湖南省邵阳市武冈市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 含解析

2024年下学期期中考试试卷高一数学注意事项：1.本试卷考试时量120分钟，满分150分；2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；3.请将答案填写在答题卡上，写在本试卷上无效，请勿折叠答题卡，答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.命题“”的否定是（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】利用特称命题的否定规则即可得到所给命题的否定形式.【详解】命题“”的否定是故选：B2.若，则集合可用列举法表示为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用列举法表示集合，可得结果.【详解】因为，则.故选：D.3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解方程可求得的解，根据充分必要条件定义可得结论.【详解】将代入成立，即“”是“”的充分条件；由得：或，所以“”不是“”的必要条件，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4.已知函数是定义在R上的奇函数，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由得，利用给定解析式求出，再由函数奇偶性，即可得出结果.【详解】因为，当时，，所以，又函数是定义在R上的奇函数，所以，因此.故选：D.5.已知函数分别由下表给出：123123131321则满足的的值是（）A.1 B.2 C.3 D.1和2【答案】B【解析】【分析】由题意按照、、分类讨论，先求出内函数的函数值，再求出外函数的函数值，逐个判断即可得解.【详解】当时，，，不合题意；当时，，，符合题意；当时，，，不合题意；综上，满足的的值为2.故选：B.【点睛】本题考查了函数的表示法：列表法的应用，考查了运算求解能力，要注意先求出内函数的函数值后再求外函数的函数值，属于基础题.6.已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由指数函数性质求得定点坐标，由定点求得幂函数解析式，确定图象．【详解】由得，，即定点为，设，则，，所以，图象为B．故选：B．7.已知函数，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】作出函数图象，数形结合即可得出结论.【详解】由题知同一坐标系下画出，图象如下所示：由图可知的解集为.故选：A.8.已知函数，若对于任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】确定是增函数，奇函数，利用这两个性质变形不等式，再由分离参数法化为，然后利用勾形函数的单调性求得右边的最大值即得．【详解】是上的增函数，又，即是奇函数，所以不等式可化为，所以，又，所以，由勾形函数的性质知在上是增函数，所以时，，所以，故选：D．二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.若函数是幂函数，则一定（）A.是偶函数 B.是奇函数C.在上单调递减 D.在上单调递增【答案】BD【解析】【分析】根据函数是幂函数，由求得m，再逐项判断.【详解】因为函数是幂函数，所以，解得或，所以或，由幂函数性质知是奇函数且单调递增，故选：BD.10.已知a、b都是正实数，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式判断ABD，用作差法判断C．【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号，A正确；，当且仅当时取等号，B错；，当且仅当时等号成立，所以，C正确；，又，因此，从而，当且仅当时取等号，D正确．故选：ACD．11.已知函数的图象由如图所示的两条线段组成，则A.B.C.，D.，不等式的解集为【答案】AC【解析】【分析】由，可判断A；由，可判断B；由图可得时，；时，，可判断C；由，结合图象可判断D.【详解】A.因为，，所以，正确；B.，，所以，错误；C.由图得，当时，设解析式为，图象经过，所以，解得，所以；时，设解析式为，图象经过，所以，解得，所以解析式为；即，，正确；D由C得，，如图：所以不存在大于零的，使得不等式的解集为，故D错误.故选：AC.【点睛】本题考查数形结合法求函数的解析式、求函数值、求参数，关键是由图象判断出函数的类型并求出解析式，本题考查分析问题、解决问题能力，运算求解能力.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知集合，，若，则______.【答案】【解析】【分析】根据交集结果得到，或，检验后得到答案.【详解】因为，所以，或，当时，，与集合元素的互异性矛盾，舍去；当时，，与集合元素的互异性矛盾，舍去；当时，，满足集合元素互异性，满足要求.故答案为：.13.已知函数是定义在区间上的奇函数，则___________．【答案】【解析】【详解】试题分析：奇函数定义域关于原点对称，所以解得，或．