是4C.当一次项系数为0时，一元二次方程总有非零解D.若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的有关概念，解题的关键是理解一元二次方程的有关概念．根据一元二次方程的有关概念进行分析即可．【详解】解：A．对于方程，若，则该方程不是关于的一元二次方程，故说法错误；B．方程整理为一般形式为，其常数项是，故说法错误；C．当一次项系数为0时，该方程不一定有解，故说法错误；D．若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根，说法正确．故选：D．3.如图所示，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（）A. B.C. D.O到的距离相等【答案】B【解析】【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系，即可进行判断．【详解】解：A、∵，∴，故A成立，不符合题意；B、当时，，故B不成立，符合题意；C、∵，∴，故C成立，不符合题意；D、在和中，，∴，∴O到的距离相等，故D成立，不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．4.已知是方程的两个根，则代数式的值是（）A.10 B.17 C.26 D.33【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，利用根与系数的关系得到，再利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算；对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．【详解】解：∵是方程的两个根，∴，∴，故选：D。5.已知是直径为10的圆的一条弦，则的长度不可能是（）A.2 B.5 C.9 D.11【答案】D【解析】【分析】根据圆中最长的弦为直径求解．【详解】解：因为圆中最长的弦为直径，所以弦长≤10．∴的长度不可能是11；故选：D．【点睛】本题考查了圆的认识，在本题中，圆的弦长的取值范围0＜ｌ≤10．6.下列函数属于二次函数的是()A.y＝(x－3)2－x2 B.y＝ C.y＝2x2＋x＋1 D.y＝【答案】C【解析】【分析】对各项进行整理后，根据二次函数的定义条件判断即可.【详解】解：A，经整理后的y=-6x+9，是一次函数，不是二次函数；B，分母中含有自变量，不是二次函数；C，符合二次函数的一般式形式，是二次函数；D，被开方数中含有自变量，不是二次函数；故选择C.【点睛】本题考查了二次函数的定义.7.如图，将绕点O逆时针旋转后得到，若，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质得出，再结合计算即可得解，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键．【详解】解：∵将绕点O逆时针旋转后得到，∴，∵，∴，故选：C．8.如图，的半径交弦于点，，，，则的长为（）A3 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．已知：，在中，，利用勾股定理得到，所以．【详解】解：，半径于点，在中，，，，故选D．9.下列关于抛物线的判断中，正确的是（）A.形状与抛物线相同B.对称轴是直线C.当时，随的增大而增大D.该抛物线与轴没有交点【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据二次函数的性质对各选项分析判断即可求解．【详解】解：A、抛物线与抛物线二次项系数绝对值不相等，所以形状不同，故该选项错误；B、该抛物线对称轴为，故该选项正确；C、该抛物线的对称轴为，开口向下，所以当时，随的增大而增大，故该选项错误；D、因为，顶点坐标为，开口向下，所以与轴有交点，故该选项错误；故选：B．10.已知中，，，直角的顶点是中点，两边，分别交AB，于点，，给出以下结论：①；②和可以分别看作由和绕点顺时针方向旋转得到的；③是等腰直角三角形；④．其中始终成立有（）A.个 B.个 C.个 D.个【答案】B【解析】【分析】由等腰三角形的性质易得，则，，则可判定③；由勾股定理有，而当时，，所以可判定①；由，，，可知绕点顺时针旋转可得到；同理可得绕点顺时针旋转可得到，从而可判定②；由，得，由则可判定④，最后可得结论．【详解】∵，，∴为等腰直角三角形，∴，∵点为的中点，∴，平分，，∴；∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴为等腰直角三角形，所以③正确；∴，而当时，，所以①错误；∵，，，∴绕点顺时针旋转可得到，同理可得绕点顺时针旋转可得到，所以②正确；∵，∴，∴，∴．所以④正确．故选：．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后图形全等．也考查了等边三角形的性质和勾股定理的逆定理．也考查了等腰直角三角形的性质，会利用全等三角形的知识解决线段相等的问题．