山西省太原市2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷（解析版）

第页2024~2025学年第一学期八年级期中学业诊断数学说明：本试卷为闭卷笔答，不允许携带计算器．答题时间90分钟．一、选择题（本大题共10个小题）在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．1.的相反数是（）A. B. C.5 D.【答案】B【解析】【分析】根据“只有符号不同的两个数互为相反数”，即可得出结果．【详解】解：的相反数是，故选B．【点睛】本题考查实数的性质．熟练掌握“只有符号不同的两个数互为相反数”，是解题的关键．2.对于平面内任意一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足在轴、轴上对应的数分别为3和，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了点坐标．熟练掌握点坐标是解题的关键．根据点坐标的表示求解作答即可．【详解】解：∵过点分别作轴、轴的垂线，垂足在轴、轴上对应的数分别为3和，∴点的坐标为，故选：A．3.依据所标数据，下列三角形中，是直角三角形是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理对所给的数据看是否符合两个较小数的平方和等于最大数的平方即可．【详解】解：A．∵，∴该三角形不是直角三角形；B．∵，∴该三角形不是直角三角形；C．∵，∴该三角形不是直角三角形；D．∵，∴该三角形不是直角三角形；故选C．4.若正比例函数中，随的增大而减小，则的值可能是（）A. B. C.2 D.0【答案】B【解析】【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键．由题意知，，然后判断作答即可．【详解】解：∵正比例函数中，随的增大而减小，∴，∴的值可能是，故选：B．5.下列运算一定正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据平方根、立方根的定义判断即可．【详解】解：、，此选项错误，不符合题意；、，此选项正确，符合题意；、，此选项错误，不符合题意；、，此选项错误，不符合题意；故选：．【点睛】本题考查算术平方根、立方根的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考基础题．6.如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为4，点的坐标为，点在第二象限，点在第三象限．若轴，则点的坐标为（）A. B. C. D.−3,2【答案】A【解析】【分析】根据正方形性质及轴，得到轴，结合点的坐标，即可求解．本题主要考查坐标与图形，解题的关键是：熟练掌握坐标与图形．【详解】解：∵正方形的边长为4，∴，∵点的坐标为，轴，∴轴，∴点的横坐标为：，纵坐标为：，即：，∴点的横坐标为：，纵坐标为：，即：，故选：A．7.2024年国庆长假期间，“跟着悟空游山西”活动热度不减，“悟空效应”带动文旅热潮，山西各景区游人如织．已知某景区成人门票价格为60元/张，并规定购买团队成人票时，对10张以内（含10张）门票不优惠，超过10张的部分七折优惠．某旅行团参观该景区，需购买成人票张，所需总费用为元，则与的函数关系式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数关系式，根据总费用为元张以内（含10张）门票超过10张的部分门票费用，可得函数关系式．【详解】解：由题意，得．故选D．8.如图，已知一次函数的图象与轴、轴的正半轴分别交于点，，则下列结论一定正确的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系．解题的关键在于掌握一次函数图象与系数的关系．由图可知，，然后对各选项进行判断即可．【详解】解：由图象可知，一次函数的图象经过第一、二、四象限∴，故选：C．9.观察表格中的数据：323334353637381024108911561225129613691444由表格中的数据可知（）A.在之间 B.在之间C.在之间 D.在之间【答案】B【解析】【分析】本题考查了估算无理数大小，根据表中的数据可得1269的平方根在35到36之间，进而可得12.69的平方根在3.5到3.6之间．【详解】解：根据表中数据可得1269的平方根在35到36之间，∵，∴在之间，故选：B．10.如图1是一款竹木材质的二宫格托盘，从内部测得每个格子的底面均是边长为的正方形，且深为，两个格子之间的隔断厚．图2是该托盘的俯视图（即从上面看到的形状图），若一只蚂蚁从该托盘内部底面的顶点处，经托盘隔断爬行到内部底面的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】此题考查了勾股定理的应用．先根据题意展开得到平面图形，利用根据两点之间线段最短和勾股定理进行求解即可．【详解】解：把托盘的隔断和托盘底层展开得到如下图形：则，，，∴，即蚂蚁爬行的最短距离为，故选：D二、填空题（本大题共5个小题）将答案写在答题卡相应的位置．11.将化成最简二次根式为______．【答案】【解析】【分析】本题考查的是最简二次根式，熟练运用二次根式的性质是解题的关键．