当时，,定义域为[-6，6]，显然x=0时函数无意义，故舍去．当时，，定义域为[-2，2]，显然符合题意．考点：函数的奇偶性．【方法点睛】定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．判断奇偶性前，先看定义域是否关于原点对称，如果不对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；如果关于原点对称则进一步判断．因此本题首先得到，从而求出m的值，然后通过函数的单调性对m的值进行取舍．14.定义区间，，，的长度为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如：的长度为，设，，其中表示不超过x的最大整数，，若用d表示不等式的解集的区间长度，则当时，__________.【答案】2024【解析】【分析】先化简，再分即和即两种情况化简，并分段、、、、讨论求解不等式的解集，从而得出不等式在上的解集，进而得解.【详解】由题，所以即，即，（i）当即时，不等式化为，当，，不等式化为，符合，所以；当，，不等式化为，不符合；当，，不等式化为即，不符合；当，，不等式化为即，不符合；…以此类推至，都有，从而不存在x使不等式成立.所以不等式在上的解集为；（ii）当即时，不等式化为，当，，不等式化为即，所以；当，，不等式化为即，所以；当，，不等式化为即，所以；当，，不等式化为即，所以；…以此类推至，，不等式化为即，所以，所以不等式在上的解集为.综上，不等式在上的解集为.所以.故答案为：2024.【点睛】关键点睛：本题求解的关键是充分利用分类讨论思想求解问题，先分即和即两种情况化简，再分段、、、、讨论求解不等式的解集，从而简化问题的难度.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.若集合．（1）若，全集，试求．（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，求得，得到和，结合集合的交并补运算即可得解.（2）求得，结合题意得到，结合集合的包含关系，即可求解.【小问1详解】当时，可得，因为，可得，则，所以．【小问2详解】因为，由，可得，所以，即实数的取值范围是.16.已知：关于的方程有实数根，：．（1）若命题是真命题，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】分析】（1）由命题是真命题，可得命题是假命题，再借助，求出的取值范围作答.（2）由是的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解作答.【小问1详解】因为命题是真命题，则命题是假命题，即关于的方程无实数根，因此，解得，所以实数的取值范围是.【小问2详解】由（1）知，命题是真命题，即，因为命题是命题的必要不充分条件，则，因此，解得，所以实数的取值范围是.17.心理学家通过研究学生的学习行为发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲授开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用表示学生掌握和接受概念的能力（的值越大，表示学生的接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：min），可有以下关系式：.（1）讲课开始后的5min时刻和讲课开始后的20min时刻比较，何时学生的注意力更集中？（2）某一道数学题目，需要讲解13min，并且要求学生的注意力至少达到55，那么老师能否在学生达到所需状态下一次性连续讲授完这道题目？请说明理由.【答案】（1）讲课开始后的5min时刻的学生注意力更集中（2）不能，理由见解析【解析】【分析】（1）根据函数解析式分别求出和，即可比较；（2）令，解得得到，持续时间，即可判断.【小问1详解】由题意得，，，所以，讲课开始后的5min时刻的学生注意力更集中.【小问2详解】当时，解，，得；当，解，因为，得；当，解，得.所以，仅在这一时段内，学生的注意力至少达到55.又因，且，所以，老师不能在学生达到所需状态下一次性连续讲授完这道题目.18.（1）已知，且满足.求的最小值；（2）当时，不等式恒成立，求实数的最大值；（3）已知，求的最大值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由已知把变形为，展开后用基本不等式求得最小值；（2）分离参数化为恒成立，再利用基本不等式求出不等式右边的最小值即可得解；（3）令，，可得，代入所求式子化简整理，运用基本不等式可得所求最大值；【详解】（1）由，可得；当且仅当，即时，等号成立，所以，的最小值为（2）不等式恒成立化为恒成立，又因为，所以，因此当且仅当，即时，等号成立，所以，即实数的最大值为9．（3）令，，可得，所以，；当且仅当时，上式取得等号，可得的最大值为．19.已知是定义在[－2,2]上的函数，若满足且.（1）求的解析式；（2）判断函数在[－2,2]上的单调性，并求使成立的实数t的取值范围；（3）设函数，若对任意，都有恒成立，求m的取值范围.【答案】（1）（）（2）单调递增，（3）【解析】【分析】（1）由求得，由及求得得函数解析式；（2）由定义证明单调性，然后由奇偶性、单调性解不等式；（3）问题