二、填空题（15分）11.若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是___．【答案】且【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，，方程有两个不相等是实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程有没有实数根．据此列不等式求解即可．【详解】解：方程有两个不相等的实数根，，，解得：且，故答案：且．12.二次函数的部分图象如图所示，当时，x的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】首先根据对称轴和与x轴的一个交点确定另一个交点的坐标，然后根据其图象确定自变量的取值范围即可．【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点坐标为，∴与x轴的另一个交点坐标为，∴时，x的取值范围为：，故答案为：．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴求得另一个交点坐标，难度不大．13.如图，是的内接四边形，为直径，，则的度数为_____．【答案】##20度【解析】【分析】此题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，三角形内角和定理．注意掌握数形结合思想的应用．由是直径，可得，又由圆内接四边形的性质得到，根据三角形内角和定理，即可求得答案．【详解】解：∵是直径，∴，又∵是的内接四边形，，∴，∴．故答案为：．14.已知点，是以AB为直径的半圆的上的点且，半径，则扇形的面积为______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查扇形面积公式，根据扇形面积公式，即可求解【详解】解：；故答案为：．15.如图1，有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点顺时针旋转后得到矩形，连接，，．把与剪去，将绕点顺时针旋转得到，边交于点（如图2），设旋转角为，当为等腰三角形时，的度数为______．【答案】或【解析】【分析】分当AK=KF时，三角形AFK为等腰三角形，当AF=KF时，三角形AFK为等腰三角形另种情况讨论求解即可.【详解】解：由题意得：∠F=∠ADB=30°，∠BAD=∠FAM=90°=∠B1AD1，∠BAB1=α，当AK=KF时，三角形AFK为等腰三角形，∴∠KAF=∠F=30°，∴∠BAB1=α=180°-∠B1AD1-∠KAF=60°；当AF=KF时，三角形AFK为等腰三角形，∴∠FAK=∠FKA，∵∠FAK+∠FKA+∠F=180°，∴2∠FAK=180°-∠F=150°，∴∠FAK=75°，∴∠BAB1=α=180°-∠B1AD1-∠KAF=15°；故答案为：60°或15°.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，旋转的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.三、解答题（75分）16.用适当的方法解下列方程（1）（2）（3）（4）【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．（1）首先整理成一般形式，再用因式分解法解方程即可；（2）方程为一般形式，左边的多项式利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．（3）用直接开平方法解方程即可；（4）移项，提取公因式，即可得到，再解两个一元一次方程即可．【小问1详解】；∴；【小问2详解】；∴；【小问3详解】；∴【小问4详解】∴．17.如图，是的弦，，垂足为C，交于点D，点E在上．（1）若，求的度数；（2）若，求长．【答案】（1）（2）17【解析】【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，也考查了垂径定理和勾股定理．（1）先根据垂径定理得到，然后利用圆周角定理得到；（2）根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出即可．【小问1详解】解：∵，∴，又，∴；【小问2详解】解：∵，∴，设，则，∵∴∵，∴，∴，∴，∴18.有一台电脑感染了某种病毒，经过两轮传播后共有台电脑被感染．（1）求每轮传播中平均一台电脑会感染几台电脑；（2）若病毒得不到控制，四轮感染后，被感染的电脑是否超过台？【答案】（1）每轮传播中平均一台电脑会感染台电脑；（2）若病毒得不到控制，四轮感染后，被感染的电脑超过台．【解析】【分析】（）设每轮传播中平均一台电脑会感染台电脑，由经过两轮传播后共有台电脑被感染建立方程求出其解即可；（）根据题意求出经过四轮传播后被感染的电脑台数即可；此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意得等量关系建立方程是解题的关键．