直接利用二次根式性质化简即可．【详解】解：，故答案为：．12.将晋祠景区的平面示意图放入如图的正方形网格内，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，其中点A，，分别代表傅山馆、圣母殿、董寿平美术馆的位置，且都在格点处．若点A的坐标为1,0，点的坐标为，则点的坐标为______．【答案】【解析】【分析】本题考查坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，建立合适的平面直角坐标系，根据点A的坐标和点C的坐标，可以在图中画出相应的坐标系，然后写出点B的坐标即可．【详解】由题意可得，建立平面直角坐标系如图所示，则点B的坐标为，故答案为∶．13.已知点在正比例函数的图象上，则的值为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了已知正比例函数的解析式求正比例函数图象上点的坐标，正确计算是解题的关键．依题意得，，计算求解即可．【详解】解：∵点在正比例函数的图象上，∴，解得，，故答案为：．14.为打造“宜居、宜业、宜游”的城市环境，迎泽大街于今年五月份启动改造，九月份正式竣工通车．此次改造新换的路灯为“中华灯”，让迎泽大街更显古朴典雅．如图是吊车安装“中华灯”的示意图，已知为吊车起重臂，长为20米，点到路灯杆的水平距离为16米，点到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端离地面的高度为______米．【答案】14【解析】【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出米，然后计算米求解即可．【详解】解：∵米，米，∴米，∵点到地面的竖直距离为2米，∴米，∴起重臂顶端离地面的高度为14米．故答案为：14．15.如图，在三角形纸片中，，点是边上的一点，沿所在直线折叠，使点的对应点落在边上，展开后连接与交于点．若，则的长为______．【答案】2【解析】【分析】过点作于点，根据等腰三角形的三线合一得到，设，则．利用翻折的性质可知，，进而得到，然后利用勾股定理得到，解方程求出的值即可求解．【详解】解：过点作于点，如下图．，．设，则．沿所在直线折叠，使点的对应点落在边上，，，．，，，解得，即，，．故答案为：2．三、解答题（本大题含8个小题）解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤．16.计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．（1）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可；（2）利用平方差公式计算即可；（3）先根据乘法分配律计算，再利用二次根式的性质化简；（4）先根据二次根式的除法法则计算，再算加减即可．【小问1详解】解：原式【小问2详解】解：原式．【小问3详解】解：原式．【小问4详解】原式．17.如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，的坐标分别为，，．（1）请在图中画出；（2）将点A，，的纵坐标分别乘，横坐标不变，依次得到点，，．请在图中画出，并直接写出与的位置关系．【答案】（1）见解析（2）画图见解析，与关于x轴对称【解析】【分析】本题考查了网格作图，熟练掌握在平面直角坐标系中描点连线，轴对称的特点，是解题的关键．（1）根据点A，，的坐标在平面直角坐标系中描点连线即得；（2）求出D，E，F的坐标，描点连线即可；由图象可知关于x轴对称．【小问1详解】解：分别描出，，并顺次连接，得到．即为所求，如图．【小问2详解】解：将点A，，的纵坐标分别乘，横坐标不变，依次得到点，，，并在平面直角坐标系中描点，顺次连接，得到，如图．与关于x轴对称．18.汽车在水平路面以一定的速度转弯时，所受向心力主要由轮胎与路面的静摩擦力提供．向心力必须足够大，以保持车辆沿着曲线行驶，如果速度过快，向心力需求增加，一旦超过轮胎抓地力的极限，车辆就会滑出或翻车．当汽车匀速转弯时，所受向心力为（单位：牛），已知，其中（千克）表示汽车的质量，（米/秒）表示汽车的行驶速度，（米）表示弯道半径．雨雪天气时一辆质量为1600千克的汽车，在一段转弯半径为36米的水平弯道上匀速行驶，若所需向心力为1200牛，求汽车转弯时行驶的速度（结果保留根号）．【答案】汽车转弯时行驶的速度为米/秒【解析】【分析】本题考查二次函数的应用，将各个参数代入函数解析式，解方程即可得到答案．【详解】解：根据题意得千克，米，牛．将它们代入公式，得，整理，得．解方程得：∵是正数，∴（米/秒）．答：汽车转弯时行驶的速度为米/秒．19.通过一次函数的学习，我们知道，表示函数的方法一般有三种：列表法、图象法和关系式法．下面两个表格中分别给出了一个函数的一种表示方式，请你按要求完成任务：（1）任务一：请根据表格画出该一次函数图象，并写出它的关系式；列表法…01……0246…图象法关系式_______________（2）任务二：请根据关系式填表、画图象，并写出这个函数图象的一个特征和随变化情况的一个结论．关系式列表法…0123……02…图象法图象特征变化情况【答案】（1）画图见解析；函数关系式为（2）见解析【解析】【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质和一次函数的图象．