【小问1详解】解：设每轮传播中平均一台电脑会感染台电脑，根据题意得：，解得：，（舍去），答：每轮传播中平均一台电脑会感染台电脑；【小问2详解】∵经过两轮传播后共有台电脑被感染，∴经过三轮传播后被感染的电脑台数为：，经过四轮传播后被感染的电脑台数为：，∴若病毒得不到控制，四轮感染后，被感染的电脑超过台．19.如图，中，，，是AB上一动点（与、不重合），将CD绕点逆时针方向旋转至CE，连接．（1）求证：；（2）点在移动的过程中，四边形是否能成为特殊四边形？若能，请指出点的位置并证明你的结论；若不能，请说明理由．【答案】(1)见解析（2）点为AB的中点时，四边形能成为正方形【解析】【分析】（1）CD绕C点逆时针方向旋转90°至CE，根据旋转的性质得CE=CD，∠ECD=90°，而∠BCA=90°，AC=BC，得∠ECB=∠DCA，则△ECB≌△DCA，得到∠EBC=∠A；（2）当D点为AB的中点时，而∠C=90°，AC=BC，则CD⊥AB，即∠CDB=90°，由（1）得∠EBC=∠A，而∠CBA=∠A=45°，得到四边形CDBE为矩形，由CD=CE，得到四边形CDBE能成为正方形．【详解】∵CD绕点逆时针方向旋转至CE，∴，，而，，∴，∴，∴；当点为AB的中点时，四边形能成为正方形．理由如下：当点为AB的中点时，而，，∴，即，由得，而，∴，∴四边形为矩形，又∵，∴四边形能成为正方形．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质以及正方形的判定方法．20.如图点A、B、D、E在上，弦、的延长线相交于点C．若是的直径，D是的中点，过D作的垂线，垂足为F．（1）求证：是圆O的切线；（2）若，，求圆O的直径．【答案】（1）见解析（2）5【解析】【分析】（1）连结，如图，先证明为的中位线，根据三角形中位线性质得，由于，则，于是根据切线的判定定理得是的切线；（2）作于H，如图，易得四边形为矩形，得到，设，则，根据垂径定理得到，在中利用勾股定理得到，则，解得，然后计算即可．【小问1详解】证明：连结，如图，∵是的中点，而，∴为的中位线，∴，∵，∴，∴是圆的切线；【小问2详解】解：作于，如图，则四边形为矩形，∴，∵，∴设，，∵，∴，在中，∵，，∴，∴，解得，∴，即的直径为．【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了勾股定理，三角形中位线的性质．21.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点距离地面高度为米，宽度为米．现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图所示）．（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（2）隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为米，该双车道能否同时并行两辆宽米、高米的特种车辆？请通过计算说明；【答案】（1）（2）能同时并行两辆宽米、高米的特种车辆【解析】【分析】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的实际应用．（1）根据题意，可得点及抛物线顶点的坐标，待定系数法求解析式即可求解；（2）由题知，当时，，而，即可得出结论．【小问1详解】解：依题意：抛物线形的公路隧道，其高度为米，宽度为米，现在点为原点，∴点，顶点，设抛物线的解析式为，把点，点代入得：，解得，∴抛物线解析式为，∵，，∴自变量x的取值范围为：．【小问2详解】解：当时，，故能同时并行两辆宽米、高米的特种车辆．22.已知：三角形ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.(1)如图1，AB为直径，要使得EF是⊙O的切线，只需保证∠CAE=∠_____，并证明之；(2)如图2，AB为⊙O非直径的弦，(1)中你所添出的条件仍成立的话，EF还是⊙O的切线吗？若是，写出证明过程；若不是，请说明理由并与同学交流.【答案】(1)ABC，证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）需要∠CAE=∠ABC，根据直径推出∠CAB+∠B=90°，推出∠EAC+∠CAB=90°，根据切线判定推出即可；（2）作直径AD，连接CD，推出∠D=∠B=∠EAC，求出∠EAC+∠CAD=90°，根据切线的判定推出即可．【详解】（1）ABC，证明如下：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，若∠CAE=∠ABC，∴∠BAC+∠CAE=90°，即∠BAE=90°，OA⊥AE.，∴EF为⊙O的切线；(2)如图2，连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD，∴∠ADC=∠ABC，∵AD为⊙O的直径，∴∠DAC+∠ADC=90°，∵∠CAE=∠ABC=∠ADC，∴∠DAC+∠CAE=90°，