（1）用描点法画出一次函数图象即可；用待定系数法求函数解析式即可；（2）先分别把分别代入计算出对应函数值，再利用描点法画出函数图象，然后根据函数图象写出一个特征和函数的增减性．【小问1详解】解：根据表格画出一次函数图象如图．设一次函数解析式为，把分别代入得，解得，∴一次函数解析式为；函数关系式为．【小问2详解】解：填充表格如下：01232002画出该函数图象如图：函数图象特征的答案开放，只要合理均可得分，例如：①该函数图象关于轴对称．②该函数图象是具有公共端点的两条射线，其公共端点为．③该函数图象经过第一、二、三、四象限．等等．随变化情况的答案开放，只要合理均可得分，例如：①当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．②当时，函数有最小值为．等等．20.综合与实践笃行小组利用所学数学知识测量旗杆高度，实践报告如下：课题测量旗杆的高度相关问题探究成员组长：×××组员：×××，×××，×××测量工具皮尺，绳子示意图及测量数据①小组成员通过观察发现系在旗杆顶端绳子拉直时，其末端刚好与旗杆底端重合；②小亮同学用手拉住绳子的末端，从处后退，将绳子拉直时，其末端恰好落在宣传栏上的点处．此时测得点到地面的距离为2米，，两点之间的距离为8米（图中各点均在同一铅直平面内）．提出问题根据测量所得数据，能计算出旗杆的高度吗？解决问题如右图，过点作于点．根据题意得米，米．……请根据实践报告中“解决问题”的思路，补全计算旗杆高度的过程．【答案】旗杆的高度的长为米，过程见解析【解析】【分析】本题考查了勾股定理的应用，过点作于点．根据题意得米，米．设旗杆的高度的长为米，在中，利用勾股定理列方程求解即可．【详解】解：如图，过点作于点．根据题意得米，米．所以．设旗杆的高度的长为米，则米，米．在中，根据勾股定理，．所以，．解，得．21.近年来，我省一直努力通过参加全国各类展销会与各种网络平台合作等方式，扩大农产品影响力．得益于好的营销，一批批“晋字号”产品走向大江南北，传递山西味道，传播山西文化．某特产店的小米热卖，由于供不应求，需要从1号仓库和2仓库共调货50吨，两个仓库到该特产店的运费标准如下表，设1号仓库运往该特产店的小米吨．（1）求总运费（元）关于（吨）的函数关系式；（2）若从两个仓库调货的总费用为3880元，请借助（1）中的关系式求从1号仓库运往该特产店的小米吨数．1号仓库2号仓库运费标准80元/吨75元/吨【答案】（1）（2）26吨【解析】【分析】本题考查一次函数和一元一次方程的应用．（1）用含x的代数式将2号仓库运往该特产店的小米的吨数表示出来，再根据“总运费1号仓库运往该特产店的小米吨数1号仓库的运费标准2号仓库运往该特产店的小米吨数2号仓库的运费标准”求出y关于x的函数关系式即可；（2）将代入y关于x的函数关系式并求出对应x的值即可．【小问1详解】解：根据题意，2号仓库运往该特产店的小米吨，则．答：总运费y（元）关于x（吨）的函数关系式为；【小问2详解】解：当时，得，解得．答：需要从1号仓库运送26吨小米到该特产店．22.阅读与思考阅读下列材料，完成相应的任务．有理点与无理点平面直角坐标系是重要的数学工具，借助坐标系，可以将“数”这一代数对象赋予“点”的几何特征．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标和纵坐标都是有理数，则称这个点为“有理点”；如果一个点的横、纵坐标中至少有一个是无理数，则称这个点为“无理点”．如图，平面直角坐标系中，点的坐标为2,1，以点为圆心，为半径画弧，与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于点，，作直线．易知图中点是“有理点”，点，都是“无理点”．任务：（1）填空：上述材料中点的坐标为______，点的坐标为______；（2）已知直线的函数表达式为．小文认为直线上除，两点外的其余各点都是“有理点”．请你判断他的观点是否正确，并说明理由；（3）在轴上是否存在点，使的面积等于面积的2倍？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1），（2）小文的观点不正确，理由见解析（3）存在，点的坐标为或【解析】【分析】（1）由勾股定理得，，则，然后求点坐标即可；（2）举反例即可；（3）由的面积等于面积的2倍，可得，则点的坐标为或，然后作答即可．【小问1详解】解：由勾股定理得，，由题意知，，∴点的坐标为，点的坐标为，故答案为：，；【小问2详解】解：小文的观点不正确，理由如下；当时，，∴为直线的一点，为无理点，∴小文观点不正确；【小问3详解】解：∵的面积等于面积的2倍，∴，∴点的坐标为或，∴在轴上存在点，点的坐标为或．【点睛】本题考查了勾股定理，无理数，一次函数的图象与性质，坐标与图形等知识．熟练掌握勾股定理，无理数，一次函数的图象与性质，坐标与图形是解题的关键．23.综合与探究问题情境：实践课上，同学们尝试探索在不剪断铁丝且不浪费材料的前提下，能否将一段铁丝弯折围成符合要求的三角形．如图1，同学们将细铁丝抽象为线段，在线段上取点，，沿点，弯折，使，两点重合（记为）．特例分析：（1）如图2，已知，（图中每相邻两点间的距离为1个单位长度）．请你确定点的位置，使沿点，弯折后围成的是直角三角形（要求：标出点的位